精品解析：陕西西安市湖滨中学2026-2027学年上学期学情自测九年级数学

九年级数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题．（每小题3分，共24分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 3. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某班级的三角形花架的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 四边形的对角线，相交于点O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 小伟和小谦分别解一道关于x的一元二次方程，小伟因把一次项系数看错，解得方程两根为和6，小谦因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程可能是（ ） A. B. C. D. 8. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 二、填空题．（每小题3分，共18分） 9. 若，则的值为_________ 10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 11. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 12. 两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2，2，3，另一个等腰三角形一边长为6，则另一个等腰三角形周长为_________． 13. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 14. 按要求解答下列问题： （选做一）如图，在矩形中，E，F分别为，上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为_________． （选做二）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值为_________． 三、解答题．（15-17题，每小题6分；18-22题，每小题7分；23-24题，每小题8分；第25题9分） 15. 解不等式组：． 16. 解方程： （1） （2） 17. 化简求值：，其中． 18. 如图，在中，．作出点D，使四边形是矩形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，P是线段上的点，连接．求证：． 20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数k的值． 21. 如图，湖滨中学生物项目式学习小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），围成的矩形试验田的面积为240平方米时，求的长． 22. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，求直线的函数表达式． 23. 为在校园商贸街中赢得更大收益，小益带着组员进行了市场调研，调研发现，某文化用品商店的每个文具袋的售价比进价多8元，一个文具袋的进价与售价之和为56元，每天可售出200个，如果每个文具袋涨价1元，每天就会少卖5个． （1）该文具袋的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变，同时使得销量尽可能大的条件下，若每天销售文具袋所得的销售利润为2160元，该文具袋每个应涨价多少元？ 24. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作交的延长线于点，在上截取，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 25. 按要求解答下列问题： （1）如图①，在中，，，为上一动点，连接，若，则的最小值是_________． （2）如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，求证：． （3）如图③，在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，取的中点记为，连接， 选做一：求的最小值． 选做二：当最小时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题．（每小题3分，共24分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程. 【详解】解：A选项中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； C选项中，含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D选项中，是分式，方程为分式方程，不是整式方程，不符合要求； B选项整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义. 2. 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 3. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 4. 如图是某班级的三角形花架的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 四边形的对角线，相交于点O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，再结合菱形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形的对角线，相交于点O，且互相平分， ∴四边形是平行四边形， A、是平行四边形对边相等的固有性质，不能判定平行四边形ABCD为菱形，故A不符合题意； B、平行四边形中，即一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定四边形为菱形，故B符合题意； C、平行四边形中，根据对角线相等的平行四边形是矩形，只能判定四边形是矩形，不能判定为菱形，故C不符合题意； D、无法推出平行四边形有邻边相等或对角线垂直，不能判定四边形为菱形，故D不符合题意． 6. 某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据增长率规律列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次为人次， 可列方程为． 7. 小伟和小谦分别解一道关于x的一元二次方程，小伟因把一次项系数看错，解得方程两根为和6，小谦因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵小伟仅看错一次项系数，常数项正确， ∴， ∵小谦仅看错常数项，一次项系数正确， ∴，即. ∴原方程为． 8. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 则． 二、填空题．（每小题3分，共18分） 9. 若，则的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由得，将其代入所求分式即可计算出结果． 【详解】解： ， ， 将代入得 ． 10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以首先判断方程类型为一元二次方程，即二次项系数不为0，可得第一个关于k的限制条件．因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式，代入对应系数建立不等式，求解得到第二个关于k的限制条件．取两个限制条件的公共解集，即为k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，首先它必须是一元二次方程，即； 其次， 即， 解得． 综上且． 11. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设诸侯共有x人，则每人行礼次，又每两人都相互行礼一次，故x人共行礼次，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设诸侯共有x人，则每人行礼次， 由题意得：， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故诸侯共有6人． 故答案为：6． 12. 两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形三边长为2，2，3，另一个等腰三角形一边长为6，则另一个等腰三角形周长为_________． 【答案】 14或21 【解析】 【分析】已知一个等腰三角形三边长确定，另一个等腰三角形只给出一条边长为6，未说明该边是腰还是底，需分两种情况结合相似三角形的性质求解，同时验证三角形三边关系． 【详解】解：首先计算已知等腰三角形的周长为， 分两种情况讨论： ①当边长为6的边是另一个等腰三角形的腰时： ∵两个等腰三角形相似，该腰对应原三角形的腰长2， ∴相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴另一个三角形周长为， 此时三边长为6，6，9，满足三角形三边关系，符合要求； ②当边长为6的边是另一个等腰三角形的底时： ∵两个等腰三角形相似，该底对应原三角形的底边长3 ∴相似比为， ∴另一个三角形周长为， 此时三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，符合要求， 综上所述，另一个等腰三角形的周长为14或21． 13. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，先利用菱形的性质和勾股定理，求得，接着利用菱形的面积，即可算得答案． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ∵， ∴菱形的面积， 即， 解得：． 14. 按要求解答下列问题： （选做一）如图，在矩形中，E，F分别为，上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为_________． （选做二）如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（选做一）连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小． （选做二）连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】（选做一）解：连接，，， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当点在上时，最小，即最小． （选做二）如图，连接与相交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O是菱形的中心， 连接，取中点M，连接，，则，为定长， ∵菱形的边长为8，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵M是的中点， ∴， 在Rt中，， 在Rt中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，最小为． 三、解答题．（15-17题，每小题6分；18-22题，每小题7分；23-24题，每小题8分；第25题9分） 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】按照不等式的基本性质解不等式①和②，不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分． 【详解】解：解不等式①：， ， ， 解不等式②：， ， ， 所以，不等式组的解集为：． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程不能因式分解，选用公式法求解． （2）移项整理后可因式分解，选用因式分解法求解 ． 【小问1详解】 解：对于方程  ， , ,  ， 计算判别式得  ， 由求根公式得  ， 即 ． 【小问2详解】 解：原方程  ， 移项整理得  ， 因式分解得  ， 得  或  ， 解得 ． 17. 化简求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【分析】先对括号内通分，再因式分解约分，最后代入计算结果． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，在中，．作出点D，使四边形是矩形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】分别以A，C为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点D，连接，四边形即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 理由∶根据作法得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，尺规作图——作四边形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 19. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，P是线段上的点，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合证明即可． 【详解】略 20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入a，b，c列不等式求解范围． （2）利用韦达定理写出两根之和、两根之积，把已知等式变形，整体代入，解出，再结合（1）的范围取舍． 【小问1详解】 解： 方程有两个不相等的实数根 即 解得 ． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得： ，． 已知， 变形得． 把，代入： 开平方得： 当时，； 当时，． 由（1）得， 不符合条件，舍去． ． 21. 如图，湖滨中学生物项目式学习小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），围成的矩形试验田的面积为240平方米时，求的长． 【答案】的长为米 【解析】 【分析】先设米，利用篱笆小门表示长，根据面积列一元二次方程，最后结合墙长舍去不合理解即可． 【详解】解：设米，则（米）， ， 解得，， 当时，，超出墙的长度，舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为米． 22. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，求直线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【分析】根据点B的坐标得到，由菱形的性质得到，结合点A的坐标求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为． 23. 为在校园商贸街中赢得更大收益，小益带着组员进行了市场调研，调研发现，某文化用品商店的每个文具袋的售价比进价多8元，一个文具袋的进价与售价之和为56元，每天可售出200个，如果每个文具袋涨价1元，每天就会少卖5个． （1）该文具袋的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变，同时使得销量尽可能大的条件下，若每天销售文具袋所得的销售利润为2160元，该文具袋每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该文具袋的进价为24元，售价为32元 （2）该文具袋每个应涨价4元 【解析】 【分析】（1）设一个文具袋进价为元，则一个文具袋售价为元， 根据题意，得，解方程即可． （2）设每个文具袋涨价元，则每天少卖个，实际卖个，每个文具袋获利元，根据题意，得，解方程即可． 【小问1详解】 解：设一个文具袋进价为元，则一个文具袋售价为元， 根据题意，得， 解得， 故 答：该文具袋的进价为24元，售价为32元． 【小问2详解】 解：设每个文具袋涨价元，则每天少卖个，实际卖个，每个文具袋获利元， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 使得销量尽可能大，故舍去， 故符合题意， 答：该文具袋每个应涨价4元． 24. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作交的延长线于点，在上截取，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 则平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（１）结合菱形的对边平行和对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，再结合有一个直角的平行四边形是矩形即可得证； （２）利用菱形的对角线相互垂直和勾股定理，可得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵且， ∴在中，． 25. 按要求解答下列问题： （1）如图①，在中，，，为上一动点，连接，若，则的最小值是_________． （2）如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，求证：． （3）如图③，在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，取的中点记为，连接， 选做一：求的最小值． 选做二：当最小时，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）证明：由旋转得，， ∵，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 在中，， 在等腰中， ∴； （3）选做一：最小值为；选做二：当最小时，四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据垂线段最短及含度直角三角形的性质，即可求解； （2）利用等腰三角形的性质及旋转的性质证明即可求解，进而证出为直角，最后结合勾股定理和等腰直角三角形的斜边平方关系完成等式证明； （3）选做一：在线段上取点，且，连接，，取的中点，连接，先证明得，则，由三角形中位线定理得，则可确定点的运动路径，根据垂线段最短可求得的最小值；选做二：当取最小值时，利用全等三角形面积相等，将的面积转化为的面积计算；再结合等腰直角三角形的性质求出的面积，两部分面积相加即可得到四边形的面积． 【小问1详解】 解：当时，最短， 此时在中，，， ∴， 即的最小值为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：选做一： 如图，在线段上取点，使，连接，，取的中点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴，即， 在与△中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点、分别是线段、的中点， ∴， ∴， ∴点的运动路径是以为其中一个端点的线段，该线段在下方，与所夹的钝角为， 当时，取得最小值， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵当取得最小值时，， ∴点在线段上， ∵是的中点，，， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得， 即最小值为； 选做二： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $