6.7 角的和差（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第6章　图形的初步知识 6.7 角的和差（第1课时） 角的和差与角平分线 数学新教材浙教版　七年级上册 新知讲授 折纸中寻找角的变化 提出任务 折叠直角三角形纸片时，可让一条边向另一条边靠拢。折前、折后张开的范围如何改变？哪些小角合在一起构成原来的角？ 研究方向 角之间既有大小关系，也有和差关系。先识别角的顶点和边，再研究合并、去掉一部分后所得的角。 探究巩固 探究 已知∠α=30°、∠β=120°、∠γ=150°，写出它们的和差关系。 答：∠γ=∠α+∠β；∠β=∠γ−∠α；∠α=∠γ−∠β。 30°+120°=150°，由和可得两种差。 新知讲授 两个角的和 定义 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和； 理解 角的和首先是度数关系，不要求给出的两个角原来相邻。借助量角器可作一个角来表示它们的和。 新知讲授 两个角的差 定义 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。 理解 求角的差要确定较大的整体角与其中的部分角。作图时若用相邻位置表示差，应保持公共顶点和一条公共边。 新知讲授 公共顶点与相邻小角 位置条件 OB在∠AOC内部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC。OB将整体分成两个不重叠的小角，两小角共顶点、共一边。 对应的差 由和式可得∠AOB=∠AOC−∠BOC、∠BOC=∠AOC−∠AOB。写等式时应将字母与图形对应。 O A B C 课堂练习 课内练习 同一端点的三条射线OA、OB、OC如图，完成填空。 （1） ∠AOB+∠BOC=∠____=____度。 （2） ∠AOC−∠BOC=∠____=____度。 （3） ∠BOC=∠AOC−∠____=____度。 （1） 答：AOC；110。 30°+80°=110°。 （2） 答：AOB；30。 110°−80°=30°。 课堂练习 课内练习 同一端点的三条射线OA、OB、OC如图，完成填空。 （1） ∠AOB+∠BOC=∠____=____度。 （2） ∠AOC−∠BOC=∠____=____度。 （3） ∠BOC=∠AOC−∠____=____度。 （3） 答：AOB；80。 110°−30°=80°。 探究巩固 探究 利用30°、120°、150°这三个角，怎样画出90°的角？ O A B 答：例如作120°与30°的差，得到90°。 先计算120°−30°=90°，再用量角器作所求角。 也可利用150°−2×30°=90°，但需清楚说明过程。 新知讲授 角的和差与位置不能混淆 先看是否相邻 ∠AOB+∠BOC=∠AOC要求OB位于∠AOC内部。若两小角互相重叠，直接相加会重复计入重叠部分。 先画再列式 对同一顶点引出的多条射线，按顺序标出每一小角。可把整体角看成若干小角之和，再决定加减。 例题讲解 例1 已知∠1与∠2，用量角器作∠1与∠2的和。 O A B 答：量得∠1=60°、∠2=45°，作∠AOB=105°。 先计算60°+45°=105°，再作105°的角。 所作∠AOB等于两角的和，保留清楚的顶点、两边和度数。 探究巩固 探究 已知∠α=85°、∠β=35°，用量角器作∠α−∠β。 O A B 答：作50°的角。 85°−35°=50°，再按量角器两重合步骤作角。 新知讲授 折叠发现相等小角 操作 在透明纸上画∠AOB，折叠使OA与OB重合，再展开并画出从O出发的折痕OC。比较折痕两侧的角。 发现 折叠时两边重合，两个小角也重合，因此∠AOC=∠BOC。折痕给出了把原角等分的射线方向。 新知讲授 角平分线的定义 定义 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线（angular bisector）。 检查条件 必须从角顶点出发，是一条射线，并且分成两个相等的角。仅有一条穿过角内部的线段不能直接称为角平分线。 新知讲授 角平分线的数量关系 从整体求半角 OC平分∠AOB时，∠AOC=∠COB，且各等于∠AOB的一半。原角为80°时，每个半角为40°。 从半角求整体 同一条件下，∠AOB=2∠AOC=2∠COB。若已知一个半角为32°，原角为64°。 O A C B 探究巩固 探究 射线OC在∠AOB内部，∠AOC=∠COB。能否确定OC为角平分线？若仅说OC在角内部呢？ 答：前者能，后者不能。 前者同时满足从顶点引出、把角分成相等两部分。 仅在内部并不保证两边张开程度相同。 例题讲解 例2 ∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP。 答：∠ABD=120°。 BC在∠ABD内部，∠ABD=∠ABC+∠CBD。 90°+30°=120°，先求被平分的整个角。 例题讲解 例2 ∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠ABP。 答：∠ABP=60°。 BP平分∠ABD，故∠ABP为∠ABD的一半。 120°÷2=60°；可检验∠PBD同样为60°。 探究巩固 探究 ∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，求∠CBP。 答：30°。 ∠ABP=60°，∠ABC=90°。 ∠CBP=90°−60°=30°。 课堂练习 课内练习 已知∠α、∠β，用量角器作∠α−∠β。 O A B 答：量得∠α=60°、∠β=30°，故作30°的角。 先测量两角，计算差，再用量角器作结果角。 测量时从正确零刻度读数；作图后标明30°。 课堂练习 课内练习 点O在直线AC上，∠AOB=55°。用量角器作∠BOC的平分线OD，并计算∠AOD。 O A C B D 答：∠AOD=117°30′。 ∠BOC=180°−55°=125°，OD平分后∠BOD=62°30′。 ∠AOD=55°+62°30′=117°30′。 探究巩固 探究 点A、O、C依次在同一直线上，∠AOB=55°，OD平分∠BOC。不先求∠BOD，怎样求∠AOD？ 答：由∠COD=62°30′，得∠AOD=180°−62°30′=117°30′。 ∠BOC=125°，其一半为∠COD。 利用平角的另一部分作差，结果与加法相同。 探究巩固 作业题1 已知∠AOB，用量角器作∠AOB的平分线。 O A B C 答：量出∠AOB的度数，再在内部作射线OC，使∠AOC为原角的一半。 所得∠AOC=∠COB，故OC为所求。 注意作出射线，不能只标一个内部点。 探究巩固 作业题3 根据图形填空。 （1） ∠AOB=∠AOC+____。 （2） ∠AOD=∠AOB−____=____−∠COD。 （3） ∠AOC+∠BOD−∠AOB=____。 （1） 答：∠COB。 OC在整个角内部。 （2） 答：∠DOB；∠AOC。 先表示两个整体角，再去掉相应部分。 探究巩固 作业题3 根据图形填空。 （1） ∠AOB=∠AOC+____。 （2） ∠AOD=∠AOB−____=____−∠COD。 （3） ∠AOC+∠BOD−∠AOB=____。 （3） 答：∠COD。 相加时重叠部分∠COD被重复计入一次。 探究巩固 作业题4 ∠ABC=60°，∠ABD=145°，BE平分∠ABC，求∠DBE。 答：∠DBE=115°。 BE平分∠ABC，故∠ABE=30°。 ∠DBE=∠DBA−∠EBA=145°−30°=115°。 探究巩固 作业题5 E是直线AC上一点，EF、EG分别是∠AEB、∠BEC的平分线。求∠GEF。 答：∠GEF=90°。 ∠GEF=∠GEB+∠BEF，分别为两相邻角的一半。 ∠AEB+∠BEC=180°，故两半角的和为90°。 探究巩固 探究 OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，若∠AOB=120°，求∠AOD、∠DOB。 O A D C B 答：∠AOD=30°，∠DOB=90°。 ∠AOC=60°，再平分得∠AOD=30°。 ∠DOB=120°−30°=90°。 探究巩固 探究 OC平分∠AOB，已知∠BOC=38°20′，求∠AOB。 答：76°40′。 原角等于半角的2倍，分别将度、分乘2。 新知讲授 防止把不同角的一半混用 辨清被平分的角 “OP平分∠AOB”只直接给出∠AOP与∠POB相等。图中还有其他射线时，不能把任意邻角都看成这一半。 书写推理 每一步先写条件，再写对应等式。例如“因为OP平分∠AOB，所以∠AOP=∠POB”。这能防止把顶点或角边配错。 探究巩固 探究 OA、OB、OC、OD依次在同一侧，∠AOC=70°、∠BOD=80°、∠AOD=120°，求∠BOC。 O A B C D 答：30°。 两角之和等于整体加重叠角。 ∠BOC=70°+80°−120°=30°。 方法归纳 角的和差与平分关系 读位置 ① 标明同一顶点射线的先后顺序。 ② 相邻小角可相加，重叠部分需扣除。 用平分 ① 先找被平分的整个角，再求其一半。 ② 由半角反求整体时乘2，并检查角名。 课堂总结 角的和差 角的和差 比较的是度数的和或差 相邻关系 内部射线分角，整体=两部分之和 作图 先量、算度数，再用量角器作角 角平分线 从顶点引出，分成两个相等角 关键数量 半角=原角÷2；原角=半角×2 针对训练 训练 角平分线是（　）。 A.线段 B.射线 C.直线 D.角 答：B。 定义要求从角顶点引出的一条射线。 回到角平分线定义，确认它从顶点出发的图形类型。 针对训练 训练 OB在∠AOC内部，∠AOB=28°，∠BOC=47°，则∠AOC=____。 答：75°。 28°+47°=75°。 OB在内部，两个相邻小角恰好拼成整体。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 角平分线把原角分成两个相等角。 对 这是定义的关键条件。 （2） 在角内的射线都是平分线。 错 还须两个小角相等。 （3） 两角和的作图可先求度数再作角。 对 作出的角与两角度数之和相等。 区分在角内部与恰好二等分这两个条件。 针对训练 训练 OC平分∠AOB=86°，求∠BOC。 答：43°。 86°÷2=43°。 平分线两侧的角各为整个角的一半。 针对训练 训练 OP平分∠AOB，∠AOP=27°45′，求∠AOB。 答：55°30′。 2×27°45′=54°90′=55°30′。 已知半角反求整体，分满60时记得进位。 针对训练 训练 OB在∠AOC内部，∠AOC=113°20′、∠AOB=48°50′，求∠BOC。 答：64°30′。 113°20′=112°80′，再相减。 先按度、分对齐，不够减时借1度为60分。 针对训练 训练 点A、O、C依次在同一直线上，∠AOB=64°，OD平分∠BOC，求∠AOD。 O A C B D 答：122°。 ∠BOC=116°，∠COD=58°。 ∠AOD=180°−58°=122°。 先由平角求BOC，再利用平分关系。 针对训练 训练 OA、OB、OC、OD依次排列，∠AOC=65°、∠BOD=75°、∠AOD=110°，求∠BOC。 O A B C D 答：30°。 65°+75°−110°=30°，扣除整体后留下重叠部分。 两角相加时重叠部分重复计入一次。 针对训练 训练 摄像机从起始方向先向右转36°，再同向转24°；若回转到整个扫描角的平分方向，从最终方向应向左转多少？ 答：30°。 累计扫描角60°，平分方向距起始与最终均为30°。 先合并两次扫描范围，再取整体的一半。 针对训练 训练 纸扇张开100°，从顶点沿角平分线折叠后每半的张角是多少？若再将其中一半等分，所得小角是多少？ 答：50°；25°。 先把整体除以2，再对其中一半除以2。 连续二等分时，每次只对当前这一半再除以2。 方法归纳 先找位置关系，再用数量关系 角的和差 ① 按射线顺序分清相邻与重叠。 ② 整体相加、部分作差，重复部分要扣除。 角平分线 ① 将文字条件立即转成两个相等半角。 ② 先求整体再平分，或从半角乘2反求整体。 $