4.3 对数 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·必修第一册（人教A版2019）学案（学生版）班级：______ 姓名：____________ 日期：______ 4.3 对数 【学习目标】 • 1. 理解对数的概念，能熟练进行指数式与对数式的互化。（数学抽象） • 2. 掌握对数的运算性质与换底公式，会进行对数式的化简与求值。（数学运算） • 3. 会用对数恒等式与换底公式解决“不同底对数的运算与互表”问题，会解简单的对数方程。（数学运算、逻辑推理） • 4. 了解对数在 pH 值、地震震级等实际情境中的应用，体会对数“压缩数量级”的作用。（数学建模） 一、新知引入 【问题1·逆问题】已知 =8，x=____；已知 =6，x=____（能直接看出吗？需要用符号表示吗？）。 【问题2·命名】若 =N，已知 a、N 求 b，这个 b 该怎么"起个名字"读出来？ 【问题3·对比】加法有减法逆、乘法有除法逆，那么"乘方"的逆运算是什么？（提示：开方是已知 b、N 求 a） 我的发现：=N 中三个量，已知 a、b 求 N 叫 ____，已知 b、N 求 a 叫 ____，已知 a、N 求 b 叫 ____。 二、知识梳理 （一）对数的概念 1. 定义：若 =N（a>0 且 a≠1），则 b 叫做以 a 为底 N 的 ____，记作 b=____，其中 a 叫 ____，N 叫 ____。 2. 互化：指数式 =N ⇔ 对数式 ____。 3. 两个特殊值：=____（因为 =1）；a=____（因为 =a）。 4. 两个恒等式：=____；=____。 5. 常用对数：以 10 为底记作 ____；自然对数：以 e 为底记作 ____。 6. 恒等式的理解： = ____（n∈ℝ）； = ____（N>0）。 （二）对数的运算性质（a>0,a≠1,M>0,N>0） 1. (M·N) = ____； 2. () = ____； 3.() = ____（n∈ℝ）。 4. 换底公式：b= ____（常换成以 10 或 e 为底）。 5. 推论：b · a = ____； = ____。 6. 常用变形（反着用）： = − 反过来可把“两个同底对数的差”并成一个对数； = n 反过来可把系数“收回”成真数的指数。 三、典型例题 例1.把下列指数式化为对数式，或反之：(1) =81；(2) =0.01；(3) =4；(4) ln=3。 例2.求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) lg1000；(4) ；(5) 。 例3.计算：(1) lg2 + lg5；(2) − ；(3) 用换底公式求 · 的值。 例4.计算：(1) (lg2)² + lg2 · lg50 + lg25；(2) 。 例5.解方程：(1) + = 3；(2) lg x + lg(x−3) = 1。 四、变式探究 【变式1】（1）若 x=2，求 x；（2）若 8=3，求 x。 【变式2】计算：3·5·。 【变式3】已知 = a， = b，用 a、b 表示 。 五、分层训练 基础巩固（人人过关） 1. 把 =32 化为对数式：____；把 64=3 化为指数式：____。 2. 求值：16=____；1=____；3=____。 3. 计算：lg 4+lg 25=____。 4. 求值： = ____；lg 0.001 = ____； = ____。 5. 计算：2 + = ____。 能力提升（+做） 6. 计算：9·2=____。 7. 已知 2=m，3=n，用 m、n 表示 12。 8. 计算： = ____。 9. 解方程： + = 3。 拓展挑战（+做） 10. 已知 = a， = 5，用 a、b 表示 。 11. 若 lg a、lg b 是方程 2x² − 4x + 1 = 0 的两个实根，求 lg(ab) · (lg a − lg b)² 的值。 六、课堂小结 我的疑问与收获： 七、课后作业 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 对数 高中数学·必修第一册（人教A版2019）教案（教师版·详案） ◆ 教学设计说明（课前必读） 【课时】 建议 2 课时。第1课时：对数的概念、指对互化与求值（例1、例2）；第2课时：对数的运算性质与换底公式、对数式的化简与对数方程（例3、例4、例5）。 【重难点】 重点：对数概念（指数式⇔对数式互化）、对数运算性质、换底公式。难点：① 对数式中真数 N>0 的隐含约束；② 运算性质使用时“真数必须为正”的检验（否则产生增根）；③ 换底公式的灵活选用与“连锁相消”。 【分层策略】 普通班：指对互化 + 直接套性质求值 + 同底对数化简；重点班：+ 换底公式 + 用已知对数表示未知对数 + 简单对数方程；清北班：+ 含参讨论 + 对数运算与方程、不等式的综合。 【板书】 左：对数定义与指对互化（=N ⇔ b=）+ 两个特殊值 =0、=1；中：三条运算性质 + 两个恒等式 + 换底公式；右：换底“连锁相消”与对数式化简示例（例3、例4）+ 例5 的“定域—合并—验根”三步。 【衔接】 上节 4.2 指数函数是“已知底数和指数求幂”；本节反过来“已知底数和幂求指数”，这就是对数。 与开方、乘方同为“已知两元求第三元”的问题。下节 4.4 将把对数升格为函数来研究。 【学习目标】（对标数学核心素养） • 1. 理解对数的概念，能熟练进行指数式与对数式的互化。（数学抽象） • 2. 掌握对数的运算性质与换底公式，会进行对数式的化简与求值。（数学运算） • 3. 会用对数恒等式与换底公式解决“不同底对数的运算与互表”问题，会解简单的对数方程。（数学运算、逻辑推理） • 4. 了解对数在 pH 值、地震震级等实际情境中的应用，体会对数“压缩数量级”的作用。（数学建模） 【强调】 对数不是新运算，它只是"求指数"的写法：=N ⇔ b= 。真数 N 必须 >0，底数 a>0 且 a≠1——这两条是所有对数题的隐含前提。 一、新知引入（约6分钟） 【问题1·逆问题】已知 =8，x=____；已知 =6，x=____（能直接看出吗？需要用符号表示吗？）。 【问题2·命名】若 =N，已知 a、N 求 b，这个 b 该怎么"起个名字"读出来？ 【问题3·对比】加法有减法逆、乘法有除法逆，那么"乘方"的逆运算是什么？（提示：开方是已知 b、N 求 a） 我的发现：=N 中三个量，已知 a、b 求 N 叫 ____，已知 b、N 求 a 叫 ____，已知 a、N 求 b 叫 ____。 【师生活动】 问题1 用 =6 制造"指数不是整数"的认知冲突；问题2 引出对数记号；问题3 用逆运算家族定位对数的位置。 【设计意图】 把对数放进"三个量知二求一"的框架里，学生立刻明白它不是凭空冒出来的新东西。 【讲解·如何讲清】 板书三栏对照 =N：求 N→乘方，求 a→开方，求 b→对数。学生在初中已有逆运算经验，这样讲零阻力。 二、知识梳理（约18分钟，学生先填，教师再讲） （一）对数的概念 1. 定义：若 =N（a>0 且 a≠1），则 b 叫做以 a 为底 N 的 ____，记作 b=____，其中 a 叫 ____，N 叫 ____。 2. 互化：指数式 =N ⇔ 对数式 ____。 3. 两个特殊值：=____（因为 =1）；a=____（因为 =a）。 4. 两个恒等式：=____；=____。 5. 常用对数：以 10 为底记作 ____；自然对数：以 e 为底记作 ____。 6. 恒等式的理解： = ____（n∈ℝ）； = ____（N>0）。 【讲解·如何讲清】 两个恒等式不必死记：把 理解成“a 的多少次方等于 N”，那么 自然等于 N， 自然等于 n。课上让学生各举一个数字例子验证（如 =5、=−2）。 【重点】 真数 N>0 是硬约束——负数和 0 没有对数。做题时凡是出现 log，第一反应就是"真数>0"。 【重点】 看到 log 立刻做“三项检查”：底数 a>0 且 a≠1、真数>0、运算变形后真数是否依然>0。这三条是对数题的隐含前提，漏一条就可能多出一个根。 （二）对数的运算性质（a>0,a≠1,M>0,N>0） 1. (M·N) = ____； 2. () = ____； 3.() = ____（n∈ℝ）。 4. 换底公式：b= ____（常换成以 10 或 e 为底）。 5. 推论：b · a = ____； = ____。 6. 常用变形（反着用）： = − 反过来可把“两个同底对数的差”并成一个对数； = n 反过来可把系数“收回”成真数的指数。 【讲解·如何讲清】 三条性质全部来自指数运算律：乘法↔加法、除法↔减法、乘方↔倍数。换底公式是"不同底的对数要比较或运算时的通用桥梁"，务必让学生会推（设 x=log_a b ⇒ a^x=b ⇒ 两边取以 c 为底的对数）。 【易错 】① 把 (M+N)拆成M + N（错！性质只对乘除成立）；② 忽略真数>0 导致增根；③ 混淆 (M·N) 与 M ·N。 【方法】 对数式化简求值的三步：先同底（不同底就用换底公式搭桥）→ 再合并（用三条运算性质）→ 后代值（用恒等式与两个特殊值）。顺序反了会越算越乱。 【对应练习】 讲完概念→做例1、例2、训练1~5；讲完运算性质与换底→做例3、例4、例5、训练6~11。 三、典型例题（约20分钟） 例1（基础·指对互化）把下列指数式化为对数式，或反之：(1) =81；(2) =0.01；(3) =4；(4) ln=3。 【详解】 互化公式：=N ⇔ b= （a>0，a≠1，N>0）。 ①=81 → 81=4； ② =0.01 → lg0.01=−2； ③=4 → =16； ④lne³=3 → e³=e³（自然对数底为 e）。 【对应练习】 做分层训练1、2。 例2（基础·求值）求下列各式的值：(1) 8；(2) ；(3) lg1000；(4) ；(5) 【详解】 ①(1) 8 = = 3； ②(2) = = −2； ③(3) lg1000 = lg10³ = 3； ④(4) = 5（对数恒等式 = N）； ⑤(5) = = = 6（或用 3·=3×2=6）。 【讲解·如何讲清】 求值的通用手法：把真数写成"底数的幂"，指数即为对数。恒等式 a^(log_a N)=N 要当口诀记。 【对应练习】 做分层训练2、3、4。 例3（提高·运算性质与换底）计算：(1) lg2+lg5；(2) (8∙4)−2；(3) 用换底公式求 3·4 的值 【详解】 ①(1) lg2+lg5 = lg(2×5) = lg10 = 1； ②(2) (8∙4)−2 =32 − 1 = 5 − 1 = 4； 　 或拆开：8 + 4 − 2 = 3+2−1 = 4； ③(3) 3·4 = · = = 4 = 2。 ★换底后能“连锁约分”，这是换底公式最典型的用法。 【讲解·如何讲清】 换底公式的连锁相消：b · c = c，"中间底数 b 被约掉"。这是换底题最常考的形态。 【对应练习】 做分层训练5、6。 例4（提高·对数式的化简与求值）计算：(1) (lg2)² + lg2 · lg50 + lg25；(2) 。 【详解】 ①(1) 原式 = lg2(lg2 + lg50) + lg25 = lg2 · lg100 + lg25 = 2lg2 + 2lg5 = 2(lg2 + lg5) = 2。 ②(2) 换底后连锁约分： 　 = = = 3。 ★(1) 的关键是“提公因式 lg2”；(2) 的关键是换底后中间底数全部约掉，只留首尾。 【对应练习】 做分层训练7、8。 例5（提高·对数方程）解方程：(1) + = 3；(2) lg x + lg(x−3) = 1。 【详解】 ①(1) 定义域：x−1>0 且 x+1>0 → x>1。合并得 = 3， 　 → x²−1 = 8 → x² = 9 → x = ±3；结合 x>1 得 x = 3。 ②(2) 定义域：x>0 且 x−3>0 → x>3。合并得 lg[x(x−3)] = 1， 　 → x(x−3) = 10 → x²−3x−10 = 0 → x = 5 或 x = −2；结合 x>3 得 x = 5。 【易错】 解对数方程“三步缺一不可”：先定定义域（真数>0）→ 再合并求解 → 最后验根。本题两问都会多出一个根，正是定义域要剔除的，漏验根是最主要的失分点。 【对应练习】 做分层训练9。 【讲解·如何讲清】 把两个对数合并成一个时真数相乘，但合并后真数必须 >0。所以定义域要在“合并之前”先写出来，解完再代回去检验——这两步在板书上要单独占一行。 四、变式探究（约5分钟） 【变式1】（1）若 x=2，求 x；（2）若 8=3，求 x。 【详解】 ①x=2 → x=3²=9； ②8=3 → x³=8 → x=2（需满足底数 x>0 且 x≠1，2 符合要求）。 答案：x=9；x=2。 【变式2】计算：3·5·。 【详解】 换底后连锁约分： · · = = 8 = 3。 答案：3。 【变式3】已知 = a， = b，用 a、b 表示 。 【详解】 ①先统一到以 2 为底： = · = ab。 ② = = 3 + ab； = = 1 + a + ab。 ③ = = 。 答案：。 【师生活动】 变式1 练“知底求真数”与“知真数求底”；变式2 练换底连锁相消；变式3 练“选一个公共底，把所有对数都翻译成它”——这是互表类题的通法。 五、分层训练（课堂/课后均可） 【选题说明】 普通班保底指对互化 + 求值 + 同底化简；重点班加换底连锁 + 互表 + 对数方程；清北班加对数运算与方程不等式的综合、含参讨论。 【普通班】基础巩固（人人过关） 1. 把 =32 化为对数式：____；把 64=3 化为指数式：____。 【详解】 =32 → 32=5；64=3 → 4³=64。 2. 求值：16=____；1=____；3=____。 【详解】 16==4；1=0（1 的对数恒为 0）；3=1。 答案：4；0；1。 3. 计算：lg 4+lg 25=____。 【详解】 lg4+lg25 = lg(4×25) = lg100 = 2。 答案：2。 4. 求值： = ____；lg 0.001 = ____； = ____。 【详解】 = = 3；lg 0.001 = lg = −3； = = −3。 答案：3；−3；−3。 5. 计算：2 + = ____。 【详解】 原式 = + = = 2。 答案：2。 【重点班】能力提升（+做） 6. 计算：9·2=____。 【详解】 换底：· = = 9= 2。 答案：2。 7. 已知 2=m，3=n，用 m、n 表示 12。 【详解】 12 =(4×3) = 4 + 3 = 2 2 + 3 = 2m + n。 答案：2m+n。 8. 计算： = ____。 【详解】 换底后连锁约分： = = = 。 答案：。 9. 解方程： + = 3。 【详解】 定义域 x>2；合并 = 3 → x(x−2) = 8 → x²−2x−8 = 0 → x = 4 或 x = −2（舍）。 答案：x = 4。 【清北班】拓展挑战（+做） 10. 已知 = a， = 5，用 a、b 表示 。 【详解】 ①由 = 5 得 = b，即 lg5 = b·lg18；又 = a，即 lg9 = a·lg18。 ②lg45 = lg(9×5) = (a+b)lg18；lg2 = lg(18÷9) = (1−a)lg18；lg36 = lg(2×18) = (2−a)lg18。 ③ = = = 。 答案：。 11. 若 lg a、lg b 是方程 2x² − 4x + 1 = 0 的两个实根，求 lg(ab) · (lg a − lg b)² 的值。 【详解】 ①由韦达定理：lg a + lg b = 2，lg a · lg b = 。②lg(ab) = lg a + lg b = 2。 ③(lg a − lg b)² = (lg a + lg b)² − 4 lg a lg b = 4 − 2 = 2。④原式 = 2 × 2 = 4。 答案：4。 【对应练习·闭环】 例1↔训练1；例2↔训练2、3、4；例3↔训练5、6；例4↔训练7、8；例5↔训练9；清北 10、11 对应变式3 与综合。 六、课堂小结（约2分钟） 1. 概念：=N ⇔ b=；真数>0，底数 a>0 且 a≠1；=0、=1。 2. 运算：三条性质（乘→加、除→减、幂→倍数）+ 两个恒等式 + 换底公式（连锁相消）。 3. 化简求值三步：先同底（换底搭桥）→ 再合并（三条性质）→ 后代值（恒等式、特殊值）。 4. 对数方程：先定定义域（真数>0），再合并求解，最后验根。 我的疑问与收获： 【流程】 闭卷默写：互化式 + 三条性质 + 换底公式 + 两个恒等式；教师补全板书。 【板书设计】 左：对数定义与互化、两特殊值两恒等式；中：三条运算性质 + 换底公式；右：换底连锁相消与化简示例（例3、例4）+ 例5 的“定域—合并—验根”三步。 七、课后作业（分层布置） ● 普通班：课本 P123 练习 1~3；分层训练 1~5。 ● 重点班：课本练习全做；分层训练 1~9，整理“对数运算忘检验真数”错题 2 道。 ● 清北班：课本练习全做 + 分层训练 1~11，另做“用已知对数表示未知对数”探究题 1 道。 【反思】 下节课前抽测：①口述指对互化与两个恒等式；②算 · ；③解 + = 3（必须写定义域）。下节 4.4 对数函数：把 看成 x 的函数，研究它的图象与性质，并与指数函数对照。 学科网（北京）股份有限公司 $