专题04 函数零点存在性与方程根的分布压轴（期中专项训练·冲刺版）高一数学上学期人教A版

专题04 函数零点存在性与方程根的分布压轴 题型1 根据零点求函数解析式中的参数 题型5 根据零点所在的区间求参数范围（常考点） 题型2 求函数零点或方程根的个数（重点） 题型6 根据函数零点的个数求参数范围（重点） 题型3 比较零点的大小关系 题型7 根据二次函数零点的分布求参数的范围（重点） 题型4 求零点的和 题型8 根据指对幂函数零点的分布求参数范围（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据零点求函数解析式中的参数（共4小题） 1．（25-26高一上·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 2．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 3．（25-26高一上·广西南宁·期中）设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【分析】将方程问题转化为函数交点问题，借助于反函数的性质即可求出答案. 【详解】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 4．（25-26高一上·山东菏泽·期中）设是函数的零点，则______． 【答案】3 【分析】根据零点的定义，结合对数与指数互化公式，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意，． 注意到， 所以， 在两边同时加上， 即， 即， 设函数，显然该函数是实数集上的增函数， 由， 即即， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数式与指数式的恒等式，由得到，然后通过构造函数，利用函数的单调性进行求解. 题型二 求函数零点或方程根的个数（共4小题） 5．（25-26高一上·山西晋城·期中）方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 【答案】C 【分析】根据题意，转化为，设与，画出两个函数的图象，结合图象的交点个数，即可得到答案. 【详解】由方程，得，设函数与， 画出与的图象有两个交点， 故方程的实数解的个数为2个. 6．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 7．（25-26高一上·浙江台州·期中）函数的零点有_________个. 【答案】2 【分析】通过判断函数的单调性，结合零点存在定理判断函数零点的个数；或令，则或.求解可得方程的解，即函数的零点，从而得到其零点个数. 【详解】方法一：由，得： 当时，. 此时，在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以在上有一个零点，在上没有零点. 当时，， 所以在上单调递增. 又，所以在上有一个零点. 综上所述，函数的零点有个. 故答案为：. 方法二：令，则或. 对于， 由，得， 因为，所以； 对于， 由，得，所以，所以，满足. 所以. 综上，方程的解为和. 所以函数的零点有个. 故答案为：. 8．（25-26高一上·河南商丘·期末）函数的零点个数为___________． 【答案】2 【分析】函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．画出函数图象，数形结合，可得答案． 【详解】函数的零点个数即为函数与图象的交点个数． 在同一坐标系中画出函数与图象如下图所示    由图象可知函数有两个零点． 故答案为：2. 题型三 比较零点的大小关系（共4小题） 9．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程与方程的实数解分别是， 令， 则函数与的交点横坐标为，函数与的交点横坐标为， 函数，，的图像如下图所示： 故. 10．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 11．（25-26高一下·云南文山·期末）已知函数的零点分别为，则，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断三个函数的单调性，结合零点存在性定理确定各零点的取值范围，再比较大小. 【详解】 定义域为，求导得，故在上单调递减， 代入得，，由零点存在性定理得； 定义域为，求导得（），故在上单调递减， 代入得，当时，故，由零点存在性定理得； 令，整理得，因恒成立，故唯一零点， 综上可得. 12．（25-26高一上·陕西榆林·期中）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 题型四 求零点的和（共4小题） 13．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 14．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】应用指对数转化，再换元得出，最后应用指数运算律及指对数转化求解. 【详解】  令，可得． 设，则， 解得，， 则． 故的所有零点之和为． 故选：A. 15．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【分析】先根据零点的定义得到，，从而得到，，再构造函数，进而结合该函数的单调性即可求出的值． 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 16．（25-26高一上·安徽合肥·期末）函数的所有零点之和为___________． 【答案】-2 【分析】根据函数的零点定义得到，令，，转化为有两根，设这两个根为，由得到，得到，从而得到函数的所有零点之和. 【详解】已知，令，得， 令，整理得，， 令，由在时单调递减，在时单调递减， 所以与图像只有两个交点，方程有两根 假设，即。可得。 又因为，所以， 所以，则， 故答案为：-2 题型五 根据零点所在的区间求参数范围（共3小题） 17．（25-26高一上·甘肃天水·期中）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 18．（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 19．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）若函数在区间内有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】因为在上单调递增，所以可由零点存在定理得，即，解关于的不等式可得的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以在区间内单调递增，则由零点存在定理可得， 即，解得，故的取值范围是． 故答案为： 20．（25-26高一上·广东佛山·期中）若方程有且只有一个根在区间上，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用三个二次的关系，得到函数有且只有一个零点在区间上，借助于根的判别式，零点存在定理，结合区间端点的函数值，列出不等式求解即得. 【详解】设， 依题意，函数有且只有一个零点在区间上，可以分成三类情况： ①由解得或. 当时，，此时函数恰有一个二重根在区间上，符合题意； 当时，，此时函数的实根不在区间上，不合题意. ②由可得，解得； ③令，得，此时方程的另一根为，不合题意； 令，得，此时方程的另一根为，符合题意． 综上，可得实数的取值范围为． 故答案为： 题型六 根据函数零点的个数求参数范围（共2小题） 21．（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围. 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 22．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数性质，结合函数性质画出函数图象，解方程可得或，结合图象及条件列不等式即可得结论. 【详解】，的定义域为. ，则函数为偶函数. 当时，，函数在上单调递减，且，时，； 函数为偶函数，函数在上单调递增； 函数的值域为，图象如图所示： ， ，解得或. 方程有个不同的根， 函数的图象与直线和直线的图象共有3个交点. ，得. 实数的取值范围为. 23．（25-26高一上·山东威海·期中）若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 【答案】或 【分析】令，换元后转化为方程有一解，结合根与系数的关系及判别式分类讨论即可. 【详解】令， 则原方程等价为， 当时，方程为，不成立，故， 由可得， 代入可得， 即，显然时方程不成立， 所以方程有一解， 当即时，方程有一解，符合题意； 当时，设， 二次函数开口向下，且， 所以方程有一正根，符合题意； 当时，， 且，可知方程有两不等正根，不符合题意； 当时，，方程无实数根，不符合题意； 当时，，此时方程为， 解得，符合题意； 当时，，且， 可知方程有两不等正根，不符合题意. 综上，的取值范围为或. 24．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即可求解. 【详解】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为.    题型七 根据二次函数零点的分布求参数的范围（共3小题） 25．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 26．（25-26高一上·广东佛山·期中）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 27．（25-26高一上·江苏南京·期中）若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为二次函数，所以， 又二次函数有两个零点，所以的， 综上，实数a的取值范围是. 28．（25-26高一上·河北唐山·期中）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【详解】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 题型八 根据指对幂函数零点的分布求参数范围（共4小题） 29．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，直线，从而可得出，由对数函数性质求得的范围，从而得出的范围，确定正确选项． 【详解】作出函数的图象，如图，作直线，它们有4个交点，由图形可得， ，， 由得或，因此，∴，BCD符合要求， 故选：BCD． 30．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABC 【分析】由已知等式可知与有四个不同的交点，作出与的图象，根据数形结合的方式可知A正确；由和可推导知BC正确；将化为，根据的范围可求得取值范围，知D错误. 【详解】由知：与有四个不同的交点， 作出与如下图所示， 对于A，由图象知：若与有四个不同的交点，则，即，A正确； 对于B，，，则，B正确； 对于C，，即，，则，C正确； 对于D，由BC知：； 由图象知：，又对勾函数在上单调递增， ，则，D错误. 故选：ABC. 31．（25-26高一上·广东梅州·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】将方程有四个不同解可确定与有四个不同交点，在平面直角坐标系中作出图象，利用数形结合的方式可求得的范围，知A错误；根据对称性可知B错误；当时，由可求得，由此可得的范围，知C正确；利用基本不等式可求得，由可求得，由此可知D正确. 【详解】关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点， 在平面直角坐标系中，作出与如下图所示， 由图形可知：，A错误； 关于对称，，B错误； 当时，令，解得：，，C正确； ，，， ，， ，，又， ，D正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两函数的交点个数问题，采用数形结合的方式，结合函数的对称性来依次进行求解. 32．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，则下列叙述中正确的有（    ） A． B． C． D．有最小值 【答案】BD 【分析】作出函数图象，根据图象确定的范围，然后利用图象逐一分析即可. 【详解】作出函数的图象， 由图可知，， 不妨取，则，得，则，A错误； 由是方程的两个不相等的实根， 即是方程的两个不相等的实根，所以，B正确； 由图可知，当直线向下平移时，存在，C错误； ， 当且仅当，即时等号成立，D正确. 故选：BD 【点睛】本题难点在于函数图象的运用，先利用图象确定的范围，然后结合图象分析各个选项即可. $专题04 函数零点存在性与方程根的分布压轴 题型1 根据零点求函数解析式中的参数 题型5 根据零点所在的区间求参数范围（常考点） 题型2 求函数零点或方程根的个数（重点） 题型6 根据函数零点的个数求参数范围（重点） 题型3 比较零点的大小关系 题型7 根据二次函数零点的分布求参数的范围（重点） 题型4 求零点的和 题型8 根据指对幂函数零点的分布求参数范围（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据零点求函数解析式中的参数（共4小题） 1．（25-26高一上·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·广西南宁·期中）设分别是关于的方程和的根，则________． 4．（25-26高一上·山东菏泽·期中）设是函数的零点，则______． 题型二 求函数零点或方程根的个数（共4小题） 5．（25-26高一上·山西晋城·期中）方程的实数解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数多 6．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（25-26高一上·浙江台州·期中）函数的零点有_________个. 8．（25-26高一上·河南商丘·期末）函数的零点个数为___________． 题型三 比较零点的大小关系（共4小题） 9．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·云南文山·期末）已知函数的零点分别为，则，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·陕西榆林·期中）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 题型四 求零点的和（共4小题） 13．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 15．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）已知函数与函数的零点分别为，，则______． 16．（25-26高一上·安徽合肥·期末）函数的所有零点之和为___________． 题型五 根据零点所在的区间求参数范围（共3小题） 17．（25-26高一上·甘肃天水·期中）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）若函数在区间内有零点，则的取值范围是_______． 20．（25-26高一上·广东佛山·期中）若方程有且只有一个根在区间上，则实数的取值范围为______． 题型六 根据函数零点的个数求参数范围（共2小题） 21．（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·山东威海·期中）若关于的方程恰有一个实根，则的取值范围为________． 24．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 题型七 根据二次函数零点的分布求参数的范围（共3小题） 25．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 26．（25-26高一上·广东佛山·期中）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·江苏南京·期中）若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 28．（25-26高一上·河北唐山·期中）方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 题型八 根据指对幂函数零点的分布求参数范围（共4小题） 29．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）设函数，若关于的方程有四个实数解，，，，且，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的取值范围为 31．（25-26高一上·广东梅州·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，则下列叙述中正确的有（    ） A． B． C． D．有最小值 $