2026-2027学年高一上学期数学期中自编模拟试题（人教A版必修第一册：第一至三章）

2026-2027学年高一数学上学期期中自编模拟试题 （范围：人教A版必修一第一章-第三章 难度系数0.65） 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题5分共40分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设全集为，集合，，韦恩图如下图，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若，，，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．函数，对任意，都有，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分共18分） 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则一定存在实数，使得 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为1 D．的最大值为4 11．关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题（每题5分共15分） 12．若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是__________． 13．若“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 14．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当 时，，则________. 四、解答题 15．（13分）已知集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）设函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式在内有解，求实数的取值范围. 17．（15分）（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）若，求函数的最大值，并求此时的值； （3）若，求的最小值，并求此时的值． 18．（17分）已知函数，． (1)，用表示，中的较小者，记作，作出的图象，并写出的单调递增区间； (2)设，，求的最小值． 19．（17分）已知函数，的图像关于点成中心对称． (1)求的值； (2)求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高一数学上学期期中自编模拟试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D A A A C ABD ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】因为，则. 2．A 【分析】根据韦恩图确定集合与的关系，结合充分必要条件的定义进行判断即可 【详解】由韦恩图可知，集合包含于集合，即. 若，由可知，，故充分性成立； 若，由于中存在不属于的元素，则不一定属于，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．B 【详解】当时，关于的不等式有解， 即不等式有解，令，则， ， 当时，y的最小值为， ． 4．D 【分析】选项A，举反例求解；选项B，举反例求解；选项C，举反例求解；选项D，作差法求解. 【详解】选项A，，， 特殊值验证：令 ， 则，， 此时，与结论矛盾，故选项A错误. 选项B，，， 当时，，不满足 ，故选项B错误. 选项C，， 若异号，比如（满足）， 此时，，，与结论矛盾，故选项C错误. 选项D，因为，所以，， 则， 分子，分母，故差值为负， 即，故选项D正确. 5．A 【分析】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 6．A 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解. 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数的取值范围为. 7．A 【分析】先根据函数的定义域为，确定一元二次不等式的解集为，确定的符号，以及一元二次方程的两个根，根据韦达定理建立，与的关系；再结合的值域为，得到二次函数在上的最大值为4，利用二次函数的性质求出参数，，的值；代入分式不等式，求解得到解集. 【详解】函数的定义域为， 一元二次不等式的解集为； ，和是一元二次方程的两个根； ，解得，. 函数的定义域和值域均为， 二次函数在上的取值范围为. 得二次函数的对称轴为； 又，，当时，取得最大值，即，解得. . 将，代入不等式，得，整理得； ，解得，即不等式的解集为. 8．C 【分析】求出函数的定义域，再利用换元法并结合二次函数性质求出值域. 【详解】函数的定义域为， 令，则原函数为， ，而， 因此，解得，所以原函数的值域为. 9．ABD 【详解】对任意满足的实数，取，则必有成立，即存在实数，使得，故A为真命题； 若，则，，由不等式的性质可得，故B为真命题； 当时，，原不等式不成立，故C为假命题； 由，因为，所以， 则，即，故D为真命题. 10．ABD 【分析】A选项根据求解；B选项根据求解；C选项将代入配方求解；D选项利用进行求解. 【详解】由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为； 而， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为； 而， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为； 而，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为4. 11．ACD 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据仅有两个整数的条件列出不等式可判断D． 【详解】对于A，由于不等式的解集为或， 则，且和是方程的两个根，故A正确， 由韦达定理得，解得， 对于B，可变为，故， 解得或，故B错误， 对于C，， 当，即时等号成立，所以的最大值为，故C正确， 对于D，不等式可化为，即， 因为，所以， 显然在上述范围中，要使原不等式只有两个整数解， 则只可能是或， 若整数解为，则，此时，故不止这两个整数解，矛盾， 因此整数解为，则，解得，故D正确． 12． 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 13． 【分析】先转化恒成立条件，然后求二次函数的区间最大值，进而确定范围. 【详解】已知“，”为真命题，即该不等式对所有恒成立， 将不等式化简得，即，即需大于等于函数在区间上的最大值. 由于，根据抛物线的性质可知，当时，函数取得最大值为. 要使在上恒成立，只需，所以实数的取值范围为. 14．/ 【分析】根据条件，得是以为周期的周期函数，从而可得，再代入即可求解. 【详解】由得，所以是以为周期的周期函数. 又，故， 又，则 得， 因为，所以，故. 15．(1) (2) 【分析】（1）由可知两个集合的方程完全相同，利用一元二次方程根与系数的关系建立关于的方程组，联立求解并检验即可； （2）由可得，对是否为空集分类讨论，若是空集，求解范围；若不是空集，则方程的所有实根只能是或，分单根、两根两种情况建立关于的关系式，即可求出结论. 【详解】（1）由，解得或，所以集合， 若，则方程的两根为和， ，解得， 检验：当时，方程为，，满足， 所以实数的值为. （2）由，得，分四种情况讨论， ， ， ①当时，，即，解得， ②当时，方程有二重根， ，方程组无解， ③当时，方程有二重根， ，方程组无解， ④当时，即，由（1）可知，满足条件， 综上，实数的取值范围是. 16．(1) (2)当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (3) 【详解】（1）当时，由，得，解得， 所以不等式的解集为. （2）当时，由，整理得，解得； 当时，由，整理得， 即，解得； 当时，由，整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当时，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）依题意，关于的不等式在内有解， 即在内有解， ① 当 时，不等式化为 ，显然有解，符合题意； ② 当 时，二次函数开口向上，必然存在实数使得不等式成立，符合题意； ③ 当 时，二次函数开口向下，不等式有解等价于判别式. ，即，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围是. 17．（1）最小值为 ，此时 ；（2）最大值为 ，此时 ；（3）最小值为 ，此时 . 【分析】（1）由 知 与 都是正数，且乘积为定值，因此可用基本不等式求和的最小值. （2）由 知 ，，且两者之和为定值，因此可用基本不等式求积的最大值. （3）把 写成 ，将原式化为 ，再用基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为 ，所以 . 当且仅当 ，即 时，等号成立，所以最小值为 . （2）因为 ，所以 ，. 于是 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 又 ，所以最大值为 ，此时 . （3）因为 ，所以 . 于是 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 又 ，所以 ，即 ，此时函数取得最小值 . 18．(1)的图象为 的单调递增区间为：和. (2)8 【分析】（1）分析函数，中的较小者，分段画出函数的图象,进而利用函数图象求解单调递增区间； （2）由（1）求得函数的解析式，使用基本不等式求解最小值. 【详解】（1）， 当时，令，即，，则； 当时，令，即，解得或， 则 图象如下： 由图可知的单调递增区间为：和； （2），，令，则， ，当时等号成立， 所以当时，取到最小值为8. 19．(1) (2) 单调递增区间为，递减区间为和； (3) 【分析】（1）根据函数的对称性直接求解即可； （2）根据对钩函数的单调性，结合反比例函数的单调性、函数的对称性进行求解即可； （3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为函数，的图像关于点成中心对称， 所以，即， 所以的图像关于点成中心对称，； （2）， 当时，， 令，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数关于点对称， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为和； （3）函数关于点对称， 所以， 所以由， 设，则为奇函数，且单调递增区间为，递减区间为和； 且，当时，，当时，， 原不等式可化为，， 所以，， 所以对任意的恒成立， 对于，可得， 而，当且仅当时等号成立，故， 对于，可得对任意的恒成立，则； 综上所述：实数的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $