精品解析：江苏常州市河海实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学作业 一、单选题（共9小题，每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 同一平面内三点确定一个圆 C. 相等的圆周角所对的弧相等 D. 任何三角形有且只有一个外接圆 4. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 5. 如图，是的直径，点、在上，．则（ ） A. B. C. D. 6. 为丰富校园文化生活，某校举办男女混合团体乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），已知共比赛了28场，若设共有支球队，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹连接交于点，则点为（ ）． A. 的外心 B. 的内心 C. 的外心 D. 的内心 8. 如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共9小题，每题2分） 10. 将一元二次方程化为一般形式（），则一次项系数是_______． 11. 经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 12. 已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 13. 已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 14. 如图，在中，，，则______． 15. 在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 16. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 17. 如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，动点、从原点同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿轴正方向运动，以点为圆心，的长为半径画圆；以为一边，在轴上方作等边．设运动的时间为秒，当与的边所在直线相切时，的值为______． 三、解答题（共55分） 19. 解方程 （1） （2） （3）（用配方法） （4） 20. 如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 23. 【综合与实践】为了更好推广常州特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：常州特色美食销售方案制定问题 常州美食底蕴深厚，尤其是加蟹小笼包和常州麻糕．加蟹小笼包皮薄爆汁、蟹香浓郁，是百年早茶名点；麻糕酥香掉渣，咸甜适口，是常州人钟爱的传统点心！为吸引不同年龄段顾客到店消费，某美食店推出“加蟹小笼包”“常州麻糕”两款镇店招牌美食． 素材1 加蟹小笼包 常州麻糕 素材2 经统计，该美食店5月份“加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“常州麻糕”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“常州麻糕”作降价促销，已知每份“常州麻糕”的成本为9元．经试验，发现每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 （1）任务1：求该美食店“加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ （2）任务2：为使该店8月份“常州麻糕”总利润达到6300元，求“常州麻糕”应该每份降价多少元？ 24. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； （2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； （3）在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 25. 定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． （1）如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； （2）如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； （3）如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业 一、单选题（共9小题，每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、方程中未知数最高次数为1，不是一元二次方程； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； C、方程中是分式，不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程是只含有一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，是一元二次方程． 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，代入已知根求解的值. 【详解】解：将代入方程，得， 整理得， 解得． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 同一平面内三点确定一个圆 C. 相等的圆周角所对的弧相等 D. 任何三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【解析】 【分析】错误选项均缺少对应结论成立的限定条件，可据此判断正误． 【详解】解：A、若被平分的弦是直径，平分该弦的直径不一定与它垂直，错误； B、同一平面内，若三点共线，则无法确定一个圆，错误； C、若不在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧不相等，错误； D、三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，故任何三角形有且只有一个外接圆，正确． 4. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5， ∴6＞5，即：d＜r． ∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C． 5. 如图，是的直径，点、在上，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 6. 为丰富校园文化生活，某校举办男女混合团体乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），已知共比赛了28场，若设共有支球队，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】单循环赛制下总场次计算需考虑重复计数问题． 【详解】解：每支球队需与其余支球队各赛1场，不考虑重复时总场次为场， ∵ 每两支球队之间只进行1场比赛，上述计算中每场被统计2次， ∴ 实际总比赛场数为， 由总比赛场数为28，得． 7. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹连接交于点，则点为（ ）． A. 的外心 B. 的内心 C. 的外心 D. 的内心 【答案】B 【解析】 【分析】根据AB=AC，∠BAC=36°，可得∠ABC=72°，由AE=BE，∠ABE=∠CBE=36°，可得点H是三角形角平分线的交点，进而可以判断点H是△ABC的内心． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°， 由作法知AD是∠BAC的角平分线，EF是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠EAB=∠EBA=36°， ∴∠EBC=72°-36°=36°， ∴∠ABE=∠CBE， ∴BE是∠ABC的角平分线， ∵BE、AD交于点H， ∴点H是三角形内角平分线的交点， ∴点H是△ABC的内心． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是区分三角形的内心与外心． 8. 如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质可得，求得，根据三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质可得． 本题考查了切线的性质，三角形内角和定理和平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 二、填空题（共9小题，每题2分） 10. 将一元二次方程化为一般形式（），则一次项系数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程整理为符合的一元二次方程一般形式，再确定一次项系数即可. 【详解】解：将原方程所有项移到等式左侧，整理得 ∴一次项为，一次项系数为. 11. 经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【解析】 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 12. 已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ∴由根与系数的关系可得， 对所求代数式变形得 将， 代入得原式． 13. 已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 【答案】圆外 【解析】 【分析】点与圆的位置关系可通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小判断，直接比较给定数值即可得到结论． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， ，即 ∴在圆外． 14. 如图，在中，，，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 15. 在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 【答案】 【解析】 【分析】直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，利用勾股定理求出斜边长即可得到结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别为、， ∴由勾股定理可得斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆的直径为． 16. 根据物理学定律，若把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过秒离地面的高度（单位：）为．那么物体经过________秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即可． 【详解】解：当时， 解得：（舍去）， 即物体经过秒落回底面． 故答案为：． 17. 如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=___________． 【答案】25 【解析】 【分析】连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数． 【详解】解：连接OB，如图， ∵边AB与⊙O相切，切点为B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠C， ∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C， ∴∠C=∠AOB=25°． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，动点、从原点同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿轴正方向运动，以点为圆心，的长为半径画圆；以为一边，在轴上方作等边．设运动的时间为秒，当与的边所在直线相切时，的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，根据题意画出图形，并作矩形，先证，再证是含有角的三角形，从而求出与的长，最后在中利用勾股定理建立含t的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：当点B运动到如图所示的位置时，与边所在直线相切，切点为E， 作轴，垂足为F，作轴，垂足为，可得矩形， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题是一道动态几何题．考查了切线的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识．根据题意画出图形，并在图形中证，并在中利用勾股定理建立方程是解题的关键． 三、解答题（共55分） 19. 解方程 （1） （2） （3）（用配方法） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得， 开方得， 解得，． 【小问2详解】 解：，这里，，， ∴， ∴， 解得，． 【小问3详解】 解：， 移项得， 配方，两边同加得，即， 开方得 解得，． 【小问4详解】 解：， 整理方程得， 提取公因式得，即， 得或 解得，． 20. 如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 【答案】证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 【解析】 【分析】根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解． 【详解】略 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD、CD． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形， ∵E为BC的中点， ∴BE=CE=DE， ∴∠CDE=∠DCE， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCD+∠DCE=90°， ∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案； （2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设⊙O的半径为r， ∵∠ODF=90°， ∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2， 解得：r=3， ∴⊙O的半径为3． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 23. 【综合与实践】为了更好推广常州特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：常州特色美食销售方案制定问题 常州美食底蕴深厚，尤其是加蟹小笼包和常州麻糕．加蟹小笼包皮薄爆汁、蟹香浓郁，是百年早茶名点；麻糕酥香掉渣，咸甜适口，是常州人钟爱的传统点心！为吸引不同年龄段顾客到店消费，某美食店推出“加蟹小笼包”“常州麻糕”两款镇店招牌美食． 素材1 加蟹小笼包 常州麻糕 素材2 经统计，该美食店5月份“加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“常州麻糕”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“常州麻糕”作降价促销，已知每份“常州麻糕”的成本为9元．经试验，发现每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 （1）任务1：求该美食店“加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ （2）任务2：为使该店8月份“常州麻糕”总利润达到6300元，求“常州麻糕”应该每份降价多少元？ 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）设该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据该店5月份”加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份，列出方程进行计算即可； （2）设该款”常州麻糕”应该降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：任务1：设该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 【小问2详解】 设该款”常州麻糕”应该降价元，由题意，得： ， 解得：或； ∵要尽快减少库存， ∴； 答：该款”常州麻糕”应该降价3元． 24. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； （2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； （3）在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 【答案】（1） 如图所示，点M即为所求； （2）如图所示，直线即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点M，连接，则点M即为所求； （2）取格点E，作直线，则直线即为所求，可证明； （3）取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． （1）如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； （2）如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； （3）如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 【答案】（1） 解：是． 理由：如图，连接，， 为的内接等边三角形， ，点为的内心即外心， ， ，且， ， ， ， ， ， 等边的内心关于的对称点在上， 是的“梦之三角形”． （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质和圆周角定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，结合得出，然后根据“梦之三角形”的定义即可得证； （2）解：如图，连接，根据内心的性质得出，，根据轴对称得出，，则，，根据圆内接四边形的性质得出，则可求出 ，则，连接，过点作于点，由垂径定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，然后结合已知求解即可； （3）先判断，然后分和两种情况讨论，根据圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，并结合（2）中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 设， 是的内心， 平分，平分， ， 点和点关于对称， ， ， ， 即， ， ， ； 连接，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． 【小问3详解】 解：由（2）知若为的“梦之三角形”，则必有一个角为， 若，如图，连接，， 可知， ， 因此，． 分两种情况进行讨论： ①当时，当在优弧上时，如图，连接，， ， ， 过作于点， ， ， ， 在中，， ； 当在劣弧上时，过作，此时，， ； ②当时， 此时为对边， 如图，当在优弧上时，连接，， 可知， ， ； 当在劣弧上时，同理可求， 综上，可能的值为或或． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $