函数的性质：函数的单调性9种高频考点专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的性质：函数的单调性9种高频考点专项训练 函数的性质：函数的单调性9种高频考点专项训练 考点目录 函数单调性的定义与证明 由图像判断函数的单调性 函数单调性的应用：利用函数单调性求值域 函数单调性的应用：利用函数单调性解不等式 函数单调性的应用：复合函数的单调性 函数单调性的应用：分段函数的单调性 函数单调性的应用：二次函数的单调性 已知单调性求参数问题 抽象函数的单调性 考点一 函数单调性的定义与证明 例1．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数,证明略. 例2．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 【答案】函数在上单调递增；证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，且. 所以，且. 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【分析】通过单调性的定义判断即可. 【详解】函数在上单调递增,证明略. 变式1．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)解不等式； (2)判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)函数在上是增函数.证明如下： 任取，，且， ， ，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. 【分析】（1）移项，通分再转化为一元二次不等式求解； （2）利用增函数的定义证明. 【详解】（1）不等式化为，即， 可化为，所以或， 不等式解集为. （2）略 变式2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 【答案】(1)证明： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在R上单调递增. (2)证明： 由（1）得在R上单调递增，且， 所以，则，得证. 【分析】（1）根据定义法证明单调性的步骤，取值、作差、整理、变形、得结论，结合解析式，化简整理，即可得证. （2）由（1）得在R上单调递增，所以，代入解析式，即可得证. 【详解】（1）略； （2）略. 考点二 由图像判断函数的单调性 例1．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______. 【答案】 【分析】由函数图像即可求解. 【详解】由函数图象可知单调递增区间是， 故答案为： 例2．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 【答案】(1)，顶点坐标为. (2)   函数的增区间为：和. 【分析】（1）设出二次函数解析式，根据条件得到方程组，解得解析式，再计算顶点即可. （2）确定函数解析式，画出函数图象，根据图象得到单调区间. 【详解】（1）设函数为，所以，解得， 所以，所以，所以顶点坐标为. （2）， 图象如图所示：    函数的增区间为：和. 变式1．（25-26高一上·辽宁阜新·阶段检测）如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是______，_____. 【答案】 2 和. 【分析】根据图象确定最大值对应的的值；根据图象直接判断出单调递减区间. 【详解】由图象可知：在时取最大值，所以最大值点为； 由图象可知：的单调递减区间为和， 故答案为：；和. 变式2．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）已知        (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)在下面坐标系中画出函数图象，并写出单调区间（无需证明）. 【答案】(1)奇函数，证明如下： 函数的定义域为R， 当时，， ，又， ， 当时，， ，又， ， 且，故对任意，成立，所以函数是奇函数. (2)作图: 单调递增区间为：，单调递减区间为：，. 【分析】（1）根据奇偶性定义判断； （2）根据函数解析式作出函数图象，根据图象得出单调区间. 【详解】（1）略 （2）的图象为：    单调递增区间为：， 单调递减区间为：，. 考点三 函数单调性的应用：利用函数单调性求值域 例1．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数且图象经过. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. (3)最小值4；最大值5. 【分析】（1）将点代入函数解析式，可求的值. （2）先判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （3）利用函数的单调性求函数在给定区间上的最大、最小值. 【详解】（1）因为函数且图象经过，所以， 所以. 所以. （2）略 （3）由（2）可知，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，； 当时，函数取得最大值，. 例2．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)证明：设，则， 因为，所以，，，    所以，即，即在上单调递减. 因为，，所以在上的值域. 【分析】（1）用换元法求解析式. （2）用定义法证明单调性，再结合单调性即可求出值域. 【详解】（1）由，令，则， 则有，即. （2）略 变式1．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 变式2．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 在上单调递减， 证明如下： 任取，不妨设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 即，又因为，所以在上单调递减； (3) 【分析】（1）将 点代入 即可求得 ，进而确定 的解析式； （2）利用作差法证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性判断 在区间上的值域. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）略 （3）由（2）知，在单调递减， 且，，故在上的值域为. 考点四 函数单调性的应用：利用函数单调性解不等式 例1．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为是上的单调递增函数， 由可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 例2．（25-26高一上·山西大同·期中）若函数在上单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性得到不等式，解出即可. 【详解】因为函数在上单调递减，且， 所以，解得. 故选：B. 例3．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·重庆·期中）若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域及其单调性，结合已知不等式求参数范围. 【详解】由题意，则，可得. 故选：C 变式2．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知定义在上的函数满足对任意的、，当时，成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知是上的增函数，由可得，解之即可. 【详解】不妨设，由可得，则， 所以函数是上的增函数， 则由，可得，即，解得或. 故原不等式的解集为. 故选：A. 变式3．（25-26高一上·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断出函数的单调性，再利用单调性建立不等式求解． 【详解】画出分段函数图象如下： 可知分段函数在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 故答案为：． 考点五 函数单调性的应用：复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再分析内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 令，则在单调递增，在单调递减， 且在单调递减， 在单调递减，在单调递增. 故答案为：. 例2．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可得出原函数的增区间. 【详解】由得或， 故函数的定义域为， 令，， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知函数的增区间为. 故答案为：. 例3．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知函数，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】先根据复合函数单调性得出二次函数的单调性应用单调性求参. 【详解】因为在上y随x的增大而增大， 所以在上y随x的增大而减小， 则,且, 因为,所以, 所以只需要, 即. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 变式2．（25-26高一上·河北衡水·期中）函数 的单调增区间为______. 【答案】 【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案. 【详解】由， 解得，二次函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为： 变式3．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）函数在区间上单调递减，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 考点六 函数单调性的应用：分段函数的单调性 例1．（25-26高一上·广东汕头·期中）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 例2．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故答案为：. 例3．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由不等式可以判断函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可. 【详解】或，所以函数单调递增， 二次函数的对称轴为， 要想为实数集上的增函数， 只需， 故答案为： 变式2．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】根据函数在各段单调递增，且在分段点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，即， 又为增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 变式3．（25-26高一上·江西·期中）已知函数在上单调，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】作出函数的大致图象，如图， 由图可知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调，且，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 考点七 函数单调性的应用：二次函数的单调性 例1．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数（），且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在区间上单调，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）一元二次不等式解集的端点对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程组求解参数得到函数解析式； （2）对二次函数配方，找到顶点，结合开口方向确定值域； （3）先求出二次函数对称轴；函数在开区间上单调，说明整个区间落在对称轴的同一侧，据此列出不等式求解范围． 【详解】（1）因为的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，解得，，所以． （2）配方：， 因为抛物线开口向上，最小值为，所以值域为． （3）由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或，即． 例2．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质可求最值； （2）求出对称轴，结合一元二次函数性质可得. 【详解】（1）当时，，其图象开口朝上，且对称轴为， 因， 故在上的最小值为，最大值为； （2）的函数图象开口朝上，对称轴方程为， 因在上单调递增，则，得， 故实数的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（１）由题可得无实数根，据此可得答案； （２）令，，通过讨论与对称轴大小关系结合题设可得答案 【详解】（1）因的定义域为R，则对． 从而方程无实数根， 则； （2）． 则．令． 令． 若，则，这与矛盾； 若，或（舍）． 综上，当的最小值为5时，． 变式2．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知. (1)画出的图象； (2)写出的单调区间； (3)函数有个零点时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)增区间：；减区间： (3) 【分析】（1）分类讨论去绝对值可得，根据分段函数结合二次函数作出图象； （2）直接结合图象得到单调区间； （3）将零点问题转化为两个函数交点问题，再结合图象运算求解. 【详解】（1）∵， 则的图象如图所示： （2）由图可知，函数的单调递增区间为：；单调递减区间为：； （3）令，有，则转化为与有四个交点即可. 由图易知：. 考点八 已知单调性求参数问题 例1．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 例2．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得1，3为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）求出的图象的对称轴，然后由题意可得或，从而可求出实数的取值范围； （3）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）根据条件的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，得， 所以； （2）由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或， 即； （3）因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上递增， 此时； 当，即时，； 当，即时，在区间上递减， 此时； 综上所述：即为所求． 变式1．（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）已知，函数定义域为. (1)求的值（用含a的式子表示）； (2)函数在单调递增，求a的取值范围； (3)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为. 【分析】（1）直接代入求解函数值； （2）利用单调性的定义，再利用分离参数法即可求解； （3）利用函数定义域及单调性化简不等式，转化为含参的不等式，分类讨论求解可得. 【详解】（1）由函数可得，； （2）任意，且， 则 因为函数在单调递增，所以. 因为，所以，， 所以， 即时，恒成立. 因为，所以， 所以，且当时，. 所以要使恒成立，则. 即实数a的取值范围为. （3）由（1）可知，， 所以不等式可化为. 由函数定义域为，则； 故当时，无意义，故不等式的解集为； 当时，由（2）知，在单调递增， 所以不等式， 由，则，， 则不等式， 故不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为. 变式2．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【详解】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 考点九 抽象函数的单调性 例1．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)若，求方程的解． (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在中令， 得，解得. 判断：在上单调递增． 证明：任取，则．在中取， 得，于是． 因为，由已知“时”得，所以． 故在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）在中令，计算得解；利用定义法结合已知条件求解； （2）由及求出，利用已知求出，利用单调性得到的等式，计算得解； （3）由在上单调递增得到，解出对任意恒成立，令．利用基本不等式求出a的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由及，． 又， 因为的定义域为，所以且，即． 于是原方程化为． 由（1）知在上严格单调递增， 故是一一对应（不同自变量对应不同函数值）， 从而，即，解得或． 由知舍去，故原方程的解为． （3）由（1）知在上单调递增， 所以 （此时，定义域条件自动满足）， 于是原题等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立． 令． 由基本不等式，当且仅当时取等号，且， 故在上的最小值为． 所以，即实数a的取值范围为. 例2．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 变式1．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 变式2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1) 证明:  由题可知对任意实数，，恒有， 令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． (2)在上单调递减 【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1； （2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减. 【详解】（1）略 （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的性质：函数的单调性9种高频考点专项训练 函数的性质：函数的单调性9种高频考点专项训练 考点目录 函数单调性的定义与证明 由图像判断函数的单调性 函数单调性的应用：利用函数单调性求值域 函数单调性的应用：利用函数单调性解不等式 函数单调性的应用：复合函数的单调性 函数单调性的应用：分段函数的单调性 函数单调性的应用：二次函数的单调性 已知单调性求参数问题 抽象函数的单调性 考点一 函数单调性的定义与证明 例1．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 例2．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 变式1．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)解不等式； (2)判断该函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论. 变式2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 考点二 由图像判断函数的单调性 例1．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数的图象如图所示，则其单调递增区间是______. 例2．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知为二次函数，且满足：对称轴为.    (1)求函数的解析式，并求图象的顶点坐标； (2)在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出函数的单调增区间. 变式1．（25-26高一上·辽宁阜新·阶段检测）如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是______，_____. 变式2．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）已知        (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)在下面坐标系中画出函数图象，并写出单调区间（无需证明）. 考点三 函数单调性的应用：利用函数单调性求值域 例1．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数且图象经过. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值和最小值. 例2．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)用定义法证明在上单调递减，并求在上的值域. 变式1．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 变式2．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 考点四 函数单调性的应用：利用函数单调性解不等式 例1．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知是上的单调递增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·山西大同·期中）若函数在上单调递减，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数则不等式的解集为__________. 变式1．（25-26高一上·重庆·期中）若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 变式2．（25-26高一上·陕西延安·期中）已知定义在上的函数满足对任意的、，当时，成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 考点五 函数单调性的应用：复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·青海西宁·期中）函数的单调递减区间为__________. 例2．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为_______. 例3．（25-26高一上·福建宁德·期中）已知函数，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是________. 变式1．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为______． 变式2．（25-26高一上·河北衡水·期中）函数 的单调增区间为______. 变式3．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）函数在区间上单调递减，则的取值范围为_______. 考点六 函数单调性的应用：分段函数的单调性 例1．（25-26高一上·广东汕头·期中）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 例2．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为________． 例3．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________． 变式1．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 变式2．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，且为增函数，则实数的取值范围是_____ 变式3．（25-26高一上·江西·期中）已知函数在上单调，则的取值范围为______． 考点七 函数单调性的应用：二次函数的单调性 例1．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数（），且的解集为． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在区间上单调，求实数的取值范围； 例2．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 变式2．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知. (1)画出的图象； (2)写出的单调区间； (3)函数有个零点时，求实数的取值范围. 考点八 已知单调性求参数问题 例1．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 例2．（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知函数，且的解集为． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围； (3)求在区间上的最小值． 变式1．（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）已知，函数定义域为. (1)求的值（用含a的式子表示）； (2)函数在单调递增，求a的取值范围； (3)当时，解关于x的不等式． 变式2．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 考点九 抽象函数的单调性 例1．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，且对任意，都有；并且当时，． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义加以证明； (2)若，求方程的解． (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 例2．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 变式2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 2 学科网（北京）股份有限公司 $