精品解析：四川省宜宾市宜宾市第四中学校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

高一上学期10月练习 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，由交集的定义即可求解． 【详解】因为，所以． 故选：A． 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，进而可得，求解即可． 【详解】由，可得。即， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B． 4. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：用变量替换，再得出解集 详解： 点睛：不等式只能线性运算,． 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】通过配凑，得，进而求得函数的解析式，要注意的影响. 【详解】因为， 设，则 所以. 所以函数的解析式为（）. 故选：D. 6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数有意义，结合抽象函数的定义列不等式式求出定义域. 【详解】由函数的定义域是及有意义， 得，解得，且， 所以函数的定义域为. 故选：C 7. 某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，利用均值不等式进行求解即可. 【详解】由题意知，则， ， 当且仅当即时，等号成立； 所以当汽车的平均速度为公里/小时时，车流量最大. 故选：B 8. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，代入原式可得，再令，代入原式可得，结合函数的单调性列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，由题意可知，因为， 令，则，即，所以， 因为函数的定义域为，所以，即， 令，则， 即，所以， 又是定义在上的单调函数，所以， 整理得，解得或（舍）. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可判定A，利用充分条件、必要条件的定义结合反例可判定B、C、D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，由可知，满足充分性， 而推不出，比如，不满足必要性，故B正确； 对于C，由不能推出，故C错误； 对于D，若，则方程判别式， 有两个不等根，且，所以两个根异号，满足充分性， 若方程有一正一负根，则需， 解之得，满足必要性，故D正确. 故选：BD 10. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（     ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D正确． 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】两集合的交集为空集，则两个集合没有公共部分，可以得到两个集合的端点的关系，从而解得实数的取值范围. 【详解】当集合为时，，解得. 当集合不为，即时，有如下两种情况： 集合中的元素都比集合中元素小，，结合解得； 集合中的元素都比集合中元素大，，结合解得. 综上所述，的取值范围为或. 故答案为. 【点睛】本题考查利用集合的关系求参数的值，解题时也可借助数轴来分析. 13. 函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数、一次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】设， 当即时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 又在R上为增函数，所以， 即，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 14. 设定义在上的函数在单调递增，且为偶函数，若，，，且有，则的最小值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据已知判断函数的对称性及单调性，结合对称性得，然后利用基本不等式“1”的代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为为偶函数，所以关于直线对称， 又在单调递增，所以在单调递减， 又，，且有，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为7. 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解. （2）利用并集的结果，结合集合元素的互异性求解. 【小问1详解】 当时，，则，而， 所以. 【小问2详解】 由，得，即，由，得， 而，因此，则， 所以实数的值为. 16. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）对分类讨论求解即可； （3）分离参数后得，即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则，所以. 即不等式的解集为. 【小问2详解】 因为. 所以①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由在区间上恒成立得在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立. 因为，所以 则在区间上恒成立. 即，所以的取值范围是. 17. 已知是定义在上的奇函数． （1）求，的值及的解析式； （2）判断在定义域上的单调性，并证明； （3）解不等式：． 【答案】（1） （2） 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. （3） 【解析】 【小问1详解】 由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 18. 如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为. （1）若为线段的中点，求及的值； （2）试用的式子表示，并求的取值范围； （3）求矩形地块面积的最大值. 【答案】（1），. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于，若为线段的中点，则为线段的中点，结合三角形的性质，以及矩形的面积公式，求及的值； （2）设的长度为，结合三角形相似的几何性质，以及矩形的面积公式，用的式子表示，从而得所求； （3）根据与的关系，利用二次函数或者基本不等式求解最值即可得结论. 【小问1详解】 延长交于， 若为线段的中点，则为线段的中点， ，， 由得， 又， 所以， 所以矩形的面积为； 【小问2详解】 因为点在线段上，的长度为，则， 则， 因为，所以，得， 则， 所以矩形的面积， 综上， 答：矩形地块的面积，. 【小问3详解】 方法一：由（2）得， 因为，所以当时，取最大值， 答：时，矩形地块面积的最大值为； 方法二：由（1）得， 因为，所以， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立， 答：时，矩形地块面积的最大值为. 19. 若函数在()上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“优质函数”. （1）函数①；②；③，其中函数_______是在上的“优质函数”；（填序号） （2）已知函数：（）. ①函数是在上的“优质函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“优质函数”，请直接写出的值； （3）已知函数：()，若函数是在(为整数)上的“优质函数”，且存在整数，使得，求的值. 【答案】（1）① （2）①或；②或； （3）或或或或或. 【解析】 【分析】（1）分析三个函数的区间内的单调性得出最大值和最小值； （2）①分析二次函数的对称轴，得出最大值和最小值，计算出a；②讨论对称轴和t的关系，根据单调性计算出最小值最大值； （3）先利用“优质函数”条件把表示为区间上函数值极差的倒数倍，再利用筛选整数；对用整除关系排除，不作无依据的逐项枚举. 【小问1详解】 函数,当时,y随x的增大而增大，所以,符合条件. 函数,当时,函数是,y随x的增大而增大,所以,不符合条件. 函数,当时,y随x的增大而减小，所以,不符合条件. 【小问2详解】 因为对称轴为直线， ①当时，函数在单调递增， 当时，；当时，， 由得. 当时，函数在单调递减， 当时，；当时，， 由得. 综上所述，或. ②或； 当，即时,函数单调递减，,, 所以,所以. 当时，函数单调递增,,, 所以,所以. 当，即时，函数，可得， 令，解得,(舍)； 综上或. 【小问3详解】 令则，且.由区间非空， 得.因为为整数，所以. 设在区间上的最大值、最小值分别为. 因为，有 “优质函数”条件给出， 而 因此只需先筛选满足整数条件的，再由极差求. 当时，区间位于对称轴的左侧， 单调递减，故 依次代入，得到 只有符合. 此时，所以. 当时，区间跨过对称轴，故. 分别取，可得 只有符合条件，此时极差仍为，所以. 当时，区间位于对称轴右侧，单调递增，故 于是 先代入，得到整数的情形恰为 对应地，由得， 从而依次得到 下面说明时不会再出现整数. 令，则，并且. 若为整数，则必整除. 因而也整除，所以. 但时，只能有，即. 此时又不能整除，矛盾. 因此时无解. 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期10月练习 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. （） C. （） D. （） 6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 8. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（    ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（     ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则实数的取值范围为__________． 13. 函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______________. 14. 设定义在上的函数在单调递增，且为偶函数，若，，，且有，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围. 17. 已知是定义在上的奇函数． （1）求，的值及的解析式； （2）判断在定义域上的单调性，并证明； （3）解不等式：． 18. 如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为. （1）若为线段的中点，求及的值； （2）试用的式子表示，并求的取值范围； （3）求矩形地块面积的最大值. 19. 若函数在()上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“优质函数”. （1）函数①；②；③，其中函数_______是在上的“优质函数”；（填序号） （2）已知函数：（）. ①函数是在上的“优质函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“优质函数”，请直接写出的值； （3）已知函数：()，若函数是在(为整数)上的“优质函数”，且存在整数，使得，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $