精品解析：辽宁鞍山市海城市育才学校2026-2027学年高二上学期10月份月考数学试卷

高二数学 2026-2027学年度上学期10月份考试 考试时间：120分钟 分数：150分 考试范围：选择性必修一第一章空间向量与立体几何 第I卷（选择题，共60分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系O-xyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量,且，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 3. 如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，若点P满足，则（ ）． A. 37 B. C. 57 D. 5. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 6. 已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不是定值 B. 直线到平面的距离是 C. 存在点，使得 D. 面积的最小值是 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量与向量分别构成空间向量的一组基底，则 B. 若非零向量满足，，则有 C. 若是空间向量的一组基底，且，则四点共面 D. 若向量，，是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 第II卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则______． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则M的坐标是_____________. 14. 在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，． （1）求点A到平面PBC的距离； （2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值． 19. 图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 2026-2027学年度上学期10月份考试 考试时间：120分钟 分数：150分 考试范围：选择性必修一第一章空间向量与立体几何 第I卷（选择题，共60分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系O-xyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称即可求解. 【详解】点关于平面yOz对称的点的坐标为， 故选：B 2. 已知向量,且，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行的条件:坐标对应成比例，列式求得的值，进而得解. 【详解】∵向量,且， ∴,解得. ∴, 故选：. 3. 如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，求出点的坐标，，，进而可得结果. 【详解】 以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则 ，设EF与所成的角为， 则 故选：C 4. 已知点，若点P满足，则（ ）． A. 37 B. C. 57 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过条件，利用空间向量的坐标运算得到，从而得到，再利用空间向量的模长公式即可求出结果. 【详解】设， 因为， 所以， ， 又因， 所以，得到， 所以，， 所以， 故选：B. 5. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 6. 已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题可得，又直线的方向向量为， 所以点到的距离为； 故选：A 7. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示， 设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不是定值 B. 直线到平面的距离是 C. 存在点，使得 D. 面积的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D. 【详解】对于A，分别是棱的中点，则， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，所以平面， 因为在上，所以点在平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变， 即三棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，因为，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，则，B错误； 对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，, 设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A，再通过等体积法求出距离从而判断B，C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由题意可知，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 对于B，若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 对于C，若，则， 所以，选项C正确； 对于D，若，则， 所以，所以或者，选项D正确. 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量与向量分别构成空间向量的一组基底，则 B. 若非零向量满足，，则有 C. 若是空间向量的一组基底，且，则四点共面 D. 若向量，，是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理逐一判断即可. 【详解】对于A，因为可以和任意不属于所在平面的非零向量构成空间向量的一组基底， 所以若向量与向量分别构成空间向量的一组基底，则与的位置关系不确定，A错误； 对于B，当非零向量满足，时，与不一定平行，也可能垂直，B错误； 对于C，若是空间向量的一组基底，且， 则， 即，所以四点共面，C正确； 对于D， 若向量，，是空间向量的一组基底， 则对空间中的任何一个向量存在唯一的实数组，使得， 于是，所以也是空间向量的一组基底，D正确； 故选：CD. 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确； 对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意得，再根据空间向量平行公式求解即可. 【详解】由题意得，则，得． 故答案为：8 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则M的坐标是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用距离公式可得关于的方程，解方程后可得的坐标. 【详解】依题意，设， 因为，，， 所以，解得， 所以． 故答案为：. 14. 在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，求最小值. 【详解】以D为原点，DA 为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，点为底面上一点，设， 有，， ， 当时，的最小值为-2. 故答案为：-2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 16. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）将放在三角形或多边形中利用向量的线性运算法则表示即可； （2）将均用基底表示出来，再运算即可． 【小问1详解】 因为点E为的中点， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以 . 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，则； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，． （1）求点A到平面PBC的距离； （2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，.后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离； （2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值. 【小问1详解】 取AD中点O，连接OB，OP. ∵为等边三角形，∴，OA=1，. 又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， 平面PAD，∴平面ABC. 又∵平面ABCD，∴. ∵，∴，∴. 又∵，平面POB， 平面POB，，∴平面POB. 又∵平面POB，∴. ∴， 设点A到平面PBC的距离为h， 则即，∴； 【小问2详解】 由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，. 设，则，. 得，则. 又平面ABC，则取平面ABCD的法向量. 设AE与平面ABCD所成的角为，则 ，解得. 则，. 设平面ADE的法向量，则. 令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量. 故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为. 19. 图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明： 取的中点，连接， 因为四边形是边长为2的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：，又因为是平面内两条相交直线， 所以平面，即平面, 因为平面，所以平面平面； （2）存在，直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，取的中点，连接，由勾股定理逆定理得：，从而平面,所以平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点的坐标，从而得到线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故， 令，则，故， 其中 则， 解得：,则， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $