专题06 一元二次不等式与恒成立有解问题8种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题06 一元二次不等式与恒成立有解问题8种常见考法归类 ▌题型01 不含参一元二次不等式的解法 【例1】【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 【变式1-1】【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 【变式1-2】【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 【变式1-3】【答案】B 【分析】解不等式求出集合、，再求即可. 【详解】集合， ， 则. ▌题型02 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式2-1】【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【变式2-2】【答案】(1) (2)时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与判别式的关系即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 【变式2-3】【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. ▌题型03 根据一元二次不等式的解集求参数 【例3】【答案】ACD 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，，， 所以，，因此选项A正确，选项B错误； ，因此选项C正确； 若，则，即， 解得，选项D正确. 【变式3-1】【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 【变式3-2】【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 【变式3-3】【答案】 【分析】分析可知和是方程的两个实数根，利用韦达定理求的值，代入解分式不等式即可. 【详解】不等式，即的解集为， 则和是方程的两个实数根， 则，解得， 则，等价于，解得 故该不等式的解集为． ▌题型04 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 【例4】【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 【变式4-1】【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 【变式4-2】【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 【变式4-3】【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. ▌题型05 一元二次不等式在R上的恒成立问题 【例5】【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 【变式5-1】【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 【变式5-2】【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 【变式5-3】【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B ▌题型06 一元二次不等式在指定区间上的恒成立问题 【例6】【答案】A 【分析】由参变量分离法可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得， 令，则， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式6-1】【答案】 【分析】由参变量分离法可得对任意恒成立，利用基本不等式求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 记，等价于， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式6-2】【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 【变式6-3】【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. ▌题型07 已知参数范围求不等式恒成立的x解集 【例7】【答案】 【分析】根据主元法得对恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案. 【详解】由不等式对恒成立， 得对恒成立， 令，得， 解得， ∴实数x的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-1】【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 【变式7-2】【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 【变式7-3】【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立判断得出判别式小于0，最后解一元二次不等式即可； （2）转换未知量，把当做未知量函数变为一次函数，结合给定区间使，列不等式组求解即可. 【详解】（1）对任意实数，都有，等价于， 的取值范围是； （2）设，存在，使， 等价于，或 ，或， 的取值范围是. ▌题型08 一元二次不等式的有解问题 【例8】【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 【变式8-1】【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 【变式8-2】【答案】 【详解】因为，所以， 又命题“，”为假命题， 即，即． 【变式8-3】【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次不等式与恒成立有解问题8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型01不含参一元二次不等式的解法 题型02含参数的一元二次不等式的解法 题型03根据一元二次不等式的解集求参数 题型04根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 题型05一元二次不等式在R上的恒成立问题 题型06一元二次不等式在指定区间上的恒成立问题 题型07已知参数范围求不等式恒成立的x解集 题型08一元二次不等式的有解问题 ▌题型01 不含参一元二次不等式的解法 1.核心逻辑 依托二次函数图像判断解集：开口向上，大于0取两边，小于0取中间；开口向下先化正（同步反转不等号）再求解。 2.解题步骤 (1)标准化：移项让右侧为0，两边乘，保证； (2)求根：因式分解/求根公式解方程，记； (3)写解集：或； 注：特殊判别式处理： (1)：解集；无解 (2)：解集；无解 3.易错提醒 (1)化简时不等号忘记反向； (2)、对应的解集记混； (3)带等号不等式遗漏区间端点。 【例1】（2026高二·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-1】【多选】（2026高二·福建福州·期末）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高二·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌题型02 含参数的一元二次不等式的解法 统一讨论顺序：二次项系数判别式两根大小 （一）对二次项系数的讨论 1.核心逻辑 前含参数，分三类：（一次不等式）、（开口向上）、（开口向下），分类求解。 2.解题步骤 (1)：单独解一次不等式； (2)：正常求根，大于取两边，小于取中间； (3)：两边除以，不等号反向后再求解。 3.易错提醒 (1)不改变不等号方向； (2)遗漏的一次情况。 （二）对判别式的讨论 1.核心逻辑 固定，按、、三种图像情况分别写解集。 2.解题步骤 (1)计算； (2)：两不等实根，结合开口写解集； (3)：图像与轴相切，区分有无等号； (4)：函数恒正/恒负，直接写全体实数或空集。 3.易错提醒 (1)判别式计算符号出错； (2)混淆时大于0和小于0的解集。 （三）对两根大小的讨论 1.核心逻辑 因式分解为，含参数，必须比较两根大小分情况。 2.解题步骤 (1)因式分解得到两根； (2)分三类：、、； (3)每类按“大于取两边，小于取中间”写解集。 3.易错提醒 默认，不分类讨论造成漏解。 【例2】（2026高一·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【变式2-1】（26-27高三·全国·一轮复习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【变式2-2】（2026高一·浙江杭州·期中）已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【变式2-3】（2026高一·湖北黄石·阶段检测）解关于x的不等式． ▌题型03 根据一元二次不等式的解集求参数 1. 核心逻辑 解集端点是对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程求参数。 2. 解题步骤 (1)由解集判断开口：两段解集 ，区间解集 ； (2)把解集端点当作方程 两根； (3)韦达定理：，列方程组； (4)解参数后代回检验。 3. 易错提醒 (1)开口方向判断相反； (2)韦达定理符号记混。 【例3】【多选】（2026高二·陕西商洛·阶段检测）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 【变式3-1】【多选】（2026高一·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【变式3-2】（2026高一·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【变式3-3】（2026高二·云南昆明·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为_____________________________． ▌题型04 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 1. 核心逻辑 先写出含参解集区间，根据整数个数限制，锁定区间端点取值范围。 2. 解题步骤 (1)分类讨论，写出解集区间 ； (2)找出区间内所有整数； (3)列边界不等式：左端点 最小整数 且 左端点 前一整数；右端点 最大整数 且 右端点 后一整数； (4)联立不等式解参数。 3. 易错提醒 端点等号判断错误，整数个数多1个或少1个。 【例4】（2026高一·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式4-1】（2026高一·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【变式4-2】（2026高二·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】【多选】（2026高一·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． ▌题型05 一元二次不等式在R上的恒成立问题 1.核心逻辑 (1)在恒成立：图像全在轴上方 (2)在恒成立：图像全在轴下方 (3)单独验证一次不等式。 2.解题步骤 (1)分、两类； (2)联立开口、判别式不等式组； (3)合并所有符合条件的参数范围。 3.易错提醒 (1)漏掉讨论； (2)恒成立与有解条件混淆。 【例5】（2026高二·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026高二·山东临沂·阶段检测）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式5-3】（2026高一·山东淄博·阶段检测）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌题型06 一元二次不等式在指定区间上的恒成立问题 1.核心逻辑 (1)方法①分离参数：恒成立；恒成立 (2)方法②图像法：结合开口、对称轴、区间端点列约束。 2.解题步骤（分离参数） (1)分离参数至不等式一侧； (2)求另一侧二次函数在区间上的最值； (3)参数大于最大值或小于最小值。 3.易错提醒 最值大小关系取反；忽略区间开闭对最值的影响。 【例6】（2026高一·辽宁·阶段检测）对任意的，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式6-2】（2026高二·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（2026高三·山西吕梁·阶段检测）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为_____. ▌题型07 已知参数范围求不等式恒成立的x解集 1.核心逻辑 主元转换：把参数当作自变量，当作常数，整理成关于参数的一次不等式，结合给定参数范围恒成立，反求的取值。 2.解题步骤 (1)整理式子，交换主元：以参数为主元，写成（或）； (2)若为一次函数：区间端点函数值同时满足不等号； (3)解关于的不等式，得到解集。 3.易错提醒 分不清谁是主元，依旧以为主元计算；忽略参数给定区间端点。 【例7】（2026高一·吉林长春·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______． 【变式7-1】（2026高一·山东淄博·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026高一·云南红河·阶段检测）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026高一·江苏南京·阶段检测）设. (1)若对任意实数，都有，求的取值范围； (2)若存在，使，求的取值范围. ▌题型08 一元二次不等式的有解问题 1.核心逻辑 存在至少一个满足不等式： -有解函数最大值 -有解函数最小值 2.解题步骤 (1)分、； (2)求函数全局/区间最值； (3)根据最值列不等式求解参数。 3.易错提醒 套用恒成立的最值规则，条件颠倒。 【例8】（2026高一·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【变式8-1】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【变式8-2】（2026高一·广东揭阳·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【变式8-3】（2026高一·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元二次不等式与恒成立有解问题8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型01不含参一元二次不等式的解法 题型02含参数的一元二次不等式的解法 题型03根据一元二次不等式的解集求参数 题型04根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 题型05一元二次不等式在R上的恒成立问题 题型06一元二次不等式在指定区间上的恒成立问题 题型07已知参数范围求不等式恒成立的x解集 题型08一元二次不等式的有解问题 ▌题型01 不含参一元二次不等式的解法 1.核心逻辑 依托二次函数图像判断解集：开口向上，大于0取两边，小于0取中间；开口向下先化正（同步反转不等号）再求解。 2.解题步骤 (1)标准化：移项让右侧为0，两边乘，保证； (2)求根：因式分解/求根公式解方程，记； (3)写解集：或； 注：特殊判别式处理： (1)：解集；无解 (2)：解集；无解 3.易错提醒 (1)化简时不等号忘记反向； (2)、对应的解集记混； (3)带等号不等式遗漏区间端点。 【例1】（2026高二·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 【变式1-1】【多选】（2026高二·福建福州·期末）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 【变式1-2】（2026高二·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 【变式1-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合、，再求即可. 【详解】集合， ， 则. ▌题型02 含参数的一元二次不等式的解法 统一讨论顺序：二次项系数判别式两根大小 （一）对二次项系数的讨论 1.核心逻辑 前含参数，分三类：（一次不等式）、（开口向上）、（开口向下），分类求解。 2.解题步骤 (1)：单独解一次不等式； (2)：正常求根，大于取两边，小于取中间； (3)：两边除以，不等号反向后再求解。 3.易错提醒 (1)不改变不等号方向； (2)遗漏的一次情况。 （二）对判别式的讨论 1.核心逻辑 固定，按、、三种图像情况分别写解集。 2.解题步骤 (1)计算； (2)：两不等实根，结合开口写解集； (3)：图像与轴相切，区分有无等号； (4)：函数恒正/恒负，直接写全体实数或空集。 3.易错提醒 (1)判别式计算符号出错； (2)混淆时大于0和小于0的解集。 （三）对两根大小的讨论 1.核心逻辑 因式分解为，含参数，必须比较两根大小分情况。 2.解题步骤 (1)因式分解得到两根； (2)分三类：、、； (3)每类按“大于取两边，小于取中间”写解集。 3.易错提醒 默认，不分类讨论造成漏解。 【例2】（2026高一·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式2-1】（26-27高三·全国·一轮复习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【变式2-2】（2026高一·浙江杭州·期中）已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与判别式的关系即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 【变式2-3】（2026高一·湖北黄石·阶段检测）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. ▌题型03 根据一元二次不等式的解集求参数 1. 核心逻辑 解集端点是对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程求参数。 2. 解题步骤 (1)由解集判断开口：两段解集 ，区间解集 ； (2)把解集端点当作方程 两根； (3)韦达定理：，列方程组； (4)解参数后代回检验。 3. 易错提醒 (1)开口方向判断相反； (2)韦达定理符号记混。 【例3】【多选】（2026高二·陕西商洛·阶段检测）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，，， 所以，，因此选项A正确，选项B错误； ，因此选项C正确； 若，则，即， 解得，选项D正确. 【变式3-1】【多选】（2026高一·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 【变式3-2】（2026高一·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 【变式3-3】（2026高二·云南昆明·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为_____________________________． 【答案】 【分析】分析可知和是方程的两个实数根，利用韦达定理求的值，代入解分式不等式即可. 【详解】不等式，即的解集为， 则和是方程的两个实数根， 则，解得， 则，等价于，解得 故该不等式的解集为． ▌题型04 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 1. 核心逻辑 先写出含参解集区间，根据整数个数限制，锁定区间端点取值范围。 2. 解题步骤 (1)分类讨论，写出解集区间 ； (2)找出区间内所有整数； (3)列边界不等式：左端点 最小整数 且 左端点 前一整数；右端点 最大整数 且 右端点 后一整数； (4)联立不等式解参数。 3. 易错提醒 端点等号判断错误，整数个数多1个或少1个。 【例4】（2026高一·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 【变式4-1】（2026高一·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 【变式4-2】（2026高二·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 【变式4-3】【多选】（2026高一·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. ▌题型05 一元二次不等式在R上的恒成立问题 1.核心逻辑 (1)在恒成立：图像全在轴上方 (2)在恒成立：图像全在轴下方 (3)单独验证一次不等式。 2.解题步骤 (1)分、两类； (2)联立开口、判别式不等式组； (3)合并所有符合条件的参数范围。 3.易错提醒 (1)漏掉讨论； (2)恒成立与有解条件混淆。 【例5】（2026高二·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 【变式5-1】（2026高二·山东临沂·阶段检测）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 【变式5-3】（2026高一·山东淄博·阶段检测）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B ▌题型06 一元二次不等式在指定区间上的恒成立问题 1.核心逻辑 (1)方法①分离参数：恒成立；恒成立 (2)方法②图像法：结合开口、对称轴、区间端点列约束。 2.解题步骤（分离参数） (1)分离参数至不等式一侧； (2)求另一侧二次函数在区间上的最值； (3)参数大于最大值或小于最小值。 3.易错提醒 最值大小关系取反；忽略区间开闭对最值的影响。 【例6】（2026高一·辽宁·阶段检测）对任意的，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由参变量分离法可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得， 令，则， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式6-1】（2026高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由参变量分离法可得对任意恒成立，利用基本不等式求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 记，等价于， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式6-2】（2026高二·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 【变式6-3】（2026高三·山西吕梁·阶段检测）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. ▌题型07 已知参数范围求不等式恒成立的x解集 1.核心逻辑 主元转换：把参数当作自变量，当作常数，整理成关于参数的一次不等式，结合给定参数范围恒成立，反求的取值。 2.解题步骤 (1)整理式子，交换主元：以参数为主元，写成（或）； (2)若为一次函数：区间端点函数值同时满足不等号； (3)解关于的不等式，得到解集。 3.易错提醒 分不清谁是主元，依旧以为主元计算；忽略参数给定区间端点。 【例7】（2026高一·吉林长春·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据主元法得对恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案. 【详解】由不等式对恒成立， 得对恒成立， 令，得， 解得， ∴实数x的取值范围是. 故答案为：. 【变式7-1】（2026高一·山东淄博·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 【变式7-2】（2026高一·云南红河·阶段检测）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 【变式7-3】（2026高一·江苏南京·阶段检测）设. (1)若对任意实数，都有，求的取值范围； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立判断得出判别式小于0，最后解一元二次不等式即可； （2）转换未知量，把当做未知量函数变为一次函数，结合给定区间使，列不等式组求解即可. 【详解】（1）对任意实数，都有，等价于， 的取值范围是； （2）设，存在，使， 等价于，或 ，或， 的取值范围是. ▌题型08 一元二次不等式的有解问题 1.核心逻辑 存在至少一个满足不等式： -有解函数最大值 -有解函数最小值 2.解题步骤 (1)分、； (2)求函数全局/区间最值； (3)根据最值列不等式求解参数。 3.易错提醒 套用恒成立的最值规则，条件颠倒。 【例8】（2026高一·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 【变式8-1】（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 【变式8-2】（2026高一·广东揭阳·阶段检测）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因为，所以， 又命题“，”为假命题， 即，即． 【变式8-3】（2026高一·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $