专题02 不等式恒成立、有解问题（专项训练10大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念辨析-方法突破-综合应用”为主线，系统构建不等式恒成立与有解问题的解题体系，突出逻辑推理与数学语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式应用|7题|基本不等式法求最值|从“恒成立/有解”概念切入，结合正实数条件构建不等关系| |概念辨析|4题|定义对比法|通过全称与特称命题辨析，强化逻辑思维| |二次函数全域恒成立|4题|判别式法、解集反求参数|从函数图像与判别式关系推导参数范围| |二次函数区间恒成立|5题|参变分离法、变换主元法|将区间问题转化为最值或一次函数恒成立，体现转化思想| |区间有解|4题|存在性最值分析法|利用函数在区间的存在性条件求参数范围| |双函数综合最值|3题|任意存在复合型最值策略|结合双函数值域关系，培养数学抽象能力| |命题综合|4题|真假命题等价转化法|将命题真假转化为不等式恒成立/有解问题，提升数学表达能力|

专题02不等式恒成立、有解问题 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式恒成立与有解问题 题型1 基本不等式恒成立问题（高频.重点） 题型2基本不等式有解问题（重点） 考点二 恒成立、有解基础概念辨析 题型3 恒成立、有解基础辨析 考点三 一元二次不等式在全体实数上恒成立 题型4 二次函数全域恒成立，判别式法求参数（高频） 题型5 已知不等式解集，反求参数并求解衍生不等式（重点） 考点四 一元二次不等式在指定区间恒成立 题型6 参变分离法求解区间恒成立参数范围（重点） 题型7变换主元，将参数视作自变量转化为一次恒成立问题（难点） 考点五 一元二次不等式在指定区间有解 题型8给定区间存在实数满足不等式，求参数范围（高频.重点） 考点六任意、存在综合最值问题 题型9 双函数任意存在复合型最值题型（难点） 考点七 恒成立、有解与命题综合 题型10全称、特称命题真假结合求解参数（重点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式恒成立与有解问题 ◆题型1 基本不等式恒成立问题 1． （25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若正实数x，y满足，且恒成立，求实数a的取值范围. 2．（高一上·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 3．（高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 4．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 ◆题型2 基本不等式有解问题 5．（25-26高一上·湖北·期中）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围. 6．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）对于函数，已知，当时，， (1)若存在正实数、，使不等式有解，求实数的取值范围； (2)求的最小值． 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知，，完成下列各题： (1)讨论与的大小关系； (2)若，求的最小值； (3)若，且恒成立，求实数λ的取值范围． 考点二 恒成立、有解基础概念辨析 ◆题型3 恒成立、有解基础辨析 8．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 9．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 10．（高一上·江苏南通·阶段检测）设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 11．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值范围. 考点三 一元二次不等式在全体实数上恒成立 ◆题型4 二次函数全域恒成立，判别式法求参数 12.（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 13．（高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 14．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·云南迪庆·期末）已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． ◆题型5 已知不等式解集，反求参数并求解衍生不等式 16．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·湖北十堰·期末）设函数，. (1)若关于x的不等式的解集为，求a的值； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 考点四 一元二次不等式在指定区间恒成立 ◆题型6 参变分离法求解区间恒成立参数范围 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 20．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知集合（m为实数）. (1)求； (2)若，求的值； (3)若对于，都有，求实数的取值范围. 21．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围. 22．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 23．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值. ◆题型7 变换主元，将参数视作自变量转化为一次恒成立问题 24．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 25．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 26．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知，. (1)若不等式的解集非空，求实数的取值范围； (2)若，求不等式的解集； (3)若不等式对于恒成立，求的取值集合. 考点五 一元二次不等式在指定区间有解 ◆题型8 给定区间存在实数满足不等式，求参数范围 27．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 28．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 29．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集是，求实数的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式：. 30．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 考点六 任意、存在综合最值问题 ◆题型9 双函数任意存在复合型最值题型 31．（高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 32．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 33．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 考点七 恒成立、有解与命题综合 ◆题型10 全称、特称命题真假结合求解参数 34.（25-26高二下·上海黄浦·期末）命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 35．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知命题“存在，使得”为假命题． (1)求实数的取值集合A． (2)设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 36．（2026高一·全国·专题练习）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 37．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 4．23．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山西晋城·期末）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 二、填空题 8．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 9．（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）写出使得命题“，”的否定是假命题的一个实数的值__________. 三、解答题 11．（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，，，求的最小值. 12．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设，. (1)解关于x的不等式； (2)设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围. 13．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知实数，，满足． (1)证明对任意的，，恒成立， (2)若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； (3)自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02不等式恒成立、有解问题 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式恒成立与有解问题 ◆题型1 基本不等式恒成立问题 1．【详解】由正实数x，y满足，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 由恒成立，可得， 所以，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 2．【详解】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 3．【详解】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 4．【详解】（1）， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. （2）若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 ◆题型2 基本不等式有解问题 5. 【详解】（1），，. ，. 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 6．【详解】（1）当时，，又， 所以，即，所以. 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以若存在正实数、，有解，即， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. （2）由（1），即， 所以 =， 当且仅当时取等号. 故的最小值是. 7．【详解】（1）解：由， 因为，可得， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． （2）解：因为，所以， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． （3）解：由 ， 当且仅当，且，即时等号成立， 故实数λ的取值范围为. 考点二 恒成立、有解基础概念辨析 ◆题型3 恒成立、有解基础辨析 8．【详解】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 9．【详解】（1）若，不等式，即，解得， 所以不等式解集为. （2）对任意恒成立，即对任意恒成立， ① 当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ② 当时，函数的图像抛物线开口向上， 对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③ 当，函数的图像抛物线开口向下， 要使得对任意恒成立，即，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （3）不等式，即， 因为， 故存在使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 10．【详解】（1）因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立，只需， 其中在上单调递增，故， 所以，解得，所以的取值范围； （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立，则， 其中，而，故时，， 所以，故； 因为命题p与命题q中有且只有一个是真命题， 所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以m的取值范围为. 11．【详解】（1）因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，即，解得，         则的取值范围. （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则.         因为，且单调递减， 所以，     所以，故解得；         若为假命题，为真命题，则或，所以.     综上可得的取值范围为. 考点三 一元二次不等式在全体实数上恒成立 ◆题型4 二次函数全域恒成立，判别式法求参数 12. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； （2）由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 13. 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 14．【详解】（1）不等式的解集为 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得， 则； （2）由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 若时，即或， 当时，满足， 当时，不成立，不满足， 若，需满足，解得，且， 综上可知：实数的取值范围为. 15．【详解】（1）因为， 所以，解得. 又因为的最小值为 所以，代入得，解得， 故. （2）当时，对一切实数都成立 即对一切实数都成立， 则，解得. 所以实数的取值范围为. ◆题型5 已知不等式解集，反求参数并求解衍生不等式 16．【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 17．【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以方程有两根为-1和2，且， 由韦达定理得解得， 所以. （2）由（1）得，所以由，得. 即， 因为，故. 当时，，所以不等式的解集为， 要使得关于的不等式恰有3个整数解，则这3个整数解是3，4，5. 所以，解得. 当时，不等式化为，所以不等式解集为，不符合题意； 当时，，所以不等式的解集为， 此时关于的不等式最多有1个整数解，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 18．【详解】（1）依题意，且函数的两个零点分别是2和3， 所以，， 所以； （2）不等式恒成立，即恒成立. 当时不等式成立； 当时，不等式不可能恒成立； 当时，需，解得或，所以. 综合得的取值范围为. 考点四 一元二次不等式在指定区间恒成立 ◆题型6 参变分离法求解区间恒成立参数范围 19．【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 20．【详解】（1）集合，则， 不等式，即，解得或， 所以. （2）由，且， 得n与6为方程的两根，且， 则，解得， 所以. （3）， 因此，即对成立， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 21．【详解】（1）（1）当时，， 则， 解得：或，即不等式的解集为：； （2）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则， 令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立， 则， 所以实数的取值范围是. 22．【详解】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； （3）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 23．【详解】（1）由的解集为，得，且是方程的解， 则，，解得，， 不等式化为，解得， 所以不等式的解集为. （2）当时，， 而，则， 依题意，存在，使得成立，因此， 所以实数的取值范围是. （3）由对任意，不等式恒成立，得，，而 则，，， 令，则，， 当且仅当，即，时取等号， 所以当，时，取得最小值. ◆题型7 变换主元，将参数视作自变量转化为一次恒成立问题 24．【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 25．【详解】（1）由题意可知，且的两根为和， ∴由根与系数的关系得，解得， 此时不等式即为符合题意，所以； （2）当时，. 所以对恒成立对恒成立， 因为当时，，所以对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得. 故的取值范围为. 26．【详解】（1）由题设有解， 当时，，符合题意； 当时，不等式恒有解，符合题意， 当时，需要，可得； 综上，的范围为. （2）由题意得，由不等式，可得，即， 当时，不等式可化为，则； 当时，方程，则，或， 当时，，则或； 当时，，即； 综上： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 （3）由题设对于恒成立，则， 即，解得， ，则的取值范围为. 考点五 一元二次不等式在指定区间有解 ◆题型8 给定区间存在实数满足不等式，求参数范围 27．【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 28．【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 29．【详解】（1）由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，，解得， （2）， 即， 所以， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即 （3）由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，，且， 故的解集为； 若，①当，即时的解集为； ②当即时，由，故解集为； ③当即时，的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 30．【详解】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. （2）当时，由整理得，解得； 当时，由整理得， 即，解得； 当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 考点六 任意、存在综合最值问题 ◆题型9 双函数任意存在复合型最值题型 31．【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 32．【详解】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即 解得． （2）当，当， 由题意得 ∴得， 此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得； （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 33．【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 考点七 恒成立、有解与命题综合 ◆题型10 全称、特称命题真假结合求解参数 34.【详解】（1）若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 35．【详解】（1）因为“存在，使得”为假命题， 故，使为真命题， 所以，解得， 得到； （2）由整理可得 设，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以，所以， 所以， 因为是的必要不充分条件， 故是的真子集，所以（等号不同时成立），解得． 故实数的取值范围为． 36．【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 37．【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．D 5．B 6．ACD 7．BD 二、填空题 8． 9． 10．（答案不唯一，满足的都可以） 三、解答题 11． 【详解】（1）当时，，不等式的解集为， 当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去； 当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去； 当时，需要满足， 展开并整理：， 因式分解：，解得， 所以实数的取值范围是。 （2）已知，代入函数得：， 整理得：， 因为，所以，且可变形为， 令，则，目标式变为：， ， 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 代入，得，，此时，， 因此：， 所以的最小值为. 12．【详解】（1），即， 当时，此时不等式的解集为， 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，此时不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，函数在上单调递增， 故对，，满足条件； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 13．【详解】（1），令， 则， 所以 ， 所以恒成立； （2）令，则， 故 ， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， 由于，当且仅当，时，等号成立， 所以，为大于1的自然数，所以或3； （3）自然数p，m，n满足时，对，，恒成立； 理由如下：令，则， 则， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， p，m，n为自然数，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即， 所以，，必要性成立， 当时，，即， 所以， 所以对，，恒成立，充分性成立， 综上，自然数p，m，n满足时，对，，恒成立. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02不等式恒成立、有解问题 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式恒成立与有解问题 题型1 基本不等式恒成立问题（高频.重点） 题型2基本不等式有解问题（重点） 考点二 恒成立、有解基础概念辨析 题型3 恒成立、有解基础辨析 考点三 一元二次不等式在全体实数上恒成立 题型4 二次函数全域恒成立，判别式法求参数（高频） 题型5 已知不等式解集，反求参数并求解衍生不等式（重点） 考点四 一元二次不等式在指定区间恒成立 题型6 参变分离法求解区间恒成立参数范围（重点） 题型7变换主元，将参数视作自变量转化为一次恒成立问题（难点） 考点五 一元二次不等式在指定区间有解 题型8给定区间存在实数满足不等式，求参数范围（高频.重点） 考点六任意、存在综合最值问题 题型9 双函数任意存在复合型最值题型（难点） 考点七 恒成立、有解与命题综合 题型10全称、特称命题真假结合求解参数（重点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 基本不等式恒成立与有解问题 ◆题型1 基本不等式恒成立问题 1．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若正实数x，y满足，且恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用基本不等式1的妙用求得的最小值，可得不等式，求解即可得实数a的取值范围. 【详解】由正实数x，y满足，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 由恒成立，可得， 所以，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 2．（高一上·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可. 【详解】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 3．（高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【分析】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 4．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可； （2）根据恒成立可得：，进而通过解绝对值不等式求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. （2）若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 ◆题型2 基本不等式有解问题 5．（25-26高一上·湖北·期中）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求得正确答案. （2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1），，. ，. 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 6．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）对于函数，已知，当时，， (1)若存在正实数、，使不等式有解，求实数的取值范围； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）存在性问题转化为最值问题，先由“1”的代换求的最小值，再求解的二次不等式； （2）由已知得，将转化为，再由“1”的代换求最小值. 【详解】（1）当时，，又， 所以，即，所以. 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以若存在正实数、，有解，即， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. （2）由（1），即， 所以 =， 当且仅当时取等号. 故的最小值是. 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知，，完成下列各题： (1)讨论与的大小关系； (2)若，求的最小值； (3)若，且恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，分，和，三种情况讨论，即可求解； （2）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）将原式变形为，两次运用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由， 因为，可得， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． （2）解：因为，所以， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． （3）解：由 ， 当且仅当，且，即时等号成立， 故实数λ的取值范围为. 考点二 恒成立、有解基础概念辨析 ◆题型3 恒成立、有解基础辨析 8．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 9．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入函数解析式，解不等式即可；     （2）分类讨论解决不等式恒成立问题； （3）问题等价于存在使得成立，求在时的最大值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）若，不等式，即，解得， 所以不等式解集为. （2）对任意恒成立，即对任意恒成立， ① 当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ② 当时，函数的图像抛物线开口向上， 对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③ 当，函数的图像抛物线开口向下， 要使得对任意恒成立，即，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （3）不等式，即， 因为， 故存在使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 10．（高一上·江苏南通·阶段检测）设命题p:对任意，不等式恒成立；命题q:存在，使得不等式成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p与命题q中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的取值范围； (2)m的取值范围为. 【分析】（1）求出即可，由函数单调性求出，故，解不等式得到答案； （2）求出为真命题时的，进而分为真命题，为假命题或为假命题，为真命题两种情况，求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立，只需， 其中在上单调递增，故， 所以，解得，所以的取值范围； （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立，则， 其中，而，故时，， 所以，故； 因为命题p与命题q中有且只有一个是真命题， 所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以m的取值范围为. 11．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据恒成立问题得，求得，解不等式即可得解； （2）根据有解问题得，利用二次函数单调性求得最小值列不等式得，然后根据命题为假命题且命题为真命题列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，即，解得，         则的取值范围. （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则.         因为，且单调递减， 所以，     所以，故解得；         若为假命题，为真命题，则或，所以.     综上可得的取值范围为. 考点三 一元二次不等式在全体实数上恒成立 ◆题型4 二次函数全域恒成立，判别式法求参数 12.（25-26高二下·天津宝坻·期末）设函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次不等式解法结合题设可得答案； （2）问题等价于恒成立，然后分，两种情况可得答案. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式， 即，所以不等式的解集为； （2）由对任意实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即， 解得，所以的取值范围是． 13．（高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 14．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）由三个二次的关系以及韦达定理求解即可； （2）通过，，讨论求解即可； （3）令，由求解即可. 【详解】（1）不等式的解集为 即的解集为， 可知方程的两个根为，且， 由根与系数的关系可得，解得， 则； （2）由，即， 得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，解得； 当时，解得，不等式的解集为. 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3）不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令， 若时，即或， 当时，满足， 当时，不成立，不满足， 若，需满足，解得，且， 综上可知：实数的取值范围为. 15．（25-26高一上·云南迪庆·期末）已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，得，求解.再由的最小值为建立关于的方程并求解即可； （2）根据题意得对一切实数都成立，再利用判别式求解. 【详解】（1）因为， 所以，解得. 又因为的最小值为 所以，代入得，解得， 故. （2）当时，对一切实数都成立 即对一切实数都成立， 则，解得. 所以实数的取值范围为. ◆题型5 已知不等式解集，反求参数并求解衍生不等式 16．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 17．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的解集得到相应方程的实数根，根据根与系数的关系可得； （2）根据（1）得到的关系，代入不等式求解，讨论其解集的情况，并根据该不等式恰有3个整数解，确定实数的取值范围. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以方程有两根为-1和2，且， 由韦达定理得解得， 所以. （2）由（1）得，所以由，得. 即， 因为，故. 当时，，所以不等式的解集为， 要使得关于的不等式恰有3个整数解，则这3个整数解是3，4，5. 所以，解得. 当时，不等式化为，所以不等式解集为，不符合题意； 当时，，所以不等式的解集为， 此时关于的不等式最多有1个整数解，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·湖北十堰·期末）设函数，. (1)若关于x的不等式的解集为，求a的值； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集和韦达定理求出参数； （2）先对不等式进行化简，然后根据二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）依题意，且函数的两个零点分别是2和3， 所以，， 所以； （2）不等式恒成立，即恒成立. 当时不等式成立； 当时，不等式不可能恒成立； 当时，需，解得或，所以. 综合得的取值范围为. 考点四 一元二次不等式在指定区间恒成立 ◆题型6 参变分离法求解区间恒成立参数范围 19．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 20．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知集合（m为实数）. (1)求； (2)若，求的值； (3)若对于，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合； （2）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （3）先参数分离，再应用基本不等式取得最小值，进而得出参数范围. 【详解】（1）集合，则， 不等式，即，解得或， 所以. （2）由，且， 得n与6为方程的两根，且， 则，解得， 所以. （3）， 因此，即对成立， 而，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 21．（25-26高一上·山东泰安·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将代入函数的表达式，通过解具体的一元二次不等式求其解集 （2）先将不等式进行化简，然后通过分离参数法，将问题转化为求函数的最值问题，进而求出实数的取值范围。 【详解】（1）（1）当时，， 则， 解得：或，即不等式的解集为：； （2）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则， 令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立， 则， 所以实数的取值范围是. 22．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可； （2）利用对称轴分为三类区间来讨论二次函数的单调性，然后求出最小值； （3）利用分离参变量思想，构造对勾函数来判断单调性求最大值，即可求解参数的范围. 【详解】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； （3）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 23．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)8. 【分析】（1）根据给定条件，借助韦达定理求出，进而求不等式的解集. （2）分离参数，利用存在量词命题为真命题求出范围. （3）由给定条件可得，由此可得，再换元并结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）由的解集为，得，且是方程的解， 则，，解得，， 不等式化为，解得， 所以不等式的解集为. （2）当时，， 而，则， 依题意，存在，使得成立，因此， 所以实数的取值范围是. （3）由对任意，不等式恒成立，得，，而 则，，， 令，则，， 当且仅当，即，时取等号， 所以当，时，取得最小值. ◆题型7 变换主元，将参数视作自变量转化为一次恒成立问题 24．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 25．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由三个二次的关系将题设等价于的两根为和，且，再根据韦达定理求解； （2）对恒成立对恒成立，由一次函数的性质即可求解； 【详解】（1）由题意可知，且的两根为和， ∴由根与系数的关系得，解得， 此时不等式即为符合题意，所以； （2）当时，. 所以对恒成立对恒成立， 因为当时，，所以对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得. 故的取值范围为. 26．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知，. (1)若不等式的解集非空，求实数的取值范围； (2)若，求不等式的解集； (3)若不等式对于恒成立，求的取值集合. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）转化为有解问题，分，和讨论即可； （2）移项因式分解有，再对分类讨论即可； （3）变换主元，再代入端点得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题设有解， 当时，，符合题意； 当时，不等式恒有解，符合题意， 当时，需要，可得； 综上，的范围为. （2）由题意得，由不等式，可得，即， 当时，不等式可化为，则； 当时，方程，则，或， 当时，，则或； 当时，，即； 综上： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 （3）由题设对于恒成立，则， 即，解得， ，则的取值范围为. 考点五 一元二次不等式在指定区间有解 ◆题型8 给定区间存在实数满足不等式，求参数范围 27．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 28．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 29．（25-26高一上·江苏扬州·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集是，求实数的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)， (2) (3)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）由为方程的两根，结合韦达定理即可求解； （2）问题转换成恒成立即可求解； （3）通过，，，，讨论即可. 【详解】（1）由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，，解得， （2）， 即， 所以， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即 （3）由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，，且， 故的解集为； 若，①当，即时的解集为； ②当即时，由，故解集为； ③当即时，的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 30．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. （2）当时，由整理得，解得； 当时，由整理得， 即，解得； 当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 考点六 任意、存在综合最值问题 ◆题型9 双函数任意存在复合型最值题型 31．（高一上·安徽·竞赛）已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 32．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式恒成立转化为恒成立，再根据即可求m的取值范围； （2）将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据区间的两端点的函数值可得到的对称轴在区间之间，从而可得到，进而可求得m的取值范围； （3）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，根据即可求解． 【详解】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即 解得． （2）当，当， 由题意得 ∴得， 此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得； （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 33．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 考点七 恒成立、有解与命题综合 ◆题型10 全称、特称命题真假结合求解参数 34.（25-26高二下·上海黄浦·期末）命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 35．（25-26高二下·安徽六安·期末）已知命题“存在，使得”为假命题． (1)求实数的取值集合A． (2)设的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据存在量词命题的否定，利用二次函数图象性质解决问题； （2）根据是的必要不充分条件可得集合包含关系，利用子集列出不等式，解决参数范围问题． 【详解】（1）因为“存在，使得”为假命题， 故，使为真命题， 所以，解得， 得到； （2）由整理可得 设，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以，所以， 所以， 因为是的必要不充分条件， 故是的真子集，所以（等号不同时成立），解得． 故实数的取值范围为． 36．（2026高一·全国·专题练习）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 37．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到方程无实根，通过判别式即可求解； （2）通过p的否定为真命题求得范围，再结合（1）即可求解. 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 4．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 5．（25-26高一上·湖南郴州·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 6．（26-27高三·全国·一轮复习）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，，即在时恒成立，故A正确； 当时，，即存在，使，故B错误； 当时，，所以当时，恒成立，故C正确； 当，，即当时，恒成立，故D正确． 7．（25-26高一上·山西晋城·期末）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 二、填空题 8．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 9．（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）写出使得命题“，”的否定是假命题的一个实数的值__________. 【答案】（答案不唯一，满足的都可以） 【分析】分析可知，命题“，”为真命题，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得出答案. 【详解】若命题“，”的否定是假命题， 则命题“，”为真命题，所以， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为，所以. 故答案为：（答案不唯一，满足的都可以）. 三、解答题 11．（25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，分情况讨论即可； （2）首先根据代入函数表达式，整理得到与的和为定值；再将所求式与该定值结合，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）当时，，不等式的解集为， 当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去； 当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去； 当时，需要满足， 展开并整理：， 因式分解：，解得， 所以实数的取值范围是。 （2）已知，代入函数得：， 整理得：， 因为，所以，且可变形为， 令，则，目标式变为：， ， 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 代入，得，，此时，， 因此：， 所以的最小值为. 12．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设，. (1)解关于x的不等式； (2)设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围. 【答案】(1) 当时，此时不等式的解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. (2) 【分析】（1）对进行因式分解，得到，再分别对与进行讨论，求解即可. （2）法一：因为为真命题，故对，，分别对与进行讨论求解即可.法二：分离参变量，利用基本不等式求解的最小值. 【详解】（1），即， 当时，此时不等式的解集为， 解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为， 综上，当时，此时不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，函数在上单调递增， 故对，，满足条件； 当，即时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 法2：因为，所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 13．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知实数，，满足． (1)证明对任意的，，恒成立， (2)若为大于1的自然数，能够使得对任意的，，恒成立，求的值； (3)自然数p，m，n满足什么条件时，不等式对任意的，，恒成立？ 【答案】(1)证明见解析； (2)2或3； (3)，理由见解析； 【分析】（1）令，则，所以，证毕； （2）令，则，变形，只需，不等式两边同除以，令，参变分离得到，由基本不等式求出，所以，所以或3； （3）同（2），变形得到，由基本不等式得到，故，得到，证毕. 【详解】（1），令， 则， 所以 ， 所以恒成立； （2）令，则， 故 ， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， 由于，当且仅当，时，等号成立， 所以，为大于1的自然数，所以或3； （3）自然数p，m，n满足时，对，，恒成立； 理由如下：令，则， 则， 其中，要想，只需， 不等式两边同除以得， 令，故，即， p，m，n为自然数，其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即， 所以，，必要性成立， 当时，，即， 所以， 所以对，，恒成立，充分性成立， 综上，自然数p，m，n满足时，对，，恒成立. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $