专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 1.理解一元二次方程的三要素：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2；能辨别各式是否为一元二次方程，会将方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.理解一元二次方程的根的含义，能检验数值是否为方程的解；已知方程的根，代入式子求参数的值，牢记参数题目中\(a≠0\)这个限制条件。 3.体会 “降次” 核心思想，掌握直接开平方法，能根据p的正负判断\(x^2=p\)根的个数，规范开平方书写格式。 4.熟练掌握配方法，牢记配方完整步骤，会把二次项系数不为 1 的方程配方，能利用配方法进行代数式变形。 5.理解求根公式推导来源，会用根的判别式=b2-4ac判断方程实数根的情况；已知根的情况，反求参数取值范围。 6.掌握公式法、因式分解法解方程，能观察方程特点，灵活选择最简方法求解一元二次方程，规范书写解题步骤。 7.辨析各类易错点：化简后再判断方程类型；配方时等式两边同加常数；公式法中(a、b、c)要连带符号；因式分解法必须先移项，保证等式右侧为 0。 8.提升计算能力，减少去括号、移项、符号处理、开平方等计算失误，能准确求出方程两个根。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型四 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 直接开平方法 ★★ 题型七 配方法 ★★ 题型八 配方法的应用 ★★★ 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十三 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十四 解分式方程 ★★★ 题型十五 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:一元二次方程的相关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含 1 个未知数；③未知数最高次数为 2，且二次项系数≠0。 2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 注意：整理一般形式时，必须把所有项移到等号左侧，右侧为 0；各项系数包含前面的符号。 3. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根； ②已知根求参数：将根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 4.一元一次、一元二次方程对比表 方程类型 一般形式 未知数最高次数 二次项系数要求 一元一次方程 ax+b=0(a≠0) 1 无二次项 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 2 a≠0 知识点02:解一元二次方程四大解法（核心内容） 核心思想：降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 解法 1：直接开平方法 适用形式：(x+m)2=n n>0：x+m=，两个不相等实数根； n=0：x+m=0，两个相等实数根； n<0：无实数根。 解题步骤：左边化为完全平方式→直接开平方→移项求x。 解法 2：配方法（基础，推导求根公式的工具） 通用步骤（以ax2+bx+c=0,a≠0)为例）： 1.移项：常数项移到等号右侧 ax2+bx=-c； 2.化 1：方程两边同时除以二次项系数a，x2+x=； 3.配方：两边同时加一次项系数一半的平方 ()2； 4.写成完全平方：(x+)2= 5.开平方求解。 解法 3：公式法（通用万能解法） ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 解法 4：因式分解法（计算最快，优先选用） 1.适用条件：方程一侧为 0，另一侧整式能分解成两个一次因式乘积； 2.原理：若A B=0，则A=0或B=0，实现降次； 3.常见分解类型：提公因式、平方差a2-b2、完全平方a22ab+b2； 4.解题步骤：移项使右边 = 0→因式分解→分别令两个因式 = 0→解两个一元一次方程。 知识点03:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点04:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设\(y=\)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点05:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 忽略a≠0 认为(m-2)x2+3x=0一定是一元二次方程 m≠2时才是一元二次方程 遗忘一元二次方程定义限制 开平方漏正负号 (x-1)2=4，只写x-1=2 x-1=±2，两根x1=3,x2=-1 平方根有两个互为相反数值 配方只单边加常数 x2-4x=5，化为(x-2)2=5 两边同时加 4，(x-2)2=9 未遵守等式基本性质 求根公式代错符号 x2-3x-4=0，误取b=3 a=1,b=-3,c=-4 a、b、c需连带前面符号 随意约去含未知数项 x2=3x直接约x，得x=3 移项x(x-3)=0，两根0、3 丢失x=0这个根 题型一：一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵选项A的方程含、两个未知数， ∴不是一元二次方程； ∵选项B的方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； ∵选项C的方程展开得，整理为，未知数最高次数为1， ∴不是一元二次方程； ∵选项D的方程分母含未知数，是分式方程， ∴不是一元二次方程. 2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据形如的方程是一元二次方程，判断解答即可. 【详解】解：对选项A．∵ 展开等式左边得，右边得，移项合并得，最高次数为1， ∴ 不是一元二次方程. 对选项B．∵ 方程含，是分式方程， ∴ 不是一元二次方程. 对选项C．∵ 未明确，若则方程最高次数不为2， ∴ 不一定是一元二次方程. 对选项D．∵ 方程是整式方程，只含未知数，二次项系数为，最高次数为2， ∴ 一定是一元二次方程. 3．下列方程中，①；②；③；④；⑤，是一元二次方程的有 （     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】首先明确一元二次方程的判定标准：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程、二次项系数不为0．逐个分析题干中的方程：若方程符合上述全部判定标准，则属于一元二次方程．若方程存在分母含未知数、整理后最高次低于2、未明确二次项系数不为0的情况，则不属于一元二次方程．统计符合条件的方程数量，匹配对应选项． 【详解】要判断一元二次方程，需紧扣初中定义：只含一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0，逐个分析： ①：符合所有要求，是一元二次方程． ②：没有说明，若则二次项消失，不一定是一元二次方程． ③：展开化简后得，未知数最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程． ④：分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程． ⑤：符合所有要求，是一元二次方程． 综上，一共有2个一元二次方程． 题型二：化成一元二次方程的一般式 4．把一元二次方程化成一般式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 去括号得， 移项得． 5．将一元二次方程化为的形式，则的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式展开，再合并常数项，将方程整理成一元二次方程的一般形式，对照形式写出的值，选出答案． 【详解】解：， ， ， ∴，，． 6．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式及方程的化简，将原方程化为一元二次方程的一般形式后匹配选项即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 题型三：判断是否是一元二次方程的解 7．若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把代入方程得：， ∴方程的一个根， 把代入方程得：， ∴是方程的一个根； ∴方程的根是，， 故选：B． 8．已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于的一元二次方程的解是（     ） 0 1 2 0 0 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将方程转化为的形式，结合表格数据求解． 【详解】解：∵， ∴， 由表格数据得，当时，； 当时，， ∴方程的解为． 9．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 题型四：由一元二次方程的定义求参数 10．已知关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是_____． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴. 11．若方程是关于x的一元二次方程，则的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，需要满足未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得：或且， ∴的值为． 12．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意二次项系数不等于零，这是易错点．根据题意可得且，继而求得答案． 【详解】解：由题意，得且， ∴且， ∴． 解得． 故选：B． 题型五：由一元二次方程的解求参数 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程，得， 解得． 14．若m是方程的一个根，则的值为__________ 【答案】2024 【分析】是方程的根，满足方程，可得，将所求代数式变形后整体代入即可计算出结果． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ 将代入方程得 整理得 对所求代数式变形可得： 将代入上式得：原式． 15．对关于的一元二次方程，将其一次项系数变为相反数，得到方程，则称这两个方程为“共轭方程”．若为方程的根，为其共轭方程的根，其中为整数，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程根的定义得到两个等式，通过两式相减因式分解分情况讨论，结合已知条件求解k． 【详解】解：∵m是方程的根，n是方程的根， ∴，， 得， 因式分解得， 分两种情况： 当时，则， 代入，得， 解得（已检验）， 将代入①，得， 解得，不是整数，舍去． 当时，则， 代入，得，即 ，得． 由完全平方公式得． 将和③代入上式，得． 化简得，解得，符合整数条件． 16．已知，是关于的方程的两个实数根，，，…，，……，则的值为（     ） A．2022 B．2023 C．0 D．2024 【答案】C 【分析】将代入所求式，整理后利用方程根的定义计算． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 题型六：直接开平方法 17．方程的根为（     ） A． B． C．， D． 【答案】C 【详解】解：， ， 解得，. 18．若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是_______． 【答案】，． 【分析】由根的定义，把代入得，即；新方程可化为，直接开平方得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴方程可化为， 开平方，得， ∴，． 19．如图，数轴上点表示方程的两个根，它们在数轴上的对应点的位置可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，用数轴表示实数，先求出方程的两个根，再根据根的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴它们在数轴上的对应点的位置可以是D； 故选D． 题型七：配方法 20．用配方法解方程，方程可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 21．把方程化为的形式，则的值是___________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法，求代数式的值．通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求出m，n的值，即可解答． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， ∴，， ∴． 故答案为：3． 22．若一元二次方程可以通过配方写成的形式，则可以配成（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程的配方形式得的值与的数量关系，再对目标方程配方代入求解． 【详解】解： ， ∵一元二次方程可以通过配方写成的形式， ∴； ，即． 题型八：配方法的应用 23．当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可． 【详解】解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 24．若是关于x的方程的一个解，则的最大值为______． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到关于的表达式，代入后整理为二次式，用配方法求最大值即可． 【详解】解：∵ 是方程的一个解， ∴ 将代入原方程得：， 展开并整理得：即 ， 将代入得：， 对式子配方得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即当时，取得最大值． 25．易知：，，的最小值为．应用上述思想方法请判断，对于代数式，下列说法正确的是（     ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值7 D．有最大值7 【答案】A 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的最小值为． 26．用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣1）2＝ C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝ 【答案】B 【分析】利用配方法解一元二次方程的方法配方即可． 【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0， ∴2x2﹣4x＝1， ∴x2﹣2x＝， 则x2﹣2x+1＝+1， 即（x﹣1）2＝， 故选：B． 【点睛】此题考查配方法解一元二次方程的方法，按照移项，二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方的方法配方即可． 题型九：根据判别式判断一元二次方程根的情况 27．一元二次方程的根的判别式的值为______． 【答案】9 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再代入根的判别式公式计算结果． 【详解】解：∵原方程为移项整理为一般式得， ∴，，， 根的判别式． 28．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】利用根的判别式与0的大小关系判断方程根的情况． 【详解】解：在方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 29．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，那么方程的根的情况是________________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】求出方程对应的判别式，根据三角形三边关系得到，即可得出结论. 【详解】解：一元二次方程对应的判别式， ∵在三角形中，两边之和大于第三边，即， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为有两个不相等的实数根. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 30．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义运算，将原方程转化为标准一元二次方程，再通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：根据题意可得， ， 整理，得： ， 判别式 ， ∴该方程无实数根． 题型十：根据一元二次方程根的情况求参数 31．关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 32．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式，且， 解得且． 33．如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明这是一元二次方程，首先二次项系数不能为0，再利用一元二次方程根的判别式列不等式，联立求出的取值范围． 【详解】解：方程有两个实数根， ，． ． ， ， 解得． ∴得且． 题型十一：公式法解一元二次方程 34．关于的一元二次方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用公式法进行求解即可． 【详解】解：在一元二次方程中，，一次项系数为，， ， 代入求根公式，得． 35．设，若，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值，先利用公式法解一元二次方程结合得出，求出，，计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 36．若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对比一元二次方程求根公式的结构，对应确定方程的各项系数． 【详解】解：∵ 一元二次方程的求根公式为，题中方程的根为， ∴ 对比分母得，即， ∴ 对比分子不含根号的项得，即， ∴ 对比根号内的表达式得，代入得， ∴ 该一元二次方程为. 题型十二：因式分解法解一元二次方程 37．一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 38．定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，分和两种情况，列出方程解答即可，看懂新定义运算是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 39．已知实数x满足，那么的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】A 【分析】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，在解此题时要把看成一个整体，然后用因式分解法进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． ∵在实数范围内无解， ∴． 故选：A． 题型十三：换元法解一元二次方程 40．若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义，通过整体代换求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵的两个实数根为和， ∴或， 解得或． 41．如果，那么的值是________． 【答案】 【分析】观察到等式中重复出现，用换元法将原方程转化为一元二次方程求解，再根据平方的非负性舍去不符合题意的解． 【详解】解：设， ∵ ，， ∴ ， ∵， ∴， 展开得， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ 舍去， ∴ ． 42．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 题型十四：解分式方程 43．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的化简，根据题意可把原方程变成，根据分式的化简步骤一步步得到即可； 【详解】解：由题意得：， 两边同时乘以y得： 故答案为： 44．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般形式是________． 【答案】 【分析】先确定分式方程的最简公分母，给方程两边同乘最简公分母去分母，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项得． 45．下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解无理方程，解分式方程，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质可得，据此可判断A；根据二次根式有意义的条件可得，则，据此可判断B；解分式方程可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； B、∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴去分母得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、∵， ∴去分母得：， ∴， 解得， 经检验，当是原方程的解， ∴原方程有实数根，符合题意， 故选：D． 题型十五：一元二次方程的根与系数的关系 46．若，是方程的两根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程中，，， 由根与系数的关系得，． 47．若，是一元二次方程的两个根，则______ ． 【答案】 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 48．若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再对各选项变形计算，即可找出错误选项. 【详解】解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 解答题 49．按要求解下列方程： (1)（配方法）； (2)； (3)； (4)（直接开平方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：移项，得：， 配方，得：， ， ， ， ，； （2）解：原方程变形：， 提取公因式，得：， ， 或 ， ，； （3）解：，，， ， ， ，； （4）解：直接开平方，得， 情况①：， 解得， 情况②：， 解得， ，． 50．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先去分母，再解一元二次方程，最后检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，， 经检验，都是原方程的解， ∴原方程的解为，； （2）解：， 方程两边同乘以得， 解得， 经检验是方程的解， ∴原方程的解为． 51．定义：我们把关于的一元二次方程与且，称为一对“换位方程”．如的“换位方程”是． (1)写出一元二次方程的“换位方程”：_____； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“换位方程”的两根为，_____；根据以上结果，猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为_____； (3)已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)；互为倒数； (3)或 【分析】（1）按照“换位方程”的定义求解即可； （2）用配方法解出（1）中的“换位方程”，根据解来判断原方程的根与“换位方程”的根的关系； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”的两根是，， 设，将方程变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解：在一元二次方程中，，，， 所以，一元二次方程的“换位方程”为； （2）由（1）知一元二次方程的“换位方程”为； 或， ，， 原方程的两根为，， ，， 猜想的两根，与其“换位方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数； （3）方程的两根是，，因为方程的“换位方程”是方程， 所以方程的两根是，， ， ， 设， 则， 或， 即，， 或． 【点睛】将看作一个整体进行求解． 52．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据倒方程的定义即可解题； （2）将代入其倒方程即可； （3）将代入其倒方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程中，，，， ∴它的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是：， 是一元二次方程的倒方程的解， ∴将代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是， 是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴将代入方程， 得， ． 53．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)试判断方程的根的情况； (3)若该方程有一个根大于2，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，，该方程有两个相等的实数根； 当时，，该方程有两个不相等的实数根 (3)若该方程有一个根大于2，则k的取值范围为 【分析】（1）把代入方程，求出一元二次方程的根即可； （2）计算根的判别式，再分情况判断即可； （3）先求出，再分情况：当时，或当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ∴方程的根为． （2）解：． ． 故当时，，该方程有两个相等的实数根； 当时，，该方程有两个不相等的实数根． （3）解：， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得． 要使该方程有一个根大于2， 则，解得． 综上所述，若该方程有一个根大于2，则k的取值范围为． 54．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)方程是“邻根方程” (2)或0 (3)4 【分析】（1）先解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系和题中定义表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t的最大值． 【详解】（1）解：由得， 解得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； （2）解：由得， 解得，， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴， 解得，，均满足， ∴m的值为或0； （3）解：∵方程是“邻根方程”， ∴设方程的两个根为，， 则，，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴当时，t取最大值，最大值为， ∴t的最大值为4． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题01一元二次方程的概念及解法期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解一元二次方程的三要素：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2;能辨别各式是否为一元二次方程，会将方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a0), 准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 2理解一元二次方程的根的含义，能检验数值是否为方程的解；已知方程的根，代 入式子求参数的值，牢记参数题目中(ao)这个限制条件。 3.体会“降次”核心思想，掌握直接开平方法，能根据p的正负判断\(x^2=p)根 的个数，规范开平方书写格式。 4.熟练掌握配方法，牢记配方完整步骤，会把二次项系数不为1的方程配方，能 利用配方法进行代数式变形。 5理解求根公式推导来源，会用根的判别式△=b24c判断方程实数根的情况；已知 根的情况，反求参数取值范围。 6掌握公式法、因式分解法解方程，能观察方程特点，灵活选择最简方法求解一元 二次方程，规范书写解题步骤。 7辨析各类易错点：化简后再判断方程类型：配方时等式两边同加常数：公式法中 (a、b、c要连带符号：因式分解法必须先移项，保证等式右侧为0。 8提升计算能力，减少去括号、移项、符号处理、开平方等计算失误，能准确求出 方程两个根。 ☆ 题型梳理 。。”。。。”。。” 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 判断是否是一元二次方程的解 题型四 由一元二次方程的定义求参数 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★ 题型六 直接开平方法 试卷第1页（共3页） ★★ 题型七 配方法 ★★★ 题型八 配方法的应用 ★★ 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★★ 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 因式分解法解一元二次方程 ★★★ 题型十三 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十四 解分式方程 ★★★ 题型十五 一元二次方程的根与系数的关系 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：一元二次方程的相关概念 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式的 方程，叫做一元二次方程。 试卷第2页（共3页） 三个必备条件，缺一不可： ①整式方程；②只含1个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项 系数≠0。 2.一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) ax2:二次项，a为二次项系数； bx:一次项，b为一次项系数； C:常数项。注意：整理一般形式时，必须把所有项移到等号左侧，右 侧为0；各项系数包含前面的符号。 3。一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解， 也叫根。应用： ①代入检验：把数值代入方程，左右相等则为根；②已知根求参数：将 根代入方程，构造关于参数的一元一次方程求解。 4.一元一次、一元二次方程对比表 试卷第3页（共3页） 方程类型 一般形式 未知数最高次数 二次项系数要求 一元一次方程 ax+b=0(a≠0) 无二次项 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 2 a≠0 知识点02：解一元二次方程四大解法（核心内容） 核心思想：降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 解法1：直接开平方法 适用形式：(X+m)2=n n>0:x+m=±Vn,两个不相等实数根； n=0:X+m=0,两个相等实数根： n<0:无实数根。 解题步骤：左边化为完全平方式→直接开平方一→移项求x。 解法2：配方法（基础，推导求根公式的工具） 通用步骤（以ax2+bx+c=0,a≠0）为例)： 1.移项：常数项移到等号右侧ax2+bx=-C; 2化1：方程两边同时除以二次项系数a,X合x台： b 3,配方：两边同时加一次项系数一半的平方（名}， 试卷第4页（共3页） 4.写成完全平方：(x+2 )2 b2-4ac 4a 5.开平方求解。 解法3：公式法（通用万能解法） ☑适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c-0(a0) 2.计算判别式：△=b2-4ac 3若△20，代入求根公式：x=-b±b-4ac。 2a 若△<0，方程无实数根 解法4：因式分解法（计算最快，优先选用） 1.适用条件：方程一侧为0，另一侧整式能分解成两个一次因式乘积： 2原理：若A:B=0,则A=0或B=0,实现降次； 3.常见分解类型：提公因式、平方差a2-b2、完全平方a2±2ab+b2: 4解题步骤：移项使右边=0一→因式分解→分别令两个因式=0→解两 个一元一次方程。 试卷第5页（共3页） 知识点03：一元二次方程.四大方法·择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方不含一次项、平方式等直接对等式两边开平方，注意 最简单 法 于常数 正负 方程易分解为两个整式移项整理为乘积为0，分别求 因式分解法 计算快 乘积形式 根 配方转化为完全平方式，再开 配方法 所有一元二次方程通用 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点04换元法（整体换元，针对高次/重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0, 整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2核心思路：把重复的整体设为新未知数y,将复杂高次方程转化为标准 一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3完整解题步骤： 试卷第6页（共3页） ①观察方程，找出重复出现的整体，设(y=D重复代数式： ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解/公式法解出y的取值： ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程；⑤检验，写出原方程所 有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+8)-12=0 解：设y=x2+x,原方程变为y2-4y-12=0,因式分解求出y,再分情况 回代求x。 5补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题 常出现，是中考高频简便运算技巧。 知识点05：一元二次方程根的判别式|秒判根的个数·必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),把△=b2-4ac叫做根的判别 式。 2.根的判别式(=b2-4ac) 试卷第7页（共3页） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即a0,含参数题 目必须分类讨论。 知识点06：高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 认为m-2)x2+3x=0一定是m≠2时才是一元二 遗忘一元二次方 忽略a≠0 元二次方程 次方程 程定义限制 开平方漏正 x-1=±2，两根 平方根有两个互 (x-1)2=4,只写x-1=2 负号 X1=3,X2=-1 为相反数值 配方只单边 两边同时加4， 未遵守等式基本 x2-4x=5,化为(x-2)2=5 加常数 (x-2)2=9 性质 求根公式代 x2-3x-4=0,误取b=3 a=1,b=-3,c=-4 a、 b、c需连带 试卷第8页（共3页） 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 错符号 前面符号 随意约去含 移项(x-3)=0,两 丢失x=0这个根 x2=3x直接约x,得x=3 未知数项 0、3 ☆ 题型精析 题型一：一元二次方程的定义 1.下列方程是一元二次方程的是() A.2x+y-1=0 B.x2+1=0 C.x(x+3)=x2 D.+3=1 2.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是() A.(x-2)(x+4)=(x-2)月 B.21=4 c.m+r+c=0(b2-4ac≥0）) D.2x2+mr-3m=0 3.下列方程中，①2-1=0：②r+r+c=0:③x+20x-3)=r-3:④2r--0: ⊙r-524,是一元二次方程的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二：化成一元二次方程的一般式 x2=-2(x+1) 4.把一元二次方程 化成一般式是() A.x2-2x+2=0B.x2-2x=2 C.x2+2x+2=0D.x2+2x-2=0 试卷第9页（共3页） 5.将一元二次方程x-l+4=0化为2+x+c=0的形式，则4。c的值分别为 () A.1,-2,5 B.1,-1,4 C.-1,5,2 D.1,2,5 6.将-元二次方程2x(-0=3(x+2)-5 为一般形式，正确的是() A.2x2-5x-1=0 B.2x2+x-1=0 C.2x2-5x+1=0 D.2x2+x+1=0 题型三：判断是否是一元二次方程的解 7.若方 m+hc+c=0(a≠0)中，akC满足a+b+c=0和4a-2b+c=0 则方程的 根是() A.1,2 B.1,-2 C.1,-1D.无法确定 8.已知代数式ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程 a2+bx+2=0 的解是() -2 0 ax2+bx -6 -2 0 0 -2 A. x=0x2=1 B.=-1为=2 C.=-25=2 D.=-】为=-2 9,若关于x的一元二次方程+r+c=0(a≠0) 系数ab,c满足9a+3b+c=0 9a-3b+c=0 x+bx+c=0 ，则一元二次方程 的根为() A=1为=3 B.=-】为=-3 试卷第10页（共3页) C.=15=-1 D.=35=3 题型四：由一元二次方程的定义求参数 10,己知关于*的方程m-3列r-x+2=0 是一元二次方程，则”应满足的条件是— 1.若方程m-x1+2mx+3= 是关于x的一元二次方程，则m的值为 12.已知关于*的一元=次方程k+)r+3x+2-2k-3=0 的常数项为0，则K的值为 () A.-1 B.3 C.-1或3 D.1或-3 题型五：由一元二次方程的解求参数 13.己知x=1是一元二次方程x2+mx-3=0的一个根，则m的值为() A.1 B.-1 C.-2 D.2 14.若m是方程x2-3x-1=0的一个根，则2m2-6m+2022的值为 15.对关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0) ,将其一次项系数变为相反数，得到方 程a2-bx+c=0,则称这两个方程为“共轭方程”.若m为方程x2+c-1=0的根，n为 其共轭方程x--1=0的根，其中k为整数，且mn 月m-”=6,则k的值为（） A.6 B.6 C.3 D.-3 16,已知m,”是关于”的方程+c+c=0的两个实数根，=m+”,=m+n &1o=m100+n00 ,…, a204+b2as+csw2的值为（） A.2022 B.2023 C.0 D.2024 题型六：直接开平方法 试卷第11页（共3页） 17.方程x2-4=0的根为() A.x=2 B.=为=2 C.5=2,6=-2D.=6=-2 18,若关于的一元二次方程m+n=0的一个根为1，则方程mx+2+n=0 的根是 19,如图，数轴上点小、B表示方程 (3x-9)2-37=0 a、b(a>b) 的两个根 ，它们在数轴上 的对应点的位置可以是() B ，A A A. 0 0 B A B C. 0 D.1 0 题型七：配方法 20.用配方法解方程x2-4x-1=0,方程可变形为() (x-2)2=3 B.(x-2}=5 C.(x+22=5 D.x-22=1 21.把方程-6x+3=0 (x+m)2= 化为 的形式，则m+”的值是 2,若一元二次方程ar-8ar+m=0可以通过配方写成(x-m'=6 的形式，则 ax2+8ax+m=5 可以配成() A.a(x-n+5)}2=1 B a(x+n)2=1 c.a(x-n+5)}=11 D.a(x+n)2=11 题型八：配方法的应用 试卷第12页（共3页） 23.当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是() 1 A.a B.d+a C.a2+a +5D.d+a+1 24.若x=4-m是关于x的方程x2-4x-n=0的一个解，则4m-n的最大值为一 25.易知： x2+6x+3=x2+6x+9-6=(x+3)2-6(x+3)≥0，∴(x+3-6≥6 .x2+6x+3 x2-4x+7 的最小值为.应用上述思想方法请判断，对于代数式 ,下列说法 正确的是() A.x2-4x+7有最小值3 B.x2-4x+7有最大值3 C.x2-4x+7有最小值7 D.x2-4x+7有最大值7 26.用配方法解方程2x2-4x-1=0时，需要先将此方程化成形如(x+)2=n(心0)的 形式，则下列配方正确的是() 3 A.(x-2)2=5B.(x-1)2-2 Q-1=2D.a-1y-4 题型九：根据判别式判断一元二次方程根的情况 27.一元二次方程x2=3x的根的判别式的值为 28.一元二次方程x2-3x+2=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 29.已知a,b,c分别是△4BC的三边长，那么方程c+(a叶b+=0的根的情况是 4 30.定义运算：※h=a-2ab+1.例如：4x3=4-2x4×3+1=-7.则方程 ※(-1)=-2 的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 试卷第13页（共3页） C.无实数根 D.无法确定 题型十：根据一元二次方程根的情况求参数 31.关于x的方程x2-4x-m=0有两个不相等实数根，则实数m的取值范围是() A.m≤4 B.m<4 C.m2-4 D.m>-4 32.已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 33.如果关于x的方程r+(k+2)x+ +40有两个实数根，那么k的取值范围是() A.k>-1且k≠0 B.k>-2且k≠-1 C.k≥-1且k≠0 D.k2-1 题型十一：公式法解一元二次方程 34.关于x的一元二次方程x2+bx-2=0的根是() A.x=bv8 2 B.xbv18 C=l±P8 2b D.*8 2b 14x 35.设x>1,若10N2x=x2+1,则x2-1 2±4-4×3×(-1) 36.若x= 2×3 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是 () A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=0 题型十二：因式分解法解一元二次方程 试卷第14页（共3页） 37.一元二次方程x2-3x=0的解是() A.=35=1 B=3为=0 C.=3为=-2 D.=-2为=-】 [a2-b(a≥b) 38,定义一种新运算：口*6 14a+b2(a<b),例：2※(-1)=22-（-1)=5.若 x※(-2x+1)=2 则x的值为一 30定教x满足X+王十x十X0,那么+的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.-2或1 题型十三：换元法解一元二次方程 40.若a2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为1和-2，那么关于x的一元二次方程 a(x-1}+b(x-l)=-c的解为() A.x=1或x=-2B.x=0 C.x=-1或x=2 D.x=-2 41.如果(a++a++2列6.那么2+8的值是 42.一元二次方程a(x++k= 的两根分别为3,1，则方程 a(2x+h-3+k=0(a+0)的两根分别为() A.=-6为=-2 B.=0为=-1 C.=-95=-1 D.=0为=2 题型十四：解分式方程 试卷第15页（共3页） 6 43.用换元法解分式方程r--1=”x,如果设y=-x,那么原方程可化为关于y的 整式方程是 2.1 4,解分式方程x一2十x+31时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程 的一般形式是 45.下列方程中，有实数根的方程是() A.V2x-3+1=0 B.V1-x=x-2 2 C.x-2x-2 D. 题型十五：一元二次方程的根与系数的关系 46.若，是方程2r-3x-1=0 XX> 两根，则的值为() A月 1 B.2 C.2 D. 47.若m,n是一元二次方程x2-6x-1=0的两个根，则mn+m+n= 48.若方程x2+x-1=0的两实根为、B,那么下列说法不正确的是() A.(a-l(B-)=1B.(a+3(B+3)=5c.a2+B2=3D.aB 一十 解答题 49.按要求解下列方程： 0-2x-10=0 (配方法)； 2r-1=2(x+1） 、2x2-5x-1=0 3) ④+3y=0-22 (直接开平方法)， 试卷第16页（共3页） 50.解分式方程： 6 3 =4 (1)x2-9x-3 3+ 2.4 (2)x2+2x+x2-4x2-2x 51,定义：我们把关于x的一元二次方程m+bx+c=0与o+r+a=0(ac≠0)且a≠c, 称为一对“换位方程”.如2x2-7x+3=0的“换位方程”是3x2-7x+2=0. (1)写出一元二次方程x2+2x-8=0的“换位方程”：一 (2)已知一元二次方程r+2x-8=0； 的两根为=2名二4 ,它的“换位方程”的两根为 =2,x,=一：根据以上结果，猜想2+hx+c=0的两根x,为与其“换位方程” cx2+bx+a= 0的两根，一之间存在的一种特殊关系为一： 1 3)已知关于x的方程2026x2+hx-1=0的两根是x=-1,x=2026, 请利用(2)中的结 论，求出关于x的方程(x--bx+b=2026 的两根。 52.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程a2+bx+c=0的倒方程，其中a,b,c为 常数，且aC≠0.根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程4x2+3x+1=0的倒方程是 (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的倒方程的解，求c的值： (3)若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的倒方程的一个实数根，求m+m2-6m+2的值. 2+(k-2)x+k-3=0 53.已知关于x的一元二次方程 (1)当k=6时，求方程的根： 试卷第17页（共3页） (2)试判断方程的根的情况： (3)若该方程有一个根大于2，求k的取值范围. 2+bx+c=0(a≠0) 54.如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一 个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是 x=0x2=-1 则方程+x=0」 是“邻根方程”. (1)通过计算，判断方程x2-5x+6=0是否是“邻根方程”； x2-(m-1)x-m=0 (2)已知关于x的方程 （是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程ar2+br+1=0(a、b是常数，a>0)是“邻根方程”，令1=8a-b2, 试求t的最大值. 试卷第18页（共3页）