4.4对数函数（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了对数函数的完整知识体系。从对数函数概念出发，明确其特征与判定方法，进而学习图象性质、与指数函数的反函数关系，再到对数型复合函数的定义域、值域、单调性，最后掌握对数值比较、不等式解法、奇偶性及函数增长差异。 知识链路按概念-性质-应用逻辑递进，每个知识点配有易错提醒、归纳总结和拓展延伸。题型覆盖判定、图象、定义域等十一类，通过对比反函数关系、分类讨论底数培养数学思维，结合实际应用问题发展数学语言表达能力，助力学生构建系统认知框架。

第四章 指数函数与对数函数 4.4对数函数 🔷知识点一 对数函数的概念 1.对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是大于且不等于的常数。 (3)logax的真数仅含自变量x,无常数、无多项式； ⚠️特别提醒 1.、、、均不是对数函数，只能称作对数型函数； 2.底数或时，无法构成对数函数：时函数恒为常数；底数负数会出现部分无实数意义； 3.区分：（对数函数，自变量在真数）；（指数函数，自变量在指数）。 📌归纳总结 判定对数函数的方法：系数为、真数只有、底数，三者同时满足。 💡拓展延伸 1.变形识别：可直接视作底数为的对数型函数；，是对数函数； 2.含参求函数：已知函数是对数函数，联立方程组求解参数； 3.特殊对数函数：常用对数，自然对数。 🔷 知识点二 对数函数的图象和性质 1.对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 定点 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 2. 底数对图象的影响 ① 竖线比对法则：选取大于 1 的常数（常取），作直线。直线与多条对数函数图像相交，在这条竖线上，交点纵坐标数值越大，对应对数函数的底数越小。 ② 第一象限图像规律： 在横坐标满足的区域，同一位置下图像越高，底数越小；图像越低，底数越大。 在横坐标满足的区域，同一位置下图像越高，底数越小；图像越低，底数越大。 ③ 倒数对称性质：函数与的图像关于轴对称。 ⚠️特别提醒 1. 所有对数函数的图象只会出现在轴右侧区域。轴是对数函数的垂直渐近线。 2.对数函数的值域为全体实数，代表对数函数的函数值可以取到任意正数或者负数，函数图像向上、向下无限延伸，不存在最大值，也不存在最小值。 3.对数函数的单调增减性质只由底数的取值范围决定，和自变量的取值没有关系。底数大于 1 时，函数在整个定义域单调递增；底数介于 0 到 1 之间时，函数在整个定义域单调递减。 📌归纳总结 当a>1时，对数函数单调上升；当时，对数函数单调下降；所有对数函数图像全部位于轴右半平面，恒经过定点；在的位置，图像位置越低则底数越大；底数互为倒数的两个对数函数，图像关于轴对称。 💡拓展延伸 1.平移型对数函数定点求解方法：对于函数，令真数整体，解得，代入函数得到定点坐标。 2.多个对数函数底数大小快速排序方法：画出直线，直线与各个对数曲线相交，交点从上到下对应的底数依次增大。 3.对数函数图像对称变换：函数与的图像关于轴对称，定义域随之变为。 🔷 知识点三 指数函数与对数函数互为反函数 1.反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 ⚠️特别提醒 1.只有底数相同的指数函数与对数函数才互为反函数，底数不一样的两类函数不存在这种对称关系。 2.求反函数完整步骤：从函数出发，利用指数与对数的互化关系改写成为，之后交换式子内部变量与变量的位置，得到反函数。 3.复合形式的指数函数不满足该对称规律，例如函数的反函数并不是。 📌归纳总结 底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，定义域和值域互相交换，函数图像关于直线对称，图像上对应点的横坐标与纵坐标互相调换。 💡拓展延伸 1.互为反函数的两个函数单调性保持一致，当＞1时，指数函数与对数函数都单调递增；当0＜＜1时，指数函数与对数函数都单调递减。 2.常用恒等互推关系式：，，这两组式子属于对数恒等式，是反函数性质的直接体现。 🔷 知识点四 对数型复合函数定义域 1，复合形式：，求解定义域需要同时满足下面全部条件： ① 对数内层的真数表达式的取值必须大于零； ② 如果对数的底数当中含有变量，那么需要满足底数取值大于0，同时底数取值不能等于1； ③ 当函数同时存在分式、二次根式叠加形式时，需要追加对应约束条件，分式的分母不能等于0，偶次根式内部的被开方数需要大于或者等于0。 ⚠️特别提醒 1.求解定义域时，优先列出真数大于零的不等式，所有约束条件需要求取交集； 2.表达式存在多个对数叠加的时候，每一个对数对应的真数都必须大于零，约束条件不可以遗漏； 3.题目当中含有参数时，求解定义域需要按照参数取值正负分类展开讨论。 📌归纳总结 求解对数复合函数定义域的要求：所有对数的真数取值大于零；如果题目叠加分式、根式、变量底数的形式，就要同步增加对应的限制条件，最终把全部不等式联立，求取公共解集。 💡拓展延伸 1.抽象对数型复合函数定义域题型：已知函数定义域是区间，求解的定义域，解题思路为列出不等式进行求解； 2.已知定义域反向求解参数范围的题型，可以转化为不等式恒成立相关问题处理。 🔷 知识点五 对数型复合函数值域 求解步骤： 1.首先求出内层函数的取值范围，记为集合。 2.结合外层函数自身具备的单调性，结合变量的取值集合，推导出最终函数的取值范围。 3.如果变量的取值集合当中包含数字1，那么这个函数可以取得数值0；如果变量能够覆盖全部正数，那么函数的值域为全体实数。 ⚠️特别提醒 1.函数值域为全体实数的条件：内层函数能够取到所有的正实数；当内层函数为二次函数时，需要满足抛物线开口向上，并且判别式大于或者等于零。 2.函数定义域为全体实数的条件：内层函数的取值始终大于零，对于任意实数自变量都成立；当内层函数为二次函数时，需要满足抛物线开口向上，并且判别式小于零。上面两种条件对应的要求完全相反，十分容易产生混淆。 3.如果函数图像经过平移变换，可以直接根据上下平移的规则调整值域区间。 📌归纳总结 采用换元方式先求解内层函数的取值范围，结合对数函数自身单调性推导复合函数的值域；值域为全体实数与定义域为全体实数对应的二次函数条件，需要区分开来记忆。 💡拓展延伸 1.在闭区间上求解对数函数最值：依靠单调性确定最值，最值会出现在区间端点对应的内层函数取值位置。 2.含有参数的值域问题：需要分成两类情况讨论单调性，一类是底数大于数字一，另一类是底数介于零到一之间。 🔷 知识点六 对数复合函数单调性 复合结构：，外层函数记作，内层函数记作 1.当1时，外层函数单调递增；内层函数单调递增，则整个复合函数单调递增；内层函数单调递减，则整个复合函数单调递减。 2.当时，外层函数单调递减；内层函数单调递增，则整个复合函数单调递减；内层函数单调递减，则整个复合函数单调递增。 3.重要前提：所有单调区间的划分工作，必须在满足真数取值大于零的定义域范围之内开展。 ⚠️特别提醒 1.在划分单调区间之前，必须先求出函数定义域，定义域以外的区间不研究函数单调性。 2.如果函数存在几段互不连续的单调区间，书写区间名称时只能够使用逗号隔开，禁止使用并集符号进行连接。 3.当内层函数为二次函数时，需要以二次函数对称轴作为分界位置，分段判断内层函数的增减变化情况。 📌归纳总结 分析对数复合函数单调性要先确定函数定义域，再拆分出外层函数与内层函数；外层函数单调性由底数取值决定，遵循同增异减的规律；存在多个单调区间时分段书写区间，不要使用并集符号。 💡拓展延伸 1.函数奇偶性与单调性综合题型：奇函数在关于原点对称的区间内单调性保持一致，偶函数在关于原点对称的区间内单调性恰好相反。 2.由单调性反向求解参数范围的题型：联立定义域限制条件与单调性对应的不等式约束，组成不等式组进行求解。 🔷 知识点七 对数值大小比较 1.底数相同、真数不相同：直接依据对应对数函数的单调性比较大小。 2.真数相同、底数不相同：借助直线 x =1的竖线对比各个底数的大小，也可以选0和1作为中间参照量来判断大小关系。 3.底数、真数都不相同：，引入0和1这两个中间量，先划分出各个对数取值的正负属性，再逐层比较数值的大小。 4.正负符号区分规律：当真数取值大于1时，对数最终的函数值符号与当真数取值在（0，1）时的对数函数值符号完全相反。 ⚠️特别提醒 1.对数运算当中，负数无法充当真数，因此所有需要比较大小的对数式子的真数必须是正数。 2.进行大小比较时，不可以交叉对比底数与真数的大小，必须分层分步进行判断。 3.如果对数式当中带有参数，需要分讨论。 📌归纳总结 底数保持一致时，直接利用单调性判断增减；真数保持一致时，对比底数的大小；底数和真数均不相同的对数式，就借助0和1比较大小。 💡拓展延伸 指数式与对数式混合在一起比较大小的题型，处理方法为将所有式子分别与数字0、1做对比，分层归类之后再比较数值大小。 🔷 知识点八 对数不等式解法 1.对数不等式的标准形式： 2.求解该对数不等式时，需要列出三个条件： （1)当，对数单调递增，等价于，不等号不变； (2)当，对数单调递减，等价于，不等号反向。 ⚠️特别提醒 1.脱对数前必须保证两侧真数同时大于 0，极易遗漏定义域； 2.底数含参数必须分两类完整讨论； 3.两侧底数不同不能直接脱去对数，需换底或中间量过渡。 📌归纳总结 统一底数，先写真数大于 0，按底数范围变不等号，解集取所有约束交集。 💡拓展延伸 1.二次对数不等式：换元，转化一元二次，舍去使真数无意义的解； 2.恒成立对数不等式：分离参数结合最值求解。 知识点九 对数型函数奇偶性 判定步骤： 1.求定义域，定义域不关于原点对称，可以直接判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数。 2.如果定义域关于原点对称，计算，化简后与； 3.若，则函数为偶函数；若奇函数。 常见奇函数模型：、 ⚠️特别提醒 1.标准对数的定义域，不关于原点对称，一定是非奇非偶函数； 2.化简必须完整利用对数运算，不能依靠形式直接进行判断 3.奇函数常用判定条件：定义域含 0 时，可快速求参。 📌归纳总结 判断对数型函数奇偶性，优先观察定义域是否关于原点对称，进行化简后，将对比，单纯的标准对数函数不存在奇偶性。 💡拓展延伸 奇偶性与不等式综合题型：遇到奇函数可以消去负号进行变形，遇到偶函数可以转化为绝对值形式，之后借助函数单调性脱去对数符号求解不等式。 知识点十 不同函数增长的差异 1.三类增长函数（） ① 指数增长：，爆炸式增长，自变量足够大时增长速度远超另外两类； ② 幂函数增长：，增速平稳，增长速度介于指数、对数函数之间； ③ 对数增长：，增长持续放缓，增速最慢。 2.结论 存在正数，当时，恒满足：。 3.实际应用 指数增长：复利、细菌繁殖、种群爆发增长； 幂增长：几何面积、体积匀速扩张； 对数增长：学习效率、声音强度、地震能量这类增速逐渐放缓模型。 ⚠️特别提醒 1.增长快慢结论仅在 x 足够大时成立，x 取较小数值时三者大小无固定规律，不能直接套用； 2.若底数，指数、对数函数为衰减模型，下降速度规律和增长模型相反； 3.一次函数属于匀速增长，增长速度固定不变。 📌归纳总结 长期变化趋势判断优先使用增长快慢结论；短期数值对比必须代入具体数字计算，不能直接套用固定大小关系。 💡拓展延伸 给出一组连续数据时，我们可以通过前后数据的增量变化区分函数模型。 （1)后一组数据的增量持续变大,该模型为指数函数； (2)每一组数据之间的增量保持恒定不变，该模型为一次函数； （3）后一组数据的增量越来越小，该模型为对数函数。 易错点 1 混淆标准对数函数与对数型函数 错例：认为是对数函数 错因：忽略对数判定条件，系数不为 1、真数含多项式均不满足标准形式 规避方法：判定前核对三点：对数项系数等于1、真数仅单独、底数，缺一不可。 易错点 2 解对数不等式遗漏真数大于 0 的条件 错例：解，直接得，解集 错因：只利用单调性脱对数，忘记对数真数必须大于 0，缺少 规避方法：所有对数不等式第一步列出全部真数 大于 0，联立不等式取交集。 易错点 3 混淆 “值域为” 与 “定义域为R” 条件 错例：值域为R，认为判别式 错因：要让函数定义域为全体实数，就要求二次代数式取值始终大于零（）；想要让函数值域为全体实数，就要求这个二次代数式能够取遍全部正实数（）。两类问题对应的限制条件完全相反， 规避方法：分开理解并且记忆，函数定义域是全体实数的情况，代表对应的二次代数式恒大于0；函数值域是全体实数的情况，代表对应的二次代数式能够取到0。 易错点 4 复合对数单调性忽略定义域直接判断区间 错例：递增区间写成 错因：未先求定义域即，直接用对称轴划分 规避方法：求单调区间第一步求解真数大于 0，仅在定义域内分层讨论增减。 易错点 5 “底大图高” 不分区间乱用 错例：比较，直接认为底数大函数值大 错因：底大图高仅适用于时，当时底大图低，结论相反 规避方法：图象越高底数越大；图象越低底数越大。 易错点 6 平移型对数定点直接令计算 错例：求定点，令得无意义 错因：对数定点是令真数整体为1，不是令自变量 规避方法：令真数，解出后代入求纵坐标。 易错点 7 互为反函数图象对称记忆错误 错例：认为与关于对称 错因：只有同底数指数、对数才互为反函数，底数不同无对称关系 规避方法：先核对底数完全相同，再使用的对称性质。 易错点 8 判断奇偶性跳过定义域步骤 错例：直接化简判定奇函数，未检查定义域是否关于原点对称 错因：定义域关于原点对称时，函数一定无奇偶性，无需化简 规避方法：奇偶判定第一步：求解定义域，观察是否关于原点对称。 易错点 9 三类增长模型不分区间乱用 错例：直接判定任意都满足，忽略取 1、2、3 等值时大小不满足该规律。 错因：未掌握 “指数增速远大于幂、对数” 仅在自变量足够大时成立，小范围数值不适用。 规避方法：题干出现 “长期、时间足够大” 才能直接使用增长快慢结论；无限定范围时，代入数值计算比较大小。 题型一：对数函数的判定与参数求解 📝方法技巧 1.判定函数：同时满足①对数项系数为 1；②真数只有自变量；③底数；变形函数先化简再核对； 2.已知是对数函数求参：联立方程组，舍去不符合底数范围的解； 3.区分对数函数、对数型函数、幂函数、指数函数。 1．（25-26高一上·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 2．（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 3．（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二：对数函数图象辨析与底数大小比较 📝方法技巧 1.看升降定范围：图象上升，图象下降； 2.底数大小判断：作竖线右侧，图象越高底数越大； 平移定点：令真数整体等于 1，求出定点坐标； 对称快速判断：底数互为倒数，图象关于轴对称；指数对数同底图象关于对称。 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A． B． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．    B．   B． C．   D．   5．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃·一模）根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：求对数型复合函数定义域 📝方法技巧 1.列出全部条件：所有对数真数；；偶次根式被开方；分母； 2.联立所有不等式，求解公共交集； 3.抽象对数定义域：整体替换，内层代数式落在原定义域区间内。 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·期末）函数定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 题型四：求对数型复合函数值域与最值 📝方法技巧 1.换元，先求内层取值范围； 2.根据底数的范围，利用对数单调性推出范围； 3.区分两类条件： （1）函数定义域为：内层代数式恒大于 0； （2）函数值域为：内层代数式能取遍全体正实数； 闭区间最值：内层自变量区间的端点对应外层函数的最值点。 1．（高一下·上海宝山·阶段检测）下列函数，值域为R的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北·阶段检测）函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 6．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 题型五： 对数复合函数单调区间求解 📝方法技巧 1.解不等式，确定定义域； 2.拆分外层、内层； 3.分别判断两层单调性，用 “同增异减” 判定整体； 间断区间用逗号分隔，禁止并集；二次函数以对称轴分层。 1．（25-26高一下·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型六：对数值大小比较 📝方法技巧 1.同底数：直接用对数单调性； 2.同真数：画竖线对比底数； 3.底数、真数均不同：引入中间量分层； 正负优先区分：真数大于 1 与（ 0，1 ）分开对比。 1．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津津南·期末）设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）设，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 题型七：解对数不等式 📝方法技巧 1.两侧统一化为同底对数形式； 2.写出全部真数的约束条件； 3.当时不等号不变，不等号反向； 联立所有不等式，解集取交集；含参数分两类讨论底数。 1．（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·吉林长春·期末）设函数，则满足的x取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·安徽·竞赛）已知集合，（为自然常数），则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. 求不等式的解集； 题型八：对数型函数奇偶性判定与应用 📝方法技巧 1.求定义域，定义域不关于原点对称是非奇非偶函数； 2.定义域关于原点对称，化简，对比； 3.奇函数快速结论：定义域含 0 则，用于求参数； 4.解奇偶结合不等式：奇函数消去负号，偶函数转化绝对值，再用单调性脱对数。 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是奇函数，则______． 2．（24-25高一下·青海海东·期末）已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 3．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，. (1)求函数的定义域； (2)如果试判断函数的奇偶性，并说明理由. 4．（高一下·上海·阶段检测）已知函数（且）. (1)讨论的奇偶性与单调性； 5．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知定义在上的函数对任意恒有，当时，． (1)求，判断函数的奇偶性并说明理由； 题型九：指数函数与对数反函数综合 📝方法技巧 1.同底指数、对数互为反函数，定义域值域互换； 2.点在指数函数图象上，则在对应对数函数图象上； 3.反函数求解：指对互化，交换； 4.指数函数与对数反函数单调性完全一致。 1．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）若函数与互为反函数，则的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 题型十：对数综合 📝方法技巧 1.定点问题：令真数整体等于 1，求出定点横纵坐标； 2.恒成立问题：分离参数，转化为函数最值求解； 3.存在性问题：转化为值域有交集； 含参综合：分类讨论两种底数情况。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽黄山·期末）已知恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南红河·期末）已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 5． （25-26高三·全国·一轮复习），对任意恒成立，求的取值范围. 6．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 7．（25-26高一下·四川内江·期末）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 题型十一：指数、对数、幂函数增长差异应用 📝方法技巧 1.题干带有 “长期、时间足够大、自变量持续增大” 描述，直接使用增长结论：时，； 2.表格数据类题目，通过增量变化区分函数模型； 3.实际应用题计算完成后，舍去时间、数量等无负实数意义的解； 无 “长期” 限定的比较题，代入特殊值（1,2,10 等）计算数值再排序。 1．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2.(25-26高一上·广东深圳·期末）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（    ）（参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高一下·云南玉溪·期末）某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 4．（25-26高一上·江西南昌·期末）某新型科技产品进入市场以后其累计销售量y（单位：千万台）随时间x（单位：年）的变化规律通常是初期增长缓慢，随后加速增长，当普及到2千万台时，其增长速度放缓，最终趋于饱和（4千万台），如图，若y关于x的函数关系式为． (1)请从①；②；③中选择一个作为，并求出y关于x的函数关系式； (2)假设当累计销售量达到0.75千万台时，开始研发第二代科技产品；当累计销售量达到3.2千万台时，第二代科技产品就必须进入市场销售，求第二代科技产品研发到进入市场销售的时间最长是多少时间． 5．（25-26高一上·河北·期末）甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，． (1)求的值； (2)求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 4.4对数函数 🔷知识点一 对数函数的概念 1.对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是大于且不等于的常数。 (3)logax的真数仅含自变量x,无常数、无多项式； ⚠️特别提醒 1.、、、均不是对数函数，只能称作对数型函数； 2.底数或时，无法构成对数函数：时函数恒为常数；底数负数会出现部分无实数意义； 3.区分：（对数函数，自变量在真数）；（指数函数，自变量在指数）。 📌归纳总结 判定对数函数的方法：系数为、真数只有、底数，三者同时满足。 💡拓展延伸 1.变形识别：可直接视作底数为的对数型函数；，是对数函数； 2.含参求函数：已知函数是对数函数，联立方程组求解参数； 3.特殊对数函数：常用对数，自然对数。 🔷 知识点二 对数函数的图象和性质 1.对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 定点 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 2. 底数对图象的影响 ① 竖线比对法则：选取大于 1 的常数（常取），作直线。直线与多条对数函数图像相交，在这条竖线上，交点纵坐标数值越大，对应对数函数的底数越小。 ② 第一象限图像规律： 在横坐标满足的区域，同一位置下图像越高，底数越小；图像越低，底数越大。 在横坐标满足的区域，同一位置下图像越高，底数越小；图像越低，底数越大。 ③ 倒数对称性质：函数与的图像关于轴对称。 ⚠️特别提醒 1. 所有对数函数的图象只会出现在轴右侧区域。轴是对数函数的垂直渐近线。 2.对数函数的值域为全体实数，代表对数函数的函数值可以取到任意正数或者负数，函数图像向上、向下无限延伸，不存在最大值，也不存在最小值。 3.对数函数的单调增减性质只由底数的取值范围决定，和自变量的取值没有关系。底数大于 1 时，函数在整个定义域单调递增；底数介于 0 到 1 之间时，函数在整个定义域单调递减。 📌归纳总结 当a>1时，对数函数单调上升；当时，对数函数单调下降；所有对数函数图像全部位于轴右半平面，恒经过定点；在的位置，图像位置越低则底数越大；底数互为倒数的两个对数函数，图像关于轴对称。 💡拓展延伸 1.平移型对数函数定点求解方法：对于函数，令真数整体，解得，代入函数得到定点坐标。 2.多个对数函数底数大小快速排序方法：画出直线，直线与各个对数曲线相交，交点从上到下对应的底数依次增大。 3.对数函数图像对称变换：函数与的图像关于轴对称，定义域随之变为。 🔷 知识点三 指数函数与对数函数互为反函数 1.反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 ⚠️特别提醒 1.只有底数相同的指数函数与对数函数才互为反函数，底数不一样的两类函数不存在这种对称关系。 2.求反函数完整步骤：从函数出发，利用指数与对数的互化关系改写成为，之后交换式子内部变量与变量的位置，得到反函数。 3.复合形式的指数函数不满足该对称规律，例如函数的反函数并不是。 📌归纳总结 底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，定义域和值域互相交换，函数图像关于直线对称，图像上对应点的横坐标与纵坐标互相调换。 💡拓展延伸 1.互为反函数的两个函数单调性保持一致，当＞1时，指数函数与对数函数都单调递增；当0＜＜1时，指数函数与对数函数都单调递减。 2.常用恒等互推关系式：，，这两组式子属于对数恒等式，是反函数性质的直接体现。 🔷 知识点四 对数型复合函数定义域 1，复合形式：，求解定义域需要同时满足下面全部条件： ① 对数内层的真数表达式的取值必须大于零； ② 如果对数的底数当中含有变量，那么需要满足底数取值大于0，同时底数取值不能等于1； ③ 当函数同时存在分式、二次根式叠加形式时，需要追加对应约束条件，分式的分母不能等于0，偶次根式内部的被开方数需要大于或者等于0。 ⚠️特别提醒 1.求解定义域时，优先列出真数大于零的不等式，所有约束条件需要求取交集； 2.表达式存在多个对数叠加的时候，每一个对数对应的真数都必须大于零，约束条件不可以遗漏； 3.题目当中含有参数时，求解定义域需要按照参数取值正负分类展开讨论。 📌归纳总结 求解对数复合函数定义域的要求：所有对数的真数取值大于零；如果题目叠加分式、根式、变量底数的形式，就要同步增加对应的限制条件，最终把全部不等式联立，求取公共解集。 💡拓展延伸 1.抽象对数型复合函数定义域题型：已知函数定义域是区间，求解的定义域，解题思路为列出不等式进行求解； 2.已知定义域反向求解参数范围的题型，可以转化为不等式恒成立相关问题处理。 🔷 知识点五 对数型复合函数值域 求解步骤： 1.首先求出内层函数的取值范围，记为集合。 2.结合外层函数自身具备的单调性，结合变量的取值集合，推导出最终函数的取值范围。 3.如果变量的取值集合当中包含数字1，那么这个函数可以取得数值0；如果变量能够覆盖全部正数，那么函数的值域为全体实数。 ⚠️特别提醒 1.函数值域为全体实数的条件：内层函数能够取到所有的正实数；当内层函数为二次函数时，需要满足抛物线开口向上，并且判别式大于或者等于零。 2.函数定义域为全体实数的条件：内层函数的取值始终大于零，对于任意实数自变量都成立；当内层函数为二次函数时，需要满足抛物线开口向上，并且判别式小于零。上面两种条件对应的要求完全相反，十分容易产生混淆。 3.如果函数图像经过平移变换，可以直接根据上下平移的规则调整值域区间。 📌归纳总结 采用换元方式先求解内层函数的取值范围，结合对数函数自身单调性推导复合函数的值域；值域为全体实数与定义域为全体实数对应的二次函数条件，需要区分开来记忆。 💡拓展延伸 1.在闭区间上求解对数函数最值：依靠单调性确定最值，最值会出现在区间端点对应的内层函数取值位置。 2.含有参数的值域问题：需要分成两类情况讨论单调性，一类是底数大于数字一，另一类是底数介于零到一之间。 🔷 知识点六 对数复合函数单调性 复合结构：，外层函数记作，内层函数记作 1.当1时，外层函数单调递增；内层函数单调递增，则整个复合函数单调递增；内层函数单调递减，则整个复合函数单调递减。 2.当时，外层函数单调递减；内层函数单调递增，则整个复合函数单调递减；内层函数单调递减，则整个复合函数单调递增。 3.重要前提：所有单调区间的划分工作，必须在满足真数取值大于零的定义域范围之内开展。 ⚠️特别提醒 1.在划分单调区间之前，必须先求出函数定义域，定义域以外的区间不研究函数单调性。 2.如果函数存在几段互不连续的单调区间，书写区间名称时只能够使用逗号隔开，禁止使用并集符号进行连接。 3.当内层函数为二次函数时，需要以二次函数对称轴作为分界位置，分段判断内层函数的增减变化情况。 📌归纳总结 分析对数复合函数单调性要先确定函数定义域，再拆分出外层函数与内层函数；外层函数单调性由底数取值决定，遵循同增异减的规律；存在多个单调区间时分段书写区间，不要使用并集符号。 💡拓展延伸 1.函数奇偶性与单调性综合题型：奇函数在关于原点对称的区间内单调性保持一致，偶函数在关于原点对称的区间内单调性恰好相反。 2.由单调性反向求解参数范围的题型：联立定义域限制条件与单调性对应的不等式约束，组成不等式组进行求解。 🔷 知识点七 对数值大小比较 1.底数相同、真数不相同：直接依据对应对数函数的单调性比较大小。 2.真数相同、底数不相同：借助直线 x =1的竖线对比各个底数的大小，也可以选0和1作为中间参照量来判断大小关系。 3.底数、真数都不相同：，引入0和1这两个中间量，先划分出各个对数取值的正负属性，再逐层比较数值的大小。 4.正负符号区分规律：当真数取值大于1时，对数最终的函数值符号与当真数取值在（0，1）时的对数函数值符号完全相反。 ⚠️特别提醒 1.对数运算当中，负数无法充当真数，因此所有需要比较大小的对数式子的真数必须是正数。 2.进行大小比较时，不可以交叉对比底数与真数的大小，必须分层分步进行判断。 3.如果对数式当中带有参数，需要分讨论。 📌归纳总结 底数保持一致时，直接利用单调性判断增减；真数保持一致时，对比底数的大小；底数和真数均不相同的对数式，就借助0和1比较大小。 💡拓展延伸 指数式与对数式混合在一起比较大小的题型，处理方法为将所有式子分别与数字0、1做对比，分层归类之后再比较数值大小。 🔷 知识点八 对数不等式解法 1.对数不等式的标准形式： 2.求解该对数不等式时，需要列出三个条件： （1)当，对数单调递增，等价于，不等号不变； (2)当，对数单调递减，等价于，不等号反向。 ⚠️特别提醒 1.脱对数前必须保证两侧真数同时大于 0，极易遗漏定义域； 2.底数含参数必须分两类完整讨论； 3.两侧底数不同不能直接脱去对数，需换底或中间量过渡。 📌归纳总结 统一底数，先写真数大于 0，按底数范围变不等号，解集取所有约束交集。 💡拓展延伸 1.二次对数不等式：换元，转化一元二次，舍去使真数无意义的解； 2.恒成立对数不等式：分离参数结合最值求解。 知识点九 对数型函数奇偶性 判定步骤： 1.求定义域，定义域不关于原点对称，可以直接判定这个函数既不是奇函数也不是偶函数。 2.如果定义域关于原点对称，计算，化简后与； 3.若，则函数为偶函数；若奇函数。 常见奇函数模型：、 ⚠️特别提醒 1.标准对数的定义域，不关于原点对称，一定是非奇非偶函数； 2.化简必须完整利用对数运算，不能依靠形式直接进行判断 3.奇函数常用判定条件：定义域含 0 时，可快速求参。 📌归纳总结 判断对数型函数奇偶性，优先观察定义域是否关于原点对称，进行化简后，将对比，单纯的标准对数函数不存在奇偶性。 💡拓展延伸 奇偶性与不等式综合题型：遇到奇函数可以消去负号进行变形，遇到偶函数可以转化为绝对值形式，之后借助函数单调性脱去对数符号求解不等式。 知识点十 不同函数增长的差异 1.三类增长函数（） ① 指数增长：，爆炸式增长，自变量足够大时增长速度远超另外两类； ② 幂函数增长：，增速平稳，增长速度介于指数、对数函数之间； ③ 对数增长：，增长持续放缓，增速最慢。 2.结论 存在正数，当时，恒满足：。 3.实际应用 指数增长：复利、细菌繁殖、种群爆发增长； 幂增长：几何面积、体积匀速扩张； 对数增长：学习效率、声音强度、地震能量这类增速逐渐放缓模型。 ⚠️特别提醒 1.增长快慢结论仅在 x 足够大时成立，x 取较小数值时三者大小无固定规律，不能直接套用； 2.若底数，指数、对数函数为衰减模型，下降速度规律和增长模型相反； 3.一次函数属于匀速增长，增长速度固定不变。 📌归纳总结 长期变化趋势判断优先使用增长快慢结论；短期数值对比必须代入具体数字计算，不能直接套用固定大小关系。 💡拓展延伸 给出一组连续数据时，我们可以通过前后数据的增量变化区分函数模型。 （1)后一组数据的增量持续变大,该模型为指数函数； (2)每一组数据之间的增量保持恒定不变，该模型为一次函数； （3）后一组数据的增量越来越小，该模型为对数函数。 易错点 1 混淆标准对数函数与对数型函数 错例：认为是对数函数 错因：忽略对数判定条件，系数不为 1、真数含多项式均不满足标准形式 规避方法：判定前核对三点：对数项系数等于1、真数仅单独、底数，缺一不可。 易错点 2 解对数不等式遗漏真数大于 0 的条件 错例：解，直接得，解集 错因：只利用单调性脱对数，忘记对数真数必须大于 0，缺少 规避方法：所有对数不等式第一步列出全部真数 大于 0，联立不等式取交集。 易错点 3 混淆 “值域为” 与 “定义域为R” 条件 错例：值域为R，认为判别式 错因：要让函数定义域为全体实数，就要求二次代数式取值始终大于零（）；想要让函数值域为全体实数，就要求这个二次代数式能够取遍全部正实数（）。两类问题对应的限制条件完全相反， 规避方法：分开理解并且记忆，函数定义域是全体实数的情况，代表对应的二次代数式恒大于0；函数值域是全体实数的情况，代表对应的二次代数式能够取到0。 易错点 4 复合对数单调性忽略定义域直接判断区间 错例：递增区间写成 错因：未先求定义域即，直接用对称轴划分 规避方法：求单调区间第一步求解真数大于 0，仅在定义域内分层讨论增减。 易错点 5 “底大图高” 不分区间乱用 错例：比较，直接认为底数大函数值大 错因：底大图高仅适用于时，当时底大图低，结论相反 规避方法：图象越高底数越大；图象越低底数越大。 易错点 6 平移型对数定点直接令计算 错例：求定点，令得无意义 错因：对数定点是令真数整体为1，不是令自变量 规避方法：令真数，解出后代入求纵坐标。 易错点 7 互为反函数图象对称记忆错误 错例：认为与关于对称 错因：只有同底数指数、对数才互为反函数，底数不同无对称关系 规避方法：先核对底数完全相同，再使用的对称性质。 易错点 8 判断奇偶性跳过定义域步骤 错例：直接化简判定奇函数，未检查定义域是否关于原点对称 错因：定义域关于原点对称时，函数一定无奇偶性，无需化简 规避方法：奇偶判定第一步：求解定义域，观察是否关于原点对称。 易错点 9 三类增长模型不分区间乱用 错例：直接判定任意都满足，忽略取 1、2、3 等值时大小不满足该规律。 错因：未掌握 “指数增速远大于幂、对数” 仅在自变量足够大时成立，小范围数值不适用。 规避方法：题干出现 “长期、时间足够大” 才能直接使用增长快慢结论；无限定范围时，代入数值计算比较大小。 题型一：对数函数的判定与参数求解 📝方法技巧 1.判定函数：同时满足①对数项系数为 1；②真数只有自变量；③底数；变形函数先化简再核对； 2.已知是对数函数求参：联立方程组，舍去不符合底数范围的解； 3.区分对数函数、对数型函数、幂函数、指数函数。 1．（25-26高一上·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 2．（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 4．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 题型二：对数函数图象辨析与底数大小比较 📝方法技巧 1.看升降定范围：图象上升，图象下降； 2.底数大小判断：作竖线右侧，图象越高底数越大； 平移定点：令真数整体等于 1，求出定点坐标； 对称快速判断：底数互为倒数，图象关于轴对称；指数对数同底图象关于对称。 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象判断值域，然后利用对数函数判断正负，即可根据函数值判断图象选择. 【详解】由已知函数的图象可以看出的值域为. 又因为对于，当，时，. 所以函数图象总在轴下方，当时，函数值为0. 所以只有选项C正确. 2．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 3．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】当时，，函数与均为减函数，四个图象均不满足， 当时，，函数与均为增函数，排除ACD，在同一坐标系中的图象可能是B. 故选：B． 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．    B．   B． C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 5．（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 6．（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的特征分析即可. 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 7．（2026·甘肃·一模）根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据图像，当时，函数的图像在函数的上方，而在图像的上方，所以. 题型三：求对数型复合函数定义域 📝方法技巧 1.列出全部条件：所有对数真数；；偶次根式被开方；分母； 2.联立所有不等式，求解公共交集； 3.抽象对数定义域：整体替换，内层代数式落在原定义域区间内。 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 4．（25-26高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于0和根号下大于等于0得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故选：B. 5．（25-26高二下·重庆·期末）函数定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数定义域是，所以， 解得，所以的定义域是 题型四：求对数型复合函数值域与最值 📝方法技巧 1.换元，先求内层取值范围； 2.根据底数的范围，利用对数单调性推出范围； 3.区分两类条件： （1）函数定义域为：内层代数式恒大于 0； （2）函数值域为：内层代数式能取遍全体正实数； 闭区间最值：内层自变量区间的端点对应外层函数的最值点。 1．（高一下·上海宝山·阶段检测）下列函数，值域为R的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定各函数的值域然后判断. 【详解】的值域是，的值域是R，的值域是，的值域是， 故选：B. 2．（25-26高一上·湖北·阶段检测）函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 3．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的定义，求出，再确定函数值域即可． 【详解】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 4．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 5．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 【答案】D 【分析】先由函数的定义域为确定函数的定义域，再通过换元法令将原函数转化为关于新变量t的二次函数，最后根据二次函数在闭区间上求出最大值. 【详解】 因为，的定义域为； 所以中，解得； 所以，的定义域是 令，，则，所以， 在上单调递增，当时，即时，取得最大值为. 故选：D 6．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 题型五： 对数复合函数单调区间求解 📝方法技巧 1.解不等式，确定定义域； 2.拆分外层、内层； 3.分别判断两层单调性，用 “同增异减” 判定整体； 间断区间用逗号分隔，禁止并集；二次函数以对称轴分层。 1．（25-26高一下·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 2．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 3．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则在上单调递增； ，因式分解得，解得定义域为或，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此，在上单调递减；在上单调递增. 结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：B 4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段去绝对值符号将化简并画出的图象，根据图象写出单调递增区间. 【详解】, 图象如图所示 函数的单调递增区间为 故选：D. 5．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 题型六：对数值大小比较 📝方法技巧 1.同底数：直接用对数单调性； 2.同真数：画竖线对比底数； 3.底数、真数均不同：引入中间量分层； 正负优先区分：真数大于 1 与（ 0，1 ）分开对比。 1．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，，，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】根据题意，， ， 所以. 2．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即， ，则，即， ，则，得，即， 所以，，的大小关系为. 3．（25-26高二下·天津津南·期末）设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】引入中间值0和1，判断的大小. 【详解】因为，，又，所以， ，所以. 4．（2026高三·全国·专题练习）设，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，因为，所以，错误. 选项B，因为单调递减，所以，错误. 选项C，因为，所以，错误. 选项D，因为单调递增，所以，正确. 题型七：解对数不等式 📝方法技巧 1.两侧统一化为同底对数形式； 2.写出全部真数的约束条件； 3.当时不等号不变，不等号反向； 联立所有不等式，解集取交集；含参数分两类讨论底数。 1．（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. 2．（25-26高二下·吉林长春·期末）设函数，则满足的x取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段分析函数的单调性，再综合分析函数的单调性，利用函数的单调性列式求的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 在上也是单调递减，且， 所以函数在上单调递减. 所以，解得. 即满足的x取值范围是. 3．（2025高二上·安徽·竞赛）已知集合，（为自然常数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解对数不等式求出集合，再分两种情况解乘积型不等式结合定义域求出集合，最后取两个区间的公共部分得到交集． 【详解】由，得， 所以，解得， 所以， 由，得或， ，即 ，即无解， 所以， 所以． 4．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 因为指数函数在上单调递增，因此，解得， 因为，所以. 当时，， 移项整理得， 因为对数函数在上单调递减，且， 因此， 因为，所以. 综上所述，. 5．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. 求不等式的解集； 【答案】 【分析】由，令，得，通过解一元二次不等式求解集； 【详解】由题意知，令，则 ，即，解得或； 当时，即，解得， 当时，即，解得， 故不等式的解集为. 题型八：对数型函数奇偶性判定与应用 📝方法技巧 1.求定义域，定义域不关于原点对称是非奇非偶函数； 2.定义域关于原点对称，化简，对比； 3.奇函数快速结论：定义域含 0 则，用于求参数； 4.解奇偶结合不等式：奇函数消去负号，偶函数转化绝对值，再用单调性脱对数。 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是奇函数，则______． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，求. 【详解】， ， 则，得，得， 当时，，定义域为，满足奇函数的条件. 所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·青海海东·期末）已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】应用对数函数的单调性列不等式求解. 【详解】由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即， 函数在上单调递增，且， 所以不等式的解集为， 从而不等式的解集为． 3．（25-26高一上·河南周口·期末）已知函数，. (1)求函数的定义域； (2)如果试判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)函数为偶函数 【分析】（1）根据对数函数定义域列式求解即可； （2）根据题意结合偶函数的定义分析判断. 【详解】（1）由题意可得， 根据对数函数性质可知，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数为偶函数，理由如下： 由（1）可知，函数的定义域为关于原点对称， 又因为， 所以函数为偶函数. 4．（高一下·上海·阶段检测）已知函数（且）. (1)讨论的奇偶性与单调性； 【答案】是奇函数；单调性见解析 【分析】先求得复合型对数函数的定义域，再运用奇偶性的定义判断的奇偶性；利用复合函数的单调性判断的单调性，从而得解； 【详解】对于， 有，解得，故的定义域为， 又 ，故是奇函数； 因为， 易得在上单调递增， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减； 5．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知定义在上的函数对任意恒有，当时，． (1)求，判断函数的奇偶性并说明理由； 【答案】(1) 令，则，解得； 为奇函数，理由如下： 定义域为关于原点对称， 令得，即， 所以为奇函数. 【分析】（1）令，可得的值，令，代入条件，根据奇函数的定义，即可得证. 【详解】（1）略 题型九：指数函数与对数反函数综合 📝方法技巧 1.同底指数、对数互为反函数，定义域值域互换； 2.点在指数函数图象上，则在对应对数函数图象上； 3.反函数求解：指对互化，交换； 4.指数函数与对数反函数单调性完全一致。 1．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）设函数且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数的反函数的图象过点， 所以函数的图象过点， 所以有. 故选：B 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义结合指对互化即可获得． 【详解】由得，． 因此函数的反函数是. 3．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 4．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】D 【分析】根据互为反函数的函数图象的对称性得解. 【详解】因为与互为反函数， 所以函数与的图象关于直线对称， 故选：D 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）若函数与互为反函数，则的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的反函数为对数函数，由得到，利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即可求出的单调增区间. 【详解】函数与互为反函数， 指数函数的反函数为对数函数， 故，，对数函数单调递减， 设，则原函数为， 由复合函数单调性“同增异减”可知， 单调递减，要使原函数单调递增，则需单调递减， 二次函数的对称轴为，开口向下，其单调递减区间为， 对数函数的真数须大于0，即，解得。 在定义域内，的单调递减区间为，即原函数的单调增区间是， 故选：A 题型十：对数综合 📝方法技巧 1.定点问题：令真数整体等于 1，求出定点横纵坐标； 2.恒成立问题：分离参数，转化为函数最值求解； 3.存在性问题：转化为值域有交集； 含参综合：分类讨论两种底数情况。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 2．（25-26高一上·安徽黄山·期末）已知恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式分类讨论，换元后转化为在为非正，在为非负求解即可. 【详解】由题意，时，由于，所以， 当时，由于，所以， 令，， 所以原不等式恒成立，转化为当时，，时，， 由二次函数性质知，只需满足即可， 由可得， 又，解得， 故选：A 3．（25-26高一下·云南红河·期末）已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 【答案】 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 要使有个不同实数根， 需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于． 设，即要使的两实数根均大于，则需满足： ，即，得． 所以的取值范围为． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 【答案】， 【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解. 【详解】因为的图像过点，所以．① 又因为的反函数图像过点，所以点在原函数的图像上． 所以．② 联立①②得，． 5．（25-26高三·全国·一轮复习），对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】先换元 令得到关于的二次不等式，再变换主元写成关于的一次不等式，对任意恒成立，所以代入端点满足即可 【详解】令 反客为主，以为主元整理一次函数 是关于的一次函数（含常数一次函数），闭区间恒正⟺， 即，解得 由解得， 故答案为：. 6．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域； (3)若成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据的图像经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可. （2）先列出函数的解析式，然后结合内层二次函数的值域与外层指数函数的单调性求复合函数的值域即可. （3）先化简不等式，然后结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可. 【详解】（1）因为（，且）的图像过点， 所以，解得，所以． 又函数是函数的反函数，所以． （2）由（1）可知， 因为是减函数， 所以，所以函数的值域为． （3）因为在上单调递减，， 即，所以， 解得，所以x的取值范围为. 7．（25-26高一下·四川内江·期末）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，值域为. (2) 【分析】（1）先根据为奇函数求出的值，然后利用不等式的性质求出的值域. （2）函数在区间上有两个不同的零点，即方程在该区间上有两个不同的解，通过换元法将问题转化为二次函数的零点问题，再结合二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】（1）因为且，则的定义域为， 又为奇函数，，解得， 所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则， 所以函数的值域为. （2）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 题型十一：指数、对数、幂函数增长差异应用 📝方法技巧 1.题干带有 “长期、时间足够大、自变量持续增大” 描述，直接使用增长结论：时，； 2.表格数据类题目，通过增量变化区分函数模型； 3.实际应用题计算完成后，舍去时间、数量等无负实数意义的解； 无 “长期” 限定的比较题，代入特殊值（1,2,10 等）计算数值再排序。 1．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为图象交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比较. 【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标， 图象如图：    由图可知，； 法2：易知，均为增函数， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 2.(25-26高一上·广东深圳·期末）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（    ）（参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为，再列不等式，结合指数函数的性质求参数值. 【详解】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，可得：， 则，则 故至少是4. 故选：B. 3．（25-26高一下·云南玉溪·期末）某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 【答案】(1)选择模型②更合适，解析式为； (2)预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限 【分析】（1）根据增长速度可得更合适，代入数据计算出，得到解析式； （2）令得，可得结论 【详解】（1）下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人， 随着下课时间的增长，人数也在增长，且增长速度减慢， 故对数型函数模型更合适， 将数据代入可得，解得， 故解析式为； （2）中，令得， 预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限. 4．（25-26高一上·江西南昌·期末）某新型科技产品进入市场以后其累计销售量y（单位：千万台）随时间x（单位：年）的变化规律通常是初期增长缓慢，随后加速增长，当普及到2千万台时，其增长速度放缓，最终趋于饱和（4千万台），如图，若y关于x的函数关系式为． (1)请从①；②；③中选择一个作为，并求出y关于x的函数关系式； (2)假设当累计销售量达到0.75千万台时，开始研发第二代科技产品；当累计销售量达到3.2千万台时，第二代科技产品就必须进入市场销售，求第二代科技产品研发到进入市场销售的时间最长是多少时间． 【答案】(1)选择②， (2)3年 【分析】（1）根据函数的性质确定选择哪个作为，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）根据增长趋势，当x越来越大，y会无限趋近于4千万台，所以应选择②， 则， 由题意知，即，，，， 则． （2）由题意知，即， 所以第二代科技产品研发到进入市场销售的最长时间是3年． 5．（25-26高一上·河北·期末）甲醛是许多住房建材会释放的一种无色、有刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛的浓度不能超过0.08毫克每立方米，否则，该新房达不到安全入住标准．已知某住房自装修完成后，通风时长（，单位：天）与室内甲醛浓度（单位：毫克每立方米）满足关系式，且当时，． (1)求的值； (2)求至少通风多少天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 【答案】(1) (2)32天 【分析】（1）将，代入函数解析式，再利用指数式与对数式的互化及指数幂的运算性质运算即可求出的值； （2）由题意列出不等式，再利用函数的单调性转化为一元二次不等式，令函数，通过估算的值得到使不等式成立的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为当时，，所以， 整理得，即，解得． （2）由（1）可知，． 要使该新房空气中甲醛的浓度达到安全入住标准， 须满足， 整理可得. 因为函数在上单调递减， 所以． 因为函数在上单调递增， 且． 所以至少通风32天后，该新房空气中甲醛的浓度可以达到安全入住标准． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $