3.2 探索三角形相似的条件（2）两边夹角【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2探索三角形相似的条件（2)两边夹角【分层作业】 2026一2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 二基础达标 【题型1】利用判定进行判断 2 【题型2】已知相似求对应边的长 【题型3】已知线段（边）的长证明相似 三.能力提升… 【题型1】乘积式转化比例式证明相似 .11 【题型2】两边对应成比例夹角相等证明三角形动点与分类讨论问题 .14 四.素养探究【选做】 ..18 五.中考链接 22 六.自我评价 .25 知识梳理（前置作业) 核心知识点基础填空 的两个三角形相似。 2.两边成比例，若不是夹角相等，则」 判定两个三角形相似（填“能"或“不能"）。 3在△ABC和△ABC中，若AB=AC ABAC,且 可判定△ABC一△A'B'C'。 【参考答案】 1.两边成比例且夹角相等 2.不能 3.∠A=∠A 二，基础达标 【题型1】利用判定进行判断 1.(26-27九年级上全国·课后作业)下列与图中的三角形相似的是() C 2 30° 2 【答案】C 【分析】运用SA$判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边 的夹角相等，依据此标准逐个判断即可. 解：题干给出的三角形两边比为3=1，夹角为30°， 1.5 为名-=1，但夹角不是30，故与原三角形不相似，A不符合题意： 选项A,三角形两边比为25 选项B,三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为30°，故与原三角形不相似，B不符合 题意： 选项C,三角形两边此为)5夹角为30©符合SAS相似判定定理，故与原三角形相 似，C符合题意： 选项D,三角形两边比为215 ?1片1，但夹角不是30，故与原三角形不相似，D不符合题意。 2.(25-26九年级上·全国课后作业)能判定△ABC∽△DEF的条件是（) AB BC A. DE EF B.DD AB AC C.DE0B=∠E D你AD 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理SAS,熟悉判定定理是解题的关键. 根据三角形相似的判定定理SAS(两边对应成比例且夹角相等)进行分析即可. AB AC 解：“DEDF,且∠A=∠D ..AABCOADEF 故选：D 3.(24-25八年级下·山东淄博阶段检测)如图，下列图中小正方形的边长为1， 阴影三角形的顶点均在格点上，与△ABC相似的是() B 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为35°判断即可.解题的关键是掌 握相似三角形的判定方法。 解：由题意∠ACB=135°，BC=2,AC=√2， AC2 BC 2' 12 选项A中的三角形是有一个角为135°' 且该角度的邻边之比为2=2， 符合题意. 故选：A, 4.(25-26九年级上贵州铜仁：期中)如图，在△ABC中，D,E,F分别是边AB ·Bc,C4上的点，且MB=3D8:C=3Bc,cF=A,则图中的相似三角形有 2 () A.3组 B.2组 C.1组 D.0组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定， CF CE 1 AF AD 2 由已知可得CACB3;AC=AB=3,再由夹角∠C=∠C:∠A=∠A' 即可判定 △CFEACAB,△CAB∽aFAD,再由相似的传递性可得△CFE∽△FAD 解：“AB=3DB°BC=3EC,CF=2FA, 2 CF CE 1 AF AD 2 CACB-3 AC AB 3' :∠C=∠C,∠A=∠A, ∴.△CFE∽aCAB,△CABAFAD. ∴.△CFE△FAD, 共有3组， 故选：A 【题型2】已知相似求对应边的长 1.(2026·贵州铜仁模拟预测)如图，点P是△ABC的边AC上的一点，AP=2, AB=2V3,当AC的值是多少时，△APB∽△ABC() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可. 解：：∠A=∠A, AP AB 当ABAC时，△APBn△ABC AP=2,AB=23 2-25 25AC· AC=25-2=6. 2 Γ2 2.(25-26九年级上湖南益阳·阶段检测)如图，已知∠ACB=∠CBD=90°， AC=8,CB=2,当BD=()时，△ABCACBD. A.4 B.2 C. D.1 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确 找出两三角形的对应边成比例、对应角相等的关系。 欲证△ACB∽aCBD,通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即 ∠ACB=∠CBD=90°，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可. 解：，∠ACB=∠CBD=90°， AC BC 当BC=BD时，△ABCACBD: ,AC=8,CB=2, 82 即2BD' 解得BD= 2 故选B 3.(25-26九年级上安徽安庆期末)如图，AB,CD相交于点0，且OC=45, OD=30,OB=36,当OA=时，△AOC与△BOD相似. B 45 36 30 D 5 【答案】54或2 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理. 己知∠AOC=∠BOD,只需要夹边成比例即可得到△AOC与△BOD相似，再分类讨论求解即 可 解：：∠AOC=∠BOD. OB OD OB OD A4OC与△B0D相似时，OAOc或OC-OA 3630.3630 ∴0A=45或450A 01=54或01= 2 75 故答案为：54或2： 【题型3】已知线段（边）的长证明相似 1.(2026九年级上江苏徐州专题练习)如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,点D 、E分别在线段AB、AC上，BD=2,CE=5,求证：△AEDPAABC. D B 【答案】证明：AB=6,AC=8,BD=2,CE=5, .AE=AC-CE=8-5=3,AD=AB-BD=6-2=4, AE 3 1 AD 4 1 .∴AB62AC82 AE AD I .ABAC2· ∠A=∠A, ∴.△AED∽△ABC AE AD 【分析】根据题意可求出AB=3”AD=4:进而得到ABAC,结合∠A=∠A 即可得证 解：略 2.(2026广东广州二模)如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD,已 知AB=4,BD=2,BC=8.求证：△BACABDA. B D 【答案】证明：AB=4,BD=2, BD_2_1 AB42· .AB=4.BC=8 AB 4 1 BC82· BD AB .AB BC' ∠ABD=∠CBA .∴△BACABDA 【分析】根据边成比例以及对应角相等证明相似即可， 解：略 3.(25-26九年级上湖南岳阳期末)如图，AE与BD相交于点C,已知AC=5, BC=3,EC=10,DC=6.求证：△ACB△ECD. B D AC 5 1 【答案】证明：“EC102' BC 3 1 DC62 AC BC ECDC 又∠ACB=∠ECD, ∴.△ACBP△ECD 【分析】本题考查了相似三角形的判定.根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到 ∠ACB=∠ECD,即可证明△ACB∽△ECD, 解：略 4.(25-26九年级上江苏宿迁·期末)如图，点D在△ABC内，点E在△ABC外， AC BC DE=BE且∠A=∠2· 求证： (1)∠3=∠4： (2)△ABDACBE, B 4 【答案】少证明：D正-BE且1=2 .△ABC∽aDBE. .∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, 即∠3=∠4： (2)证明：，aABC∽aDBE, AB BC DB-BE· AB DB BC BE 又.∠3=∠4， ∴.△ABD∽ACBE 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关 键。 (1)根据两边对应成比例及其夹角相等判定△ABC∽△DBE,再利用相似三角形的性质即可证 明： AB DB ②)由ARCADBE得到：-G,则有BCBE,再根据两边对应成比例及其夹角相等 即可证明， 解：(1)略 (2)略 三.能力提升 【题型1】乘积式转化比例式证明相似 1.(25-26九年级上福建漳州期中)如图，∠ABD=∠CBE,BABE=BD.BC,求 证：△ABCADBE 【答案】证明：∠ABD=∠CBE, ∴.∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, .∠ABC=∠DBE BA·BE=BD·BC, BA BD .BC BE' 即在△ABC,△DBE中， ∠ABC=∠DBE, BA BD BCBE· ∴.△ABC∽ADBE 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，掌握角的和差运算是解题关键. 根据“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定方法进行证明即可. 解：略 2.(25-26九年级上河南新乡期中)如图，CD.CB=CACE，,且∠ACD=∠BCE, 求证：△ACBADCE, 【答案】证明：：∠ACD=∠BCE. :.∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB, 即∠ACB=∠DCE, CD.CB=CA.CE. CACB CD CE' .∴△ACB∽△DCE 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法“两边 成比例且夹角相等的两个三角形相似”；先根据∠ACD=∠BCE,得出∠ACB=∠DCE,再根 据对应边成比例，即可解答， 解：略 3.(25-26九年级上福建莆田·阶段检测)如图，在△ABC和aDEC中， CD·BC=CE·AC,∠BCE=∠ACD.求证：△ABCn△DEC; D A B 【答案】证明：：∠BCE=∠ACD」 ∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE. ∴.∠DCE=∠ACB 又CD·BC=CE·AC, CD CE 则CACB ∴.△ABCADEC 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出∠DCE=∠ACB,再结合其夹角的 对应边成比例即可得出△ABC∽△DEC, 解：略 4.(24-25九年级上四川成都期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AEBC ,BE与AD,AC分别相交于点F,G,AF2=FG·FE. G 求证：ACADACBG; 【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出 ∠CAD=∠CBG,，进而证明△CAD∽aCBG是解题的关键. (I)由AEIIBC,得∠E=∠CBG,由AF2=FG·FE,∠GFA=∠AFE,所以AGFAPAAFE ,则∠CAD=∠E,所以∠CAD=∠CBG,而∠C=∠C,即可根据“两角分别相等的两个三 角形相似”得到结论： 证明：，AElBC, .∠E=∠CBG. .AF2=FG.FE, AF FE FG-AF .∠GFA=∠AFE, .△GFAP△AFE」 ∴∠GAF=∠E,即∠CAD=∠E, ∴.∠CAD=∠CBG. ∠C=∠C, ∴.△CADACBG 【题型2】两边对应成比例夹角相等证明三角形动点与分类讨论问题 1.(25-26九年级下·山东聊城开学考试)如图，AD/BC,∠ABC=90°，AD=2cm ,BC=6cm,AB=7cm,点P是AB上的一个动点（点P不与点A,B重合），连接 PC,PD.若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数为 B 【答案】3 AP BP AP BC 【分析】设AP=x’则BP=7-x'分两种情况：①当ADBC时：②当AD=BP时；分别 得出x的方程，解方程得出AP的长，即可得出结论 解：：ADIIBC,∠ABC=90°， .∠PAD+∠ABC=180°， .∠PAD=90°， 设AP=x,则BP=7-x, 分两种情况： AP BP ①当AD-BC时， x_7-x 即26， 解得：=子： AP BC ②当ADBP时， 解得：x=3或4， 7 综上，当4P=4或3或4时，APAD与APBC是相似三角形，共3个 2.(2026九年级下·全国·专题练习)如图，平行四边形ABCD中，点O为线段AC 与BD的交点，若AB=AC=8,BC=m,点E为线段AB上一点，且BE=I,P点是 线段BC上的一点.若在线段BC上有且只有两个点P使得△BEP与△COP相似，则m 的值为 E 【答案】4或5 BE BP BE BP 【分析】结合相似三角形的判定找出可能成比例的线段：PC=OC或OC=PC,设BP=x' BE BP BE BP 则P心=m-x分别由能C或肥咒推出X-m+4=0-号，再结合有且只有两 个点P进行分类讨论即可求解. 解：·AB=AC, .∠ABC=∠ACB BE BP BE BP :当PC=OC或OC=PC时，△BEP与.COP相似， ~四边形ABCD是平行四边形， :0A=0C=)4C=4, 设BP=x,则PC=m-x, BE BP 当Pc=Oc时，m-x4 .x2-mx+4=0, BE BP 1=x 当OC=PC时，4m-x m .x= 5 “有且只有两个点P, .有两种情况， 第一种情况：x2-mx+4=0有两个相等的实数根， .m2-16=0. ∴.m=4或m=-4, 又m>0, m=4: 第二种情况：-+4=0有两个不等的实数根，且x=是它的一个根。 02 m -m×m+4=0, .m2-16>0 5 ∴.m=5或m=-5 又m>0, m=5; 综上，m的值为4或5. 故答案为：4或5. 【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定、平行四边形的性质、根据一元二次方程根的 情况求参数，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定， 3.(25-26九年级上河北石家庄·期末)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm ,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cs;动点Q从点B开始沿BC边运动， 速度为4cm/s:如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时△OBP与 △ABC相似. 【答案】0.8或2 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况： △QBP∽△ABC和△OBPACBA,分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的 时间. 解：设经过t秒时△QBP与△ABC相似， ,动点P的速度为2cms,动点的速度为4cm/s, .'AP 2tcm,BO=4tcm AB =8cm, .BP=AB-AP=(8-2t)cm. :∠B是△QBP和aABC的公共角，分两种情况讨论： OBBP 4t8-2t ①当△OBPAABC时，8C,即816，解得1=0.8 OB BP 4t 8-2t ②当△QBP∽aCBA时，BC=AB,即16=8，解得1=2： 综上，符合条件的t的值为0.8或2. 四.素养探究【选做】 1.(25-26八年级下·吉林长春·期末)【知识背景】华师版(2013版)九上第23 章《图形的相似》习题23.3第1(2)题： 如图，点E、点D分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，连接ED,若∠E=∠C, 则△ADE与△ABC相似吗？ (1)请解答上述习题. 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接BD、 CE,求∠CBD与∠CED的数量关系. ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由(1)中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出△ABD与△ACE相似， 从而得到∠ADB=∠AEC,再通过角度之间的关系，可将问题解决 请按照小明的思路完成对△ABD与△ACE相似的证明，具体做法如下： 证明：由(1)得：△ABC∽a 证明过程缺失 .∴.△ABD~△ACE ∴.∠ADB=LAEC(相似三角形的对应角相等). 请补全上述证明过程. ②根据(1)和(2)①中的结论，直接写出∠CBD与∠CED的数量关系为 (3)【拓展提升】如图，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠EAC,EA=CA,DA=BA AE 4 ，延长EC交BD于点F,连接DE、AF:当∠AED=90~且AD5时，∠AFD= BF -’EC E B 【答案】(1)△ADE与△ABC相似，理由如下： :∠E=∠C,∠EAD=∠CAB, .△ADE∽△ABC: (2)①：△ADE∽△ABC, AD AE AD AB ·∠AED=∠ACB'AB=AC,即AE AC' ,∠DAB=∠EAC, .△ABD△ACE, .∠ADB=∠AEC: ②：∠AED=∠ACB,∠ADB=∠AEC, ∴.∠CED=∠AEC+∠AED=∠ADB+∠ACB=I8O°-∠CBD, .∠CBD+∠CED=180°： (3)90:8 【分析】(I)利用两角对应相等即可证明△ADE∽△ABC: (2)①利用两边对应成比例且夹角相等证明△ABD~△ACE,推出∠ADB=∠AEC; ②利用三角形内角和定理即可得到∠CBD+∠CED=180°： EC 4 (3)证明△DAB∽△EAC,推出BD5,∠ADB=∠AEC,利用(2)的结论即可得到 ∠AFD=90°，再利用等腰三角形的性质求解即可. 解：(1)证明：略 (2)证明：略 AE 4 (3)解：：在AABD和△ACE中，∠DAB=∠EAC·EA=CA'DA=BAAD5 AC AE 4 ABAD5' .∠DAB=∠EAC, .△DABm△EAC, EC 4 BD5 ZADB=ZAEC' 在四边形AEDF中，∠ADF=∠AEF, 由(2)得∠EAF+∠EDF=180°， ∴.∠AED+∠AFD=180°， ∠AED=90°， .∠AFD=90°： ,DA=BA,AF⊥BD, :BF-DF-IBD, EC 4 :BD5' BD 5 …EC=4 BD BF=2 5 ECEC 8 五.中考链接 一、填空题 1.(2026·四川乐山一模)如图所示，有△ABC和△ADE,小嘉同学欲添加两个条 件使得△ABC∽aADE,现有三个条件可供他选择：①∠I=∠2；②∠B=∠D;③ AD AE AB AC. 则正确的组合可以是一（填序号） D B 【答案】①②或①③ 【分析】由I=∠2可得∠DAE=∠BAC.只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得 △ABC ADE 解：，∠1=∠2， ∴.∠I+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠DAE=∠BAC AD AE 当∠B=∠D或ABAC时，ABC△ADE· 即①②或①③符合题意. 二、解答题 2.(2026广东广州二模)如图，在aABC中，点D为边BC上一点，连接AD,已 知AB=4,BD=2,BC=8.求证：△BACABDA, D 【答案】证明：AB=4,BD=2, BD_21 AB42· AB=4.BC=8, AB 4 1 BC82· BD AB ∴ABBC· ,∠ABD=∠CBA .∴ABAC△BDA 【分析】根据边成比例以及对应角相等证明相似即可， 解：略 3.(2026·广东广州一模)如图，已知四边形ABCD为矩形. (I)尺规作图：在线段CD上作点E,使得CE=ED,连接BE,AC(保留作图痕 迹，不写作法)： (2)若AB=2,BC=V2,求证：△BCE△ABC. D B 【答案】(1)如图，即为所求， B (2)证明：：四边形ABCD为矩形. .AB=CD=2,∠BCE=∠ABC=90° :.CE-ED-1CD-1, 2 .AB=2,BC=2, .cac BC AB 2 .△BCE∽aABC. 【分析】(1)根据垂直平分线的作图即可解答； (2)根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明即可. 解：(1)略 (2)略 4.(2025·陕西模拟预测)如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD,AC=4, AD=2,BD=6,求证：△ACD∽△ABC. B 【答案】证明：AD=2,BD=6, .AB=AD+BD=2+6=8. :4C=4D1 ABAC2· :∠A=LA, .△ACD∽△ABC 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.由已知求 AC AD 1 得ABAC2,根据相似三角形的判定即得答案。 解：略 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 口顺利口有困难 能力提升 口顺利口有困难 素养探究 口顺利口有困难 中考链接 口顺利口有困难 作业整体说明：基础达标、能力提升、中考链接为全员必做内容；素养探究拓展题目为选 做内容，不做统一要求与检查。 3.2 探索三角形相似的条件（2）两边夹角【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 1 【题型1】利用判定进行判断 1 【题型2】已知相似求对应边的长 3 【题型3】已知线段（边）的长证明相似 4 三.能力提升 5 【题型1】乘积式转化比例式证明相似 5 【题型2】两边对应成比例夹角相等证明三角形动点与分类讨论问题 6 四.素养探究【选做】 7 五.中考链接 9 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. _______________的两个三角形相似。 2. 两边成比例，若不是夹角相等，则________判定两个三角形相似（填“能”或“不能”）。 3. 在△ABC和△A'B'C'中，若，且________，可判定△ABC∽△A'B'C'。 二.基础达标 【题型1】利用判定进行判断 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段检测）如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【题型2】已知相似求对应边的长 1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·湖南益阳·阶段检测）如图，已知，当（    ）时，． A． B． C． D．1 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【题型3】已知线段（边）的长证明相似 1．（2026九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 2．（2026·广东广州·二模）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在内，点在外，且．求证： （1）； （2）． 三.能力提升 【题型1】乘积式转化比例式证明相似 1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，，，求证：． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，，且，求证：． 3．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在和中，，．求证：； 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，． 求证：； 【题型2】两边对应成比例夹角相等证明三角形动点与分类讨论问题 1．（25-26九年级下·山东聊城·开学考试）如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 2．（2026九年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 四.素养探究【选做】 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． （3）【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 五.中考链接 一、填空题 1．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 二、解答题 2．（2026·广东广州·二模）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 3．（2026·广东广州·一模）如图，已知四边形为矩形． （1）尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求证：． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 作业整体说明：基础达标、能力提升、中考链接为全员必做内容；素养探究拓展题目为选做内容，不做统一要求与检查。 学科网（北京）股份有限公司 $