精品解析：四川达州市渠县达州外国语学校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

达州外国语学校高2026级高一上学期10月月考 数学 （答题时间：120分钟 试卷总分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（　） A. B. C. D. 2. 设全集，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 15 D. 25 6. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 5 B. 8 C. 6 D. 7 7. 设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 8. 定义：表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的有（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知实数a，b满足，，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围是 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 设，若，则的最小值为16 C. 若正数满足，则的最小值为3 D. 若，且，则的最小值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 命题“，”的否定是___________. 13. 一元二次不等式的解集是，则的值是________. 14. 已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 16. 已知集合，集合． （1）求，； （2）设，求． 17. 某工厂要建造一个长方体无盖储物箱，容积为，高为.已知箱底每平方米造价为150元，箱壁每平方米造价为120元.设底面一边长为米（）. （1）写出总造价关于的函数表达式； （2）当底面边长为多少时，总造价最低，最低总造价是多少？ 18. 已知集合，. （1）命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 19. 对于四个正数x，y，z，w，如果，那么称是的“下位序列”． （1）对于2，3，7，11，试求的“下位序列”； （2）设a，b，c，d均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系，并证明你的结论； （3）设正整数n满足条件：对集合内的每个，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州外国语学校高2026级高一上学期10月月考 数学 （答题时间：120分钟 试卷总分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 2. 设全集，则如图阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可． 【详解】易知阴影部分为集合， 由，可得 故选:． 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得. 【详解】不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 15 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. 6. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ） A. 5 B. 8 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】必含元素，剩余可选元素为，每个元素可选或不选，共种. 7. 设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由条件推出是的子集，所以中元素只能等于或，解方程后，利用集合元素互异性检验，舍去造成重复的，得到最终取值． 【详解】由，都有成立，得， 当时，解得或， 若，则，，符合题意； 若，则，，符合题意； 当时，解得，此时，显然不满足集合元素的互异性， 综上，的取值为或． 8. 定义：表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用一元二次不等式的解法，求得，结合取整函数的定义，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得， 因为表示不超过的最大整数，所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的有（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据差的完全平方公式判断即可；对于B，根据特殊值法判断即可；对于C，根据不等式的性质判断即可；对于D，根据作差法判断即可. 【详解】对于A，由，得，即， 当且仅当时，等号成立，A正确. 对于B，当，，，时，满足，， 但，不满足，B错误. 对于C，如，则，C正确. 对于D，若，则，即. 又，所以，即，D正确. 10. 已知实数a，b满足，，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 设，若，则的最小值为16 C. 若正数满足，则的最小值为3 D. 若，且，则的最小值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，取，进行判断，利用基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A选项，当时，得， 则的最小值为2不成立，所以A项错误； 对于B选项，由，得， 由，得， 则 ， 当且仅当时等号成立，联立，得， 所以的最小值为16，所以B项正确； 对于C选项，若正数x，y满足，则， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以C正确． 对于D选项，因为，所以， 令，则，即，由， 得，即，等号成立时，，所以D正确． 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 命题“，”的否定是___________. 【答案】，. 【解析】 【分析】利用存在量词的否定求解. 【详解】解：因为存在量词的否定是全称量词的命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故答案为：，. 13. 一元二次不等式的解集是，则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集和对应方程的根的关系，列方程组求解即得. 【详解】根据题意，一元二次不等式的解集是， 则方程的两根为和，则有， 解得，，则. 故答案为：. 14. 已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得. 【详解】依题意，，，显然， 由“”是“”的充分不必要条件，得， 当时，，符合题意，当时，方程的根为和， 显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意， 所以实数的所有取值组成的集合是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求解即可； （2）根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【小问1详解】 ，， 当且仅当时等号成立． 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时取等号， 且，解得， 故的最小值为. 16. 已知集合，集合． （1）求，； （2）设，求． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【详解】（1）解不等式，即，得，即， 不等式则，解得或，即或， 所以或，． （2）由（1）及，得或． 17. 某工厂要建造一个长方体无盖储物箱，容积为，高为.已知箱底每平方米造价为150元，箱壁每平方米造价为120元.设底面一边长为米（）. （1）写出总造价关于的函数表达式； （2）当底面边长为多少时，总造价最低，最低总造价是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）利用体积求出底边另一边长，分别计算底面积与侧面积得出总造价。 （2）利用基本不等式对目标函数求最小值，验证等号成立的条件。 【小问1详解】 箱底面积为，则箱底另一边长为． 由于箱底边长为正，所以． 箱底造价为元． 箱壁面积为． 箱壁造价为元． 所以总造价关于的函数表达式为. 【小问2详解】 因为，由基本不等式得． 当且仅当，即时取等号，即当时等号成立， 最低总造价是元． 18. 已知集合，. （1）命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式化简集合A，再由条件得到，利用数轴法即可得解； （2）先由条件得到B为非空集合且，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由得：，且，即 因为是的必要不充分条件，，则不为空集， ，解得：.综上，的取值范围为. 【小问2详解】 ，使得，为非空集合且， 当时，，所以，的取值范围为. 19. 对于四个正数x，y，z，w，如果，那么称是的“下位序列”． （1）对于2，3，7，11，试求的“下位序列”； （2）设a，b，c，d均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系，并证明你的结论； （3）设正整数n满足条件：对集合内的每个，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n的最小值． 【答案】（1） （2）， 证明：由题意可知，此时， 取，，，，则. 猜想， 先证左边，，则； 再证右边，，则． 综上，. （3）4049 【解析】 【分析】（1）根据“下位序列”的定义求解即可. （2）采用特殊值法得到关系，结合作差法证明即可. （3）结合“下位序列”的定义及题意得到，结合，进一步化为，进而求出，结合的范围求出最值，再代入验证即可. 【小问1详解】 由题意可知，此时，， 则的“下位序列”为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知①. 又，则. 此时，于是，解得. 对集合内的每个，上式都成立， 则. 证明满足题意， 由①可知，， 由（2）可知， 即对集合内的每个，总存在是满足题意的． 综上所述，正整数的最小值为4049． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $