4.4对数函数导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4 对数函数 高中数学·必修第一册（人教A版2019）教案（教师版·详案） ◆ 教学设计说明（课前必读） 【课时】 建议 2 课时。第1课时：对数函数的概念、图象与性质、反函数（例1、例2）；第2课时：比较大小、解对数不等式与复合函数（例3、例4、例5）。 【重难点】 重点：对数函数的概念与图象性质、与指数函数的对照、用单调性比大小与解不等式。难点：① 底数 a 对图象与单调性的影响（a>1 递增、0<a<1 递减）；② 比大小时中间量 0 与 1 的选取；③ 复合函数“先定域、再同增异减”。 【分层策略】 普通班：识别对数函数 + 看图说性质 + 同底比大小；重点班：+ 不同底比大小 + 解对数不等式；清北班：+ 复合函数单调性与含参讨论 + 反函数综合。 【板书】 左：对数函数定义 y=（a>0 且 a≠1）+ 与指数函数的互化；中：性质对照表（a>1 / 0<a<1 两栏）+ 定点 (1,0)；右：比大小“中间量 0、1”与解不等式“先定域再脱函数”。 【衔接】 4.3 已会用代数方法“算”对数；本节把 看成 x 的函数来“看”——它是指数函数 y= 的反函数，图象关于 y=x 对称。记住：指数函数的定点 (0,1) 在对数函数里变成 (1,0)。 【学习目标】（对标数学核心素养） • 1. 理解对数函数的概念，知道它与指数函数互为反函数。（数学抽象） • 2. 掌握对数函数的图象与性质，会用“两栏对照表”说清 a>1 与 0<a<1 的差别。（直观想象） • 3. 会用单调性比较两个对数的大小，会解简单的对数不等式。（逻辑推理、数学运算） • 4. 会求对数型复合函数的定义域与单调区间，体会“先定域、再分层”。（逻辑推理） 【强调】 对数函数不是“新函数”，它只是把指数函数的 x 与 y 换了个位置：y= ⇔ x=。所以指数函数的性质都能“翻”过来：定义域与值域互换、定点从 (0,1) 变成 (1,0)、单调性保持一致。 一、新知引入（约6分钟） 【问题1·反解】4.2 中研究过 y = ：给一个 x 就算出一个 y。现在反过来——已知 y = 6，求 x，这个 x 能用符号表示吗？ 【问题2·换名】把 y = 中的 x 与 y 互换，得到 x = ；再写成“y 关于 x”的形式，就是 y = ____。这就是对数函数。 【问题3·对照】y = 的图象过 (0,1)、值域是 (0,+∞)；那么 y = 的图象过哪一点？定义域又是什么？ 我的发现：y = 与 y = 互为 ____，图象关于直线 ____ 对称；前者的 ____ 就是后者的 ____。 【师生活动】 问题1 用“已知 y 求 x”引出反解；问题2 让学生亲手做一次“互换 x、y”；问题3 用对照表逼出定点与定义域的差异。 【设计意图】 把对数函数直接“挂”在指数函数上，学生不必另记一套图，只要会“翻”。 【讲解·如何讲清】 板书左右并排画 y= 与 y=，中间画一条虚线 y=x，让学生指出 (0,1)↔(1,0)、(1,2)↔(2,1) 两组对称点。 二、知识梳理（约18分钟，学生先填，教师再讲） （一）对数函数的概念 1. 定义：一般地，函数 y = ____（a>0 且 a≠1）叫做对数函数，其中 x 是 ____，a 是 ____。 2. 关系：y = 与 y = 互为 ____，图象关于直线 ____ 对称。 3. 定义域：____；值域：____；图象必过定点 ____。 4. 渐近线：____ 轴（直线 x = 0）是对数函数图象的渐近线，图象与 y 轴 ____。 【重点】 对数函数不是“新函数”，只是把指数函数的 x 与 y 换了个位置：y = ⇔ x = 。于是指数函数的性质都能“翻”过来：定义域与值域互换、定点从 (0,1) 变成 (1,0)、单调性保持一致。 （二）对数函数的图象与性质（填表） 项目 a>1 0<a<1 图象特征 从左到右上升 从左到右下降 定义域 (0,+∞) (0,+∞) 值域 ℝ ℝ 定点 过 (1,0) 过 (1,0) 单调性 在 (0,+∞) 上递增 在 (0,+∞) 上递减 函数值分布 x>1 时 y>0；0<x<1 时 y<0 x>1 时 y<0；0<x<1 时 y>0 【重点】 对数函数 y=x 与指数函数 y=互为反函数，图象关于直线 y=x 对称；单调性完全一致（a>1 都递增，0<a<1 都递减），但定点从 (0,1) 变为 (1,0)，定义域与值域互换。 【易错】 ① 把定义域写成 ℝ（应为 (0,+∞)）；② 单调性与底数关系搞反；③ 比大小时忘了先保证真数>0；④ 认为图象会与 y 轴相交（y 轴是渐近线）。 【重点】 “看图识 a”：在 x>1 的区域，图象越靠近 x 轴，底数 a 越 ____；更准确地说，直线 y = 1 与图象交点的横坐标就等于 ____。 【方法】 比较两个对数大小的三种情形：① 同底 → 直接用单调性（a>1 增、0<a<1 减），并先保证真数>0；② 同真数不同底 → 换底后比，或利用 与 互为倒数；③ 底数、真数都不同 → 找中间量 0 或 1，先判正负、再判与 1 的大小。 【对应练习】 讲完概念与图象→做例1、例2、训练1~5；讲完比大小与不等式→做例3、训练6、7；讲完复合与含参→做例4、例5、训练8~12。 三、典型例题（约20分钟） 例1（基础·概念与图象）已知函数 f(x) = + 2（a>0，a≠1）。(1) 求 f(x) 的定义域；(2) 求 f(x) 的图象恒过的定点；(3) 若 f(3) = 3，求 a。 【详解】 ①(1) 真数 x−1>0 → x>1，定义域为 (1,+∞)。 ②(2) 令真数 x−1 = 1 即 x = 2，此时 = 0，f(2) = 2，故图象恒过定点 (2,2)。 ③(3) f(3) = + 2 = 3 → = 1 → a = 2。 ★“图象恒过定点”的通法：令真数 = 1，此时对数值恒为 0，与底数 a 无关。 【对应练习】 做分层训练1、2、4。 例2（提高·比较大小）比较下列各组数的大小：(1) 与 ；(2) 与 ；(3) 与 。 【详解】 ①(1) 底数 2>1，对数函数递增；3<5 → < 。 ②(2) 底数 0.3<1，对数函数递减；2<3 → > 。 ③(3) 底数、真数都不同，找中间量 1： > = 1， < = 1，故 > 。 ★比大小三步：先看真数>0 → 再看能否化为同底 → 不能同底就找中间量 0 或 1。 【对应练习】 做分层训练3、5、7。 例3（提高·解对数不等式）解不等式：(1) > 1；(2) < 3。 【详解】 ①(1) 定义域 x−1>0 → x>1；1 = ，底数 0.5<1 递减 → x−1 < 0.5 → x<1.5。取交集：1<x<1.5。 ②(2) 定义域 x+1>0 → x>−1；3 = ，底数 2>1 递增 → x+1 < 8 → x<7。取交集：−1<x<7。 ★对数不等式两步都不能少：先用单调性脱对数，再补定义域。 【易错】 解对数不等式"两件事必须同时做"：先定定义域（真数>0），再按单调性脱函数（底数<1 时方向翻转）。漏定义域是最高频失分点。 【对应练习】 做分层训练6。 例4（拓展·清北）已知函数 f(x) = ，(1) 求定义域；(2) 若 a>1，求 f(x) 的单调递增区间。 【详解】 ①(1) 定义域：x²−2x−3>0 → (x−3)(x+1)>0 → x<−1 或 x>3， 　 定义域为 (−∞,−1)∪(3,+∞)。 ②(2) 设 u=x²−2x−3=(x−1)²−4，在 (−∞,−1) 上递减、在 (3,+∞) 上递增。 　 a>1 时 u 递增，故 f 的递增区间由 u 的递增区间决定 → (3,+∞)。 答案：定义域 (−∞,−1)∪(3,+∞)；单调递增区间 (3,+∞)。 【讲评要点】 (1) x²−2x−3>0 ⇒ (x−3)(x+1)>0 ⇒ x<−1 或 x>3；(2) 令 u=x²−2x−3，t 在 (3,+∞) 递增、在 (−∞,−1) 递减；外层 u 当 a>1 时递增，复合"同增"⇒ f 在 (3,+∞) 递增，在 (−∞,−1) 递减。 【讲解·如何讲清】 复合函数题"先定域、再分层"：① 真数>0 划出定义域（这是对数独有的约束）；② 用"同增异减"判单调。顺序反了必错。 【对应练习】 做分层训练9、11。 例5（拓展·反函数与含参）已知函数 f(x) = 在 [2,4] 上的最大值与最小值之差为 1，求 a 的值。 【详解】 ①a>1 时 f 递增： − = = 1 → a = 2； ②0<a<1 时 f 递减： − = = 1 → a = 。 答案：a = 2 或 a = 。 ★含参对数题，“底数大于 1 还是小于 1”决定单调性方向，必须分类讨论，两类答案都要写。 【对应练习】 做分层训练8、10。 四、变式探究（约5分钟） 【探究】为什么对数函数 y=x 与指数函数 y=的图象关于 y=x 对称？举例说明对称点如何对应。 【详解】 ①二者互为反函数：由 b = ⇔ c = ，即点 (c,b) 在 y = 上 ⇔ 点 (b,c) 在 y = 上。 ②两点坐标互换，而坐标互换正是关于直线 y=x 对称的代数特征。 ③举例：y=上的点 (3,8)（因 2³=8），对应 y=x 上的点 (8,3)（因8=3）， 　 这两点关于 y=x 对称。同理 (0,1) 与 (1,0) 也是一组对称点。 【变式1】把函数 y = 的图象向左平移 1 个单位、再向下平移 2 个单位，求所得图象对应的函数解析式，并求其图象恒过的定点。 【详解】 ①左加右减、上加下减：平移后为 y = − 2。 ②定义域 x+1>0 → x>−1；令 x+1 = 1 即 x = 0，得 y = −2，故恒过定点 (0,−2)。 答案：y = − 2；定点 (0,−2)。 【变式2】若 < 1，求实数 a 的取值范围。（分类讨论 a>1 与 0<a<1） 【详解】 把 1 写成 a，分两类： ①a>1 时递增： < a → < a，结合 a>1 得 a>1（此时因 <1， 　 <0<1 恒成立，确为 a>1）； ②0<a<1 时递减： < a → > a，结合 0<a<1 得 0<a<。 答案：a∈(0, )∪(1, +∞)。 【师生活动】 探究题建立反函数的几何直观；变式1 练对数型函数的平移与恒过定点；变式2 练“底数含参必须分类讨论”。 五、分层训练（课堂/课后均可） 【选题说明】 普通班保底看图说性质 + 同底比大小 + 求定义域与定点；重点班加不同底比大小 + 解对数不等式；清北班加复合函数单调性、含参讨论与恒成立问题。 【普通班】基础巩固（人人过关） 1. 对数函数 y=x 的定义域是 ____，值域是 ____，图象必过定点 ____。 【详解】 定义域 (0,+∞)，值域 R，图象必过定点 (1,0)。 2. 比较大小：2 ____4（填 < 或 >）。 【详解】 底数 3>1，递增；2<4 → 2 < 4。 答案：<。 3. 比较大小： ____ （填 < 或 >）。 【详解】 底数 0.5<1，递减；3<5 → > 。 答案：>。 4. 函数 f(x) = 的定义域是 ____，图象恒过定点 ____。 【详解】 x−3>0 → x>3，定义域 (3,+∞)；令 x−3 = 1 即 x = 4，f(4) = 0，定点 (4,0)。 答案：(3,+∞)；(4,0)。 5. 若 < ，则 a 的取值范围是 ____。 【详解】 由 2<3 且 < 知该函数递增 → a>1。 答案：(1,+∞)。 【重点班】能力提升（+做） 6. 解不等式：(x+1) < 3。 【详解】 3 = 8，底数 2>1 递增 → x+1 < 8 → x<7； 定义域：x+1>0 → x>−1。取交集：−1<x<7。 答案：(−1, 7)。 7. 比较 、 与 1 的大小（用“<”连接）。 【详解】 > = 1， < = 1，故 < 1 < 。 答案： < 1 < 。 8. 已知函数 f(x) = （a>0，a≠1）满足 f(5) = 2，求 a 的值与 f(x) 的定义域。 【详解】 f(5) = = 2 → = 9 → a = 3（a>0）；定义域 2x−1>0 → x>。 答案：a = 3；定义域 (, +∞)。 【清北班】拓展挑战（+做） 9. 求函数 f(x)=(x²−4) 的定义域与单调递增区间。 【详解】 ①定义域：x²−4>0 → x<−2 或 x>2，即 (−∞,−2)∪(2,+∞)。 ②设 u=x²−4，在 (−∞,−2) 上递减、在 (2,+∞) 上递增。 　 底数 0.5<1，u 关于 u 递减 → f 递增 ⇔ u 递减 ⇔ x∈(−∞,−2)。 答案：定义域 (−∞,−2)∪(2,+∞)；单调递增区间 (−∞,−2)。 10. 已知 f(x)=x 在 [2,4] 上的最大值与最小值之差为 1，求 a 的值。 【详解】 ①a>1 时递增：4 − 2 = 2 = 1 → a=2； ②0<a<1 时递减：2 − 4 = = 1 → a=。 答案：a=2 或 a=。 11. 已知函数 f(x) = 的定义域为 ℝ，求实数 a 的取值范围。 【详解】 定义域为 ℝ ⟺ − ax + 1 > 0 恒成立 ⟺ Δ = − 4 < 0 ⟺ −2<a<2。 答案：(−2, 2)。 12. 已知函数 f(x) = （a>0，a≠1）。(1) 求定义域与图象恒过的定点；(2) 若 f(−1) = 1，求 a 并判断 f(x) 的单调性。 【详解】 (1) 1−x>0 → x<1，定义域 (−∞,1)；令 1−x = 1 即 x = 0，f(0) = 0，定点 (0,0)。(2) f(−1) = = 1 → a = 2>1；外层递增、内层 1−x 递减，故 f(x) 在 (−∞,1) 上递减。 答案：定义域 (−∞,1)、定点 (0,0)；a = 2，f(x) 在 (−∞,1) 上递减。 【对应练习·闭环】 例1↔训练1、4、5、12；例2↔训练2、3、7；例3↔训练6；例4↔训练9、11；例5↔训练8、10。 六、课堂小结（约2分钟） 1. 概念：y = （a>0 且 a≠1）与 y = 互为反函数，图象关于 y=x 对称。 2. 图象与性质：定义域 (0,+∞)、值域 ℝ、定点 (1,0)；a>1 递增、0<a<1 递减；y 轴是渐近线。 3. 比大小：先保证真数>0；同底用单调性，不同底找中间量 0 或 1。 4. 解不等式与复合函数：先定定义域，再脱函数（底数<1 翻转方向）；复合用“同增异减”。 我的疑问与收获： 【流程】 闭卷默写：对数函数定义 + 性质对照表 + 比大小三步 + 解不等式两步；教师补全板书。 【板书设计】 左：对数函数定义与反函数；中：性质对照表（a>1 / 0<a<1）+ 定点 (1,0)；右：比大小“中间量 0、1” + 解不等式“先定域再脱函数”。 七、课后作业（分层布置） ● 普通班：课本 P131 练习 1~3；分层训练 1~5。 ● 重点班：课本练习全做；分层训练 1~8，整理“解对数不等式忘写定义域”错题 2 道。 ● 清北班：课本练习全做 + 分层训练 1~12，另做“反函数对称与图象变换”探究题 1 道。 【反思】 下节课前抽测：①口述对数函数的定义域、值域、定点；②比较 与 的大小；③解 > 1（必须写定义域）。后续将用指数、对数、幂三类函数拟合实际数据，本节的性质是建模的工具。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·必修第一册（人教A版2019）学案（学生版）班级：______ 姓名：____________ 日期：______ 4.4 对数函数 【学习目标】 • 1. 理解对数函数的概念，知道它与指数函数互为反函数。（数学抽象） • 2. 掌握对数函数的图象与性质，会用“两栏对照表”说清 a>1 与 0<a<1 的差别。（直观想象） • 3. 会用单调性比较两个对数的大小，会解简单的对数不等式。（逻辑推理、数学运算） • 4. 会求对数型复合函数的定义域与单调区间，体会“先定域、再分层”。（逻辑推理） 一、新知引入 【问题1·反解】4.2 中研究过 y = ：给一个 x 就算出一个 y。现在反过来——已知 y = 6，求 x，这个 x 能用符号表示吗？ 【问题2·换名】把 y = 中的 x 与 y 互换，得到 x = ；再写成“y 关于 x”的形式，就是 y = ____。这就是对数函数。 【问题3·对照】y = 的图象过 (0,1)、值域是 (0,+∞)；那么 y = 的图象过哪一点？定义域又是什么？ 我的发现：y = 与 y = 互为 ____，图象关于直线 ____ 对称；前者的 ____ 就是后者的 ____。 二、知识梳理 （一）对数函数的概念 1. 定义：一般地，函数 y = ____（a>0 且 a≠1）叫做对数函数，其中 x 是 ____，a 是 ____。 2. 关系：y = 与 y = 互为 ____，图象关于直线 ____ 对称。 3. 定义域：____；值域：____；图象必过定点 ____。 4. 渐近线：____ 轴（直线 x = 0）是对数函数图象的渐近线，图象与 y 轴 ____。 （二）对数函数的图象与性质（填表） 项目 a>1 0<a<1 图象特征 定义域 值域 定点 单调性 函数值分布 三、典型例题 例1.已知函数 f(x) = + 2（a>0，a≠1）。(1) 求 f(x) 的定义域；(2) 求 f(x) 的图象恒过的定点；(3) 若 f(3) = 3，求 a。 例2.比较下列各组数的大小：(1) 与 ；(2) 与 ；(3) 与 。 例3.解不等式：(1) > 1；(2) < 3。 例4.已知函数 f(x) = ，(1) 求定义域；(2) 若 a>1，求 f(x) 的单调递增区间。 例5.已知函数 f(x) = 在 [2,4] 上的最大值与最小值之差为 1，求 a 的值。 四、变式探究 【探究】为什么对数函数 y = 与指数函数 y = 的图象关于 y=x 对称？举例说明对称点如何对应。 【变式1】把函数 y = 的图象向左平移 1 个单位、再向下平移 2 个单位，求所得图象对应的函数解析式，并求其图象恒过的定点。 【变式2】若 < 1，求实数 a 的取值范围。（分类讨论 a>1 与 0<a<1） 五、分层训练 基础巩固（人人过关） 1. 对数函数 y=x 的定义域是 ____，值域是 ____，图象必过定点 ____。 2. 比较大小：2 ____4（填 < 或 >）。 3. 比较大小： ____ （填 < 或 >）。 4. 函数 f(x) = 的定义域是 ____，图象恒过定点 ____。 5. 若 < ，则 a 的取值范围是 ____。 能力提升（+做） 6. 解不等式：(x+1) < 3。 7. 比较 、 与 1 的大小（用“<”连接）。 8. 已知函数 f(x) = （a>0，a≠1）满足 f(5) = 2，求 a 的值与 f(x) 的定义域。 拓展挑战（+做） 9. 求函数 f(x)=(x²−4) 的定义域与单调递增区间。 10. 已知 f(x)=x 在 [2,4] 上的最大值与最小值之差为 1，求 a 的值。 11. 已知函数 f(x) = 的定义域为 ℝ，求实数 a 的取值范围。 12. 已知函数 f(x) = （a>0，a≠1）。(1) 求定义域与图象恒过的定点；(2) 若 f(−1) = 1，求 a 并判断 f(x) 的单调性。 六、课堂小结 我的疑问与收获： 七、课后作业 学科网（北京）股份有限公司 $