15.3.2等边三角形(第二课时 含30°角的直角三角形 )（导学案）数学新教材人教版八年级上册

15.3.2等边三角形(第二课时 含30°角的直角三角形 ) （导学案） 【学习目标】 1. 理解并掌握含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 2. 会用几何语言规范表述该性质（∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB），并能熟练进行线段长度的计算与简单证明； 3. 能在生活情境与较复杂的图形中识别、构造含30°角的直角三角形，解决有关线段倍半关系的实际问题。 【学习重点】 含30°角的直角三角形性质的探究与证明，以及运用该性质进行线段长度的计算和简单的推理证明。 【学习难点】 1. 性质证明中辅助线的添加：用“倍长”（延长BC到D使BD=AB）或“截取”（在BA上截取BE=BC）的方法构造等边三角形，把直角三角形问题转化为等边三角形问题； 2. 在较复杂的组合图形（等边三角形、等腰三角形与直角三角形的组合，折叠、动点等问题）中识别并构造含30°角的直角三角形，正确建立线段之间的倍半关系。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 在中，，，测量所对的直角边与斜边，你能得到什么结 论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论. 已知：如图，在中，，. 求证：． 含角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言 _________________________________________ _________________________________________ 【课堂探究】 新课导入 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示 新知探究 问1.的角和边上什么特点？ 问2.量一量你们手里的30°的直角三角尺，在边上是否有同样的结论，若有你能证明吗？ 已知：如图，在中，，. 求证：． 含角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言 _________________________________________ _________________________________________ 典例分析 例1．(1)如图，在中，，，，则的长为_________ (2)如图，在中，,，，，则= ______，=____，=______. (3)在中，，，，则＝________. 例2.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点.若. (1)求的度数； (2)求的长． 例3.如图，在等边三角形中，，，相交于点，于点.求证：. 变式训练 1.在中，，，是的垂直平分线，，则求的长． 2.在中，，，是的中点，于点，求证：. 3. 如图，等边的边长为12，为边上一动点，过作于点，过点作于点． (1)若，求的长； (2)取何值时，． 【课堂总结】 【课堂练习】 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为( ) A．米 B．米 C．米 D．米 2.在中,,若,则= . 3.如图，在中，，，于点，，则＝________ 4.如图，在中，已知，，是腰上的高，则的长为_______． 5．如图，在中，，的垂直平分线交，于点，若，，则图中等于的角的个数为_______ 6.在中，，，，则的面积是______ 7.如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，，垂足为F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的周长． 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2等边三角形(第二课时 含30°角的直角三角形 ) （导学案） 【学习目标】 1. 理解并掌握含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 2. 会用几何语言规范表述该性质（∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB），并能熟练进行线段长度的计算与简单证明； 3. 能在生活情境与较复杂的图形中识别、构造含30°角的直角三角形，解决有关线段倍半关系的实际问题。 【学习重点】 含30°角的直角三角形性质的探究与证明，以及运用该性质进行线段长度的计算和简单的推理证明。 【学习难点】 1. 性质证明中辅助线的添加：用“倍长”（延长BC到D使BD=AB）或“截取”（在BA上截取BE=BC）的方法构造等边三角形，把直角三角形问题转化为等边三角形问题； 2. 在较复杂的组合图形（等边三角形、等腰三角形与直角三角形的组合，折叠、动点等问题）中识别并构造含30°角的直角三角形，正确建立线段之间的倍半关系。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 在中，，，测量所对的直角边与斜边，你能得到什么结 论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论. 已知：如图，在中，，. 求证：． 法一、证明：延长到，使，连接. ∵在中，， ∴． ∴是等边三角形． 又∵, ∴ ∴ 法二、证明： 在上截取，连接. ∵，. ∴是等边三角形， ∴，. ∵， ∴. ∴， ∴， ∴. ∴ 含角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言 ∵在中，，， ∴ 【课堂探究】 新课导入 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示 新知探究 问1.的角和边上什么特点？ ；； ；； 问2.量一量你们手里的30°的直角三角尺，在边上是否有同样的结论，若有你能证明吗？ 已知：如图，在中，，. 求证：． 法一、证明：延长到，使，连接. ∵在中，， ∴． ∴是等边三角形． 又∵, ∴ ∴ 法二、证明： 在上截取，连接. ∵，. ∴是等边三角形， ∴，. ∵， ∴. ∴， ∴， ∴. ∴ 含角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言 ∵在中，，， ∴ 典例分析 例1．(1)如图，在中，，，，则的长为___4______ (2)如图，在中，,，，，则= ____2__，=__3__，=___1___. (3)在中，，，，则＝__8__. 例2.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点.若. (1)求的度数； (2)求的长． 解：(1)∵垂直平分， ∴. ∴ ∴ (2)∵在中，， ∴ ∴ 例3.如图，在等边三角形中，，，相交于点，于点.求证：. 证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴≌(). ∴. ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 规律与方法: 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．这是一个判定两条线段成倍、半关系的重要方法． 变式训练 1.在中，，，是的垂直平分线，，则求的长． 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ 规律与方法: 遇15°角，通常构造等腰三角形得30°的外角 2.在中，，，是的中点，于点，求证：. 证明：连接 ∵， ∴. ∵是的中点， ∴ ∴. ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∴， ∴. 3. 如图，等边的边长为12，为边上一动点，过作于点，过点作于点． (1)若，求的长； (2)取何值时，． 解：（1）∵是边长为12的等边三角形， ∴. ∵，∴. ∵，∴. ∴. ∴. ∴. （2）∵是等边三角形， ∴. ∵，， ∴. 又∵， ∴. ∴. 由（1）可得， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴当时，． 【课堂总结】 【课堂练习】 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为( B ) A．米 B．米 C．米 D．米 2.在中,,若,则= 5 . 3.如图，在中，，，于点，，则＝_1.1___ 4.如图，在中，已知，，是腰上的高，则的长为___1____． 5．如图，在中，，的垂直平分线交，于点，若，，则图中等于的角的个数为__3_____ 6.在中，，，，则的面积是___45___ 7.如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，，垂足为F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的周长． 证明(1)：是等边三角形，是中线， ∴，平分. ∴. ∵， ∴.∴. 即. ∴. ∴. ∴是等腰三角形； 解(2)：∵，， ∴. ∴ . ∴周长：． 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $