2026-2027学年高一上学期数学人教A版期中模拟卷3 （范围：集合与常用逻辑用语 一元二次函数方程不等式 函数的概念及性质）

2026-2027高一数学期中考模拟卷3 范围：集合与常用逻辑用语、 一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 2．下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 3．已知函数,则（ ） A． B．1 C． D．2 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 5．设函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若集合，，（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，，是实数，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 11．已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象是中心对称图形 D．在上单调递减，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最大值为______. 13．已知函数，则________ 14．设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15．已知集合． (1)若，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求； (2)求时，函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围. 17．已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 18．若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． (1)求证:为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)若不等式:恒成立，求a的取值范围； 19．已知函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)当的定义域为时，解不等式； (3)若时，，总有，求的取值范围. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D B A A B B BD ACD 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合. 【详解】因为，可知， 若，则， 此时，，不合题意； 若，则， 此时，，符合题意； 综上所述：，，则. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 2．D 【分析】根据函数的定义判断可得出结论. 【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 3．D 【详解】由题设有，而， 故. 4．B 【分析】根据分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，复合函数的定义域求法可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以若有意义，需满足，解得. 故选：B. 5．A 【分析】根据，代入解析式中求值即可. 【详解】因，则， 则，故. 故选：A 6．A 【分析】先求出指数函数的值域可得集合,求出根式函数得定义域可得集合，再由集合的并集定义计算即得. 【详解】因，， 故. 故选：A. 7．B 【分析】由的解析式可得当时，，结合指数函数的值域即可判断；再由时，，即结合二次函数性质即可得到的范围. 【详解】解：由不等式在上恒成立，即在 上恒成立，可得： 当时，，即 显然成立； 又时，，即为，即即可. 综上可得. 故选：B. 【点睛】本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用指数函数的值域和二次函数值域，属于基础题. 8．B 【分析】根据函数为奇函数求出b的值，继而求出函数的零点的表达式，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 故，解得， 故， 而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数， 故； 令，解得， 又函数的零点在区间内， 故令，则，令，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 9．BD 【分析】举反例判断A，C；作差法判断B，由不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，当时，，但，故C错误； 对于D，当时，不成立，所以， 所以若，则，故D正确； 故选：BD 10．ACD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，， 所以， 从而的值域为，在此区间上， 所以， 故恒成立，选项D正确. 11．ABC 【分析】对于A，令即可得到函数的定义域；对于B，利用分离常数法将化为即可求出函数的值域；对于C，证明即可得到函数的对称中心，从而证明；对于D，求出的单调区间，根据是单调区间的子集，列不等式即可求出的取值范围. 【详解】令，解得，所以函数的定义域为，故A正确； ，因为，所以函数的值域为，故B正确； 因为，所以函数的图象是中心对称图形，对称中心为，故C正确； 由B选项知，，所以函数在，上单调递减，若在上单调递减，则或，解得或，故D错误； 故选：ABC. 12． 【分析】利用二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则由二次函数的性质可知其对称轴为， 又，且该二次函数开口向下，所以在对称轴上此时函数的最大值，为. 故答案为：. 13． 【分析】根据函数解析式，代入数值计算即可得到答案. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 14． 【分析】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 15．(1)， (2) 【分析】（1）化简两个集合，即可根据交集以及并集，补集的定义求解， （2）将问题转化为真子集的关系，即可列不等式求解. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 由，解得，即， 若，则，所以，， 所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 由于恒成立，故， 所以且等号不能同时成立，解得， 即的取值范围是. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的性质可得，计算即可； （2）令，则，利用，可求解析式； （3）由已知可得是定义在上的偶函数，且在上为严格增函数，从而可得，求解即可. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数； ，即； （2）令，则，则， 又由函数为偶函数，则， 即时，； （3）由（1）知， 由（2）可知，， 在上为严格减函数. 又是定义在上的偶函数，则在上为严格增函数. 所以， 解得. 故实数a的取值范围为. 17．(1) 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. (2)2 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【详解】（1）略 （2）因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 18．(1)证明：函数的定义域为R， 令，则，解得. 令，则，得， 所以函数为奇函数. (2)-6 (3) 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出时， 恒成立，可求a的取值范围. 【详解】（1）略 （2）任取，则，因为当时，，则， 由（1）知，，即， 所以为R上的减函数，可知在上的最小值为， 因为，，， 所以，即在上的最小值为. （3）由（2）可求， 所以， 由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立， 时，，不等式恒成立； 时，有恒成立，由函数在上单调递增， 则有，所以a的取值范围为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数定义域的特点，结合，可求的值，再利用奇函数的定义验证可得的值. （2）先分析函数在区间上的单调性，利用函数的单调性把函数不等式转化为代数不等式求解. （3）先把问题转化为，再结合换元法及一元二次不等式恒成立的结论，可求的取值范围. 【详解】（1）若，函数的定义域关于原点不对称，不是奇函数，所以，函数的定义域为， 所以，解得， 故， 经检验，，所以函数为奇函数. 故为所求. （2）由题知. 令，设， 则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， ，所以在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 所以不等式可化为 解得，即不等式的解集为. （3） 又由，总有， 知， 即， 令，则在上恒成立. ①当时，有在上恒成立， 由函数的图象和性质可知，必有，即， 此时函数在上单调递增，且，所以. ②当时，有在上恒成立， 由函数的图象和性质可知，必有，即， 若，不合题意. 若，函数的对称轴为. 若即时，在上单调递增，所以，满足题意，故. 若即时，有， 即， 解得，所以. 由可得. 综上所述，的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $