2026—2027学年九年级数学上学期期中考试学情自测模拟卷

2026—2027学年九年级数学上学期期中考试学情自测培优提分模拟卷 （考试范围：第1章到第3章 本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D．2026 3．如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．宿迁某机械厂一月份生产零件60万个，三月份生产零件82万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足方程（     ） A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 6．如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 7．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．若关于x的一元二次方程有一个根是，则_______ 10．若点，都在函数的图象上，且，则________（填“，或”）． 11．已知，那么_______． 12．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_______． 13．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 14．如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 15．如图，四边形内接于为的延长线上的一点．若，则的度数是___________． 16．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 17．如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________． 18．如图，为的一条弦，为等边三角形，圆心O在内部，的延长线交于点D，连接，过点O作的垂线分别交，于点E，F．若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1) (2) 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 21．已知与成反比例，且其函数图象经过点． (1)求关于的表达式； (2)当时，求的值． 22．如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积． 23．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 24．某水果店销售荔枝，每斤进价20元．当售价为每斤30元时，每天可售出200斤；经市场调查，售价每上涨1元，每天销量减少10斤．设售价上涨x元． (1)涨价后每斤利润为________元，每天销量为________斤（用含x的代数式表示）； (2)若该店想每天获得利润2250元，求此时荔枝的售价； (3)请判断（2）中符合条件的售价是否唯一，并说明理由． 25．如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 26．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)结合完整的函数图象，请直接写出不等式的解集． 27．如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式． 28．如图，点E是三角形的内心，的延长线和三角形的外接圆交于点D． (1)求证：． (2)过点D作的平行线，证明是外接圆的切线． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027学年九年级数学上学期期中考试学情自测培优提分模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A B C C C 1．C 【详解】解：A选项，的最高次数是1，是一元一次方程，A选项错误； B选项，的分母含有未知数，不是整式方程，B选项错误； C选项，的最高次数是2，是一元二次方程，C选项正确； D选项，未说明，当时，不是一元二次方程，D选项错误． 2．A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标与函数解析式的关系即可． 【详解】解：将点代入解析式得，， ． 3．B 【分析】根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）即可求解． 【详解】解：，分别是的圆周角和圆心角， ． 4．A 【详解】解：∵一月份生产零件60万个，二、三月份平均每月的增长率为， ∴二月份产量为万个， ∴三月份产量为万个， ∵三月份生产零件82万个， ∴． 5．B 【分析】从反比例函数的值符号入手，结合其图象与性质判断各选项，注意增减性的适用范围． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴该函数的图象位于第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，图象与坐标轴不相交， 故A、C正确，B错误； 当时，图象在第二象限，，故D正确． 6．C 【分析】根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据线段的和差即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 7．C 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限，没有符合条件的选项． ②当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限，故C选项的图象符合条件． 8．C 【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值． 【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接， 由题得，， ∴的周长为． 以为底、为高，的面积为， 又∵的面积可表示为 ， ∴联立等式， 得， ∴． 9． 【分析】根据是关于x的一元二次方程的一个根得，解出即可得的值. 【详解】解：∵ 是一元二次方程的根， ∴ ，整理得：，解得： ， ∴. 10． 【分析】根据反比例函数的比例系数k的符号判断图象所在象限，结合两点横坐标的正负确定两点位置，通过纵坐标的正负比较大小． 【详解】解：反比例函数，比例系数， 函数图象分布在第一、三象限， ， 点在第三象限，点在第一象限， 第三象限内的点的纵坐标为负，第一象限内的点的纵坐标为正， ． 11．0或5 【分析】用因式分法解方程． 【详解】解：， ， ∴或， ∴或． 12．/ 【分析】根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限时，比例系数小于0，列不等式求解即可. 【详解】解： 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得. 13．十二/12 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得． 【详解】解：∵正多边形的中心角是， ∴边数为， ∴这个多边形是正十二边形． 14．10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 15． 【详解】解：∵四边形内接于且， ∴， ∴， 又∵为的延长线上的一点． ∴． 16．4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 17．6 【分析】如图：连接，则，由切线的性质可得，结合可证明可得，同理可得：；再结合，最后运用等量代换以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵分别切于A、C两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 18．7 【分析】由题意易得，则有，，然后可得，过点A作，进而根据等边三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵，点O在线段上， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 过点A作，如图所示： ∴ ∴，， ∴． 19．(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20．(1) 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； （2）解：当时，则， 解得． 22． 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据勾股定理求得，再通过圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 该圆锥的侧面积为． 23．(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练应用相关知识点成为解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质和圆的性质可得、，即，可证，再结合即可证明结论； （2）连接，通过证明，然后根据相似三角形的性质及等量代换进行计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 24．(1)， (2)35元 (3)解：符合条件的售价是唯一的．理由如下： 根据题意，得， 此时， 故方程有两个相等的实数根， 故售价是唯一的． 【分析】（1）设售价上涨x元，售价为每斤元，每斤可盈利元，每天可售出斤，求解即可． （2）根据题意，总利润=每斤利润乘以总销售斤数，构造方程解答即可． （3）根据一元二次方根的判别式，解答即可． 【详解】（1）解：设售价上涨x元，售价为每斤元，每斤可盈利元，每天可售出斤． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故． 此时荔枝的售价为35元． （3）解：略． 25．(1)证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）通过圆心角定理的推论得出，再证明，进而即可得到结论； （2）连接，证明是等边三角形，进而即可得到答案 【详解】（1）略； （2）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 26．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数关系式，进而将代入得到，将、代入求解即可； （2）求出点的坐标，根据割补法计算即可； （3）根据题意画出函数图象，进而作答即可． 【详解】（1）解：将代入得：，即， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴； （2）解：当时， 解得， 即， ∴， ∴ ； （3）解：即， 作及的图象如下： 可知不等式的解集为或． 27．(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象与交于点，与交于点， ∴当时，， ∴，则， 当时，，则， ∴，则， ∴； (2)反比例函数解析式为 【分析】本题主要考查正方形的性质，反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象与几何图形面积的计算方法是关键． （1）根据正方形的性质得到，由反比例函数图形的性质得到，则，，则，由此即可求解； （2）根据题意得到，，，，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据上述证明得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴反比例函数解析式为． 28．(1)证明：如图，连接， ∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接， 由（1）知， ∴， 即是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是外接圆的切线． 【分析】（1）连接，根据内心的定义可知平分，平分，根据圆周角定理得到，根据三角形外角的性质求出，根据等角对等边证明即可； （2）连接，由（1）知，得到，即是的中点，根据垂径定理的推论可知，即，可知是外接圆的切线． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $