精品解析：江苏省常州市新北区飞龙中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试题

新北区飞龙中学2025-2026学年第一学期第一次阶段性测试 九年级数学 2025.10 一、选择题：（每题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．分和且两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得，方程有实数根； 当时，关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 综上，时，关于x的方程有实数根． 故选：A． 3. 如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 4. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算． 【详解】如图所示， （1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M． 四边形是平行四边形 则 （2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则． 此时 （1）中周长取到最小值 四边形是平行四边形 四边形是正方形 ， 又，， 又 是等腰三角形 ，则圆的半径， 故选：B． 【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置． 二、填空题：（每题3分） 5. 已知，是方程的两个根，则代数式的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，先利用一元二次方程解的定义得到，则通过降次得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是方程的根， ∴， ∴， ∴， ，是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 6. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于_____． 【答案】1 【解析】 【分析】关于x一元二次方程的常数项是为0，则，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数，两者结合求得m的值． 【详解】解：∵关于x一元二次方程常数项为0， ∴， 解得，； 又∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：（是常数且），特别要注意的条件；以及正确解出一元二次方程的根． 7. 如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质和等边对等角可得，，，然后由三角形内角和定理求得，进而由三角形外角的性质可推出，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6 ，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值． 【详解】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC， ∵DE＝6， ∴OC＝3，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小， 连接OM，∵OM＝3， ∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值， 作CF⊥AB于F， ∴G和F重合时，MN有最大值， ∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝＝10， ∵AC•BC＝AB•CF， ∴CF＝4.8， ∴OG＝4.8−3＝， ∴MG＝= ∴MN＝2MG＝ 故填：． 【点睛】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG⊥AB于G，作CF⊥AB于F，连接OC，OM，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键． 三、解答题 9. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 10. 青岛啤酒以历史悠久，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． （1）求该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商青岛啤酒的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）56元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出关系式是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可； （2）设售价应降元，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可． 【小问1详解】 解：设该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率， 某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． ， 解得：或（舍去）， ， 答：该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每天可售出箱， 当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱． ， 整理，得：， 解得：或， 要尽量减少库存， ，（元）， 答：售价应为56元． 11. 如图，中的弦，求证：． 【答案】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，可证明，，则可证明，得到． 【详解】略 12. 已知如图，在中，为直径，，，． （1）求的度数． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，熟练运用垂径定理进行求值是解本题的关键． （1）利用圆周角定理求解，再利用，结合三角形的内角和定理可得答案； （2）先证明，再利用勾股定理求解，再利用垂径定理可得答案. 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 13. 如图，在中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，过F点做，垂足为G． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴∠C＝∠OFC， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线构造平行线和正方形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可证可证，易得即可证明结论； （2）由切线的性质可证四边形是正方形可得，设半径为r，由可得，利用勾股定理求出，再在直角三角形中运用勾股定理计算即可解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点E， ∴， ∴四边形是长方形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴． 14. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）（2）（3）5（4）13（5） 【解析】 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，“完美数”的定义． （1）根据“完美数”的定义解答即可． （2）利用配方法把原式变形，进而求出m，n的值，然后计算即可． （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算出x，y的值，然后再计算即可． （4）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答即可． （5）将等式变形求得，利用配方法即可求得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ， ∴，， ∴， 故答案为： （3） 即， 即， ∴，， ∴， 故答案为：5． （4） ， 要使S为“完美数”，则， 解得： （5）， ∴， ∴ ， ∵ ∴取的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新北区飞龙中学2025-2026学年第一学期第一次阶段性测试 九年级数学 2025.10 一、选择题：（每题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：（每题3分） 5. 已知，是方程的两个根，则代数式的值是______． 6. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于_____． 7. 如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么________． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6 ，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为______． 三、解答题 9. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 10. 青岛啤酒以历史悠久，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售青岛啤酒，当年销售额为200万元，到2024年青岛啤酒的销售额达到450万元． （1）求该电商这两年青岛啤酒销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某种青岛啤酒的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价3元，每天可多售出120箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商青岛啤酒的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则售价应为多少元？ 11. 如图，中的弦，求证：． 12. 已知如图，在中，为直径，，，． （1）求的度数． （2）求的长． 13. 如图，在中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，过F点做，垂足为G． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 14. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] （5）已知实数x、y满足，求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $