6.8 余角和补角-课件-2026-2027学年浙教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“余角和补角”，涵盖定义、性质及应用。课堂导入通过台球桌入射角反射角实例，衔接角度计算基础，以问题链搭建从现实情境到概念理解再到性质应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，用台球情境激发兴趣，通过三角板摆放、几何推理题培养抽象与推理能力，方程思想解决角度问题强化模型意识。易错总结帮助学生规避误区，教师可直接用于课堂教学与巩固，提升教学效率。

浙教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月9日 6.8 余角和补角 第6章图形的初步认识 浙教版七年级上册6.8 余角和补角 练习题 本节是几何角度计算高频考点，重点掌握余角、补角的定义与核心性质，会判断互余、互补关系，熟练运用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行几何推理，掌握利用一元一次方程求解角度的经典题型，破解概念混淆、性质乱用、计算出错等易错问题。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 若∠α=35°，则∠α的余角的度数是（） A. 55° B. 65° C. 145° D. 135° 2. 一个角为70°，它的补角为（） A. 20° B. 30° C. 110° D. 120° 3. 下列说法正确的是（） A. 90°的角是余角 B. 互补的两个角一定一个是锐角、一个是钝角 C. 互余的两个角和为90° D. 度数和为180°的两个角互余 4. 若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3，依据是（） A. 同角的余角相等 B. 同角的补角相等 C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等 5. 一个角的补角一定比它的余角大（） A. 45° B. 90° C. 180° D. 不一定 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 如果两个锐角的和是________，那么这两个角互余；如果两个角的和是________，那么这两个角互补。 2. 性质：同角（或等角）的余角________；同角（或等角）的补角________。 3. 30°角的余角是________°，补角是________°。 4. 若一个角的余角为40°，则这个角的度数为________°。 5. 已知∠α与∠β互补，且∠α=120°，则∠β=________°。 三、专项解答题（共60分） 1.（20分）基础计算： 已知∠A=48°24′，求∠A的余角和补角的度数。 2.（20分）方程思想经典题型： 已知一个角的补角是它余角的4倍，求这个角的度数。 3.（20分）几何性质推理题： 如图，∠AOB=90°，∠COD=90°，请说明∠AOC=∠BOD的理由。 参考答案 一、选择题：1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 二、填空题：1.90°、180° 2.相等、相等 3.60、150 4.50 5.60 三、解答题： 1. 解：余角=90°−48°24′=41°36′ 补角=180°−48°24′=131°36′ 答：余角为41°36′，补角为131°36′。 2. 解：设这个角的度数为x°， 则它的余角为(90−x)°，补角为(180−x)°。 根据题意列方程：$$180-x=4(90-x)$$ 解得：$$x=60$$ 答：这个角的度数为60°。 3. 解：∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠COB=90° ∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠COB=90° ∴∠AOC和∠BOD都是∠COB的余角 根据同角的余角相等，可得：∠AOC=∠BOD。 小节易错总结：1. 互余只针对两个锐角，和为90°；互补两角和为180°，可同为直角、一锐一钝；2. 余角、补角只和度数和有关，与位置无关；3. 牢记核心性质，是几何证明必考依据；4. 角度方程题常设未知角度为x，用余补关系列方程；5. 度分秒计算减法不够时向前借1当60。 知识精讲 台球桌面上，A球受击打后的运动轨迹如图。若∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）? 反射角=入射角=90°-∠α=60° 01 课堂引入 ∠β=∠α=30° 如图，在Rt∠AOB的内部画射线OC，有∠1+∠2=Rt∠AOB。∠3+∠4与Rt∠AOB相等吗?怎样判断? 02 知识精讲 ∠3+∠4=Rt∠AOB 先将∠3、∠4的顶点以及一条角边重合，表示出∠3与∠4的和角，再将∠3与∠4的和角与Rt∠AOB进行叠合。 如图，类似地，在平角∠AOB的内部画射线OC，则有∠AOC+∠BOC=∠AOB。∠α+∠β与平角∠AOB相等吗?怎样判断? 02 知识精讲 ∠α+∠β=平角∠AOB 先将∠α、∠β的顶点以及一条角边重合，表示出∠α与∠β的和角，再看∠α、∠β的另一条角边是否在一条直线上。 02 知识精讲 余角的概念 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 eg：如图，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角； ∠3与∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4也是∠3的余角。 02 知识精讲 补角的概念 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。 eg：如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角； 如图，∠α与∠β互为补角，∠α是∠β的补角，∠β也是∠α的补角。 知识过关 ①如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角 　互 余　；如果两个角的和是一个 　平角　，我们就说这两个角 互为补角.   ②　同角或等角　的余角相等、补角相等. 互 余 平角 同角或等角 中考考法 余角、补角的概念 1. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定 互余的是(　C　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 2. 若∠A的补角是120°50'，则∠A的余角的度数是(　B　) A. 30°10' B. 30°50' C. 59°10' D. 59°50' B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 做一做——1.如图，已知∠1=42°，∠2=138°，∠3=48°。图中有没有互余或互补的角?若有，请把它们写出来，并说明理由。 02 知识精讲 有，∵∠1+∠2=42°+138°=180°，∴∠1与∠2互补； ∵∠1+∠3=42°+48°=90°，∴∠1与∠3互余。 2.如图，O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪些角互补?有哪些角互余?请说明理由。 02 知识精讲 ∠AOC与∠BOC互补， ∠AOD与∠BOD互补； ∠COD与∠BOD互余。 3.填空： (1)∠α的余角=90°-________； (2)∠β的余角=________-∠β。 02 知识精讲 ∠α 90° 02 知识精讲 余角、补角的性质 从上面“做一做”第3题可以看出，当∠α=∠β时，就有∠α的余角与∠β的余角相等，也就是说， 同样可以得到： 同角或等角的余角相等。 同角或等角的补角相等。 你能证明出补角的性质吗？ 如果∠α与∠β互为补角，∠α与∠γ互为补角， 证明：∠β=∠γ。 02 知识精讲 证明：∵∠α与∠β互为补角，即∠α+∠β=180°， ∴∠β=180°-∠α， 同理，∠γ=180°-∠α， ∴∠β=∠γ。 练一练——1.如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。 02 知识精讲 解：如图，∠AOB=∠COD，理由如下： ∵∠AOC=∠BOD=Rt∠， ∴∠AOB+∠BOC=Rt∠， ∠COD+∠BOC=Rt∠， 即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角， ∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）。 2.已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。 02 知识精讲 解：设这个角为x度， 则这个角的余角是(90-x)度，补角是(180-x)度， 由题意可得：180-x=4(90-x)， 解得：x=60， ∴这个角的度数为60°。 3. [2024·桐庐期末]如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别 为A，D，图中互余的角共有(　C　) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 (第3题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 4. 如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则∠1， ∠2，∠3之间的数量关系为(　D　) A. ∠1＋∠2＋∠3＝90° B. ∠1＋∠2－∠3＝90° C. ∠2＋∠3－∠1＝90° D. ∠1－∠2＋∠3＝90° (第4题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 5. 已知∠α＝29°45'38″，则∠α的补角的度数 是 ⁠. 6. 如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路 PA的走向是南偏西34°，公路PB与正南方向夹角的余角 是30°，则这两条公路的夹角∠APB＝ ⁠°. 150°14'22″　 94　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 7. [2024·东莞期末]已知一个角的补角比这个角的余角的2倍 还多30°. (1)设这个角的度数为x，则它的补角为 ⁠； 它的余角为 ；(用x表示) (2)求这个角的度数. 【解】由题意可知，(180°－x)－2(90°－x)＝ 30°，解得x＝30°. 即这个角的度数是30°. 180°－x　 90°－x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 余角、补角的性质 8. 如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下 列说法错误的是(　D　) A. ∠1＝∠2 B. ∠AOE与∠2互余 C. ∠AOD与∠1互补 D. ∠AOD与∠COD互补 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 【点拨】 因为∠COB＝∠EOD＝90°， 所以∠1＋∠COD＝∠2＋∠COD＝90°， 所以∠1＝∠2，故A选项正确； 因为∠AOE＋∠1＝90°， 所以∠AOE＋∠2＝90°，即∠AOE与∠2互余，故 B选项正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 因为∠AOD＋∠2＝180°， 所以∠AOD＋∠1＝180°，即∠AOD与∠1互补， 故C选项正确； 无法判断∠AOD与∠COD是否互补，D选项错误. 故选D. D 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 9. 已知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则下列说法一 定正确的是(　A　) A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3 C. ∠1＝∠2 D. ∠1＝∠2＝∠3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 10. [2024·金华东阳期末]如图，一副三角板按不同的位置摆 放，摆放位置中∠α＝∠β的图形有 .(填序号) ②③④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 【点拨】 根据直角三角板中每个角的度数，可以判断出图① 中∠α＝45°，∠β＝60°；图②中∠α＝∠β＝45°；由 同角的余角相等可得图③中∠α＝∠β，由等角的补角相 等可得图④中∠α＝∠β，在图⑤中∠α＋∠β＝180°， 不相等，因此摆放位置中∠α＝∠β的图形有②③④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 11. ∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式 子有：①90°－∠β；②∠α－90°；③ (∠α＋∠β)； ④ (∠α－∠β)，其中错误的有(　A　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 所以∠β＝180°－∠α，∠α＝180°－∠β. 因为90°－∠β＋∠β＝90°，所以90°－∠β为∠β 的余角. 因为∠α－90°＝180°－∠β－90°＝90°－∠β， 所以∠α－90°为∠β的余角. 【点拨】 因为∠α和∠β互补，且∠α＞∠β， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 因为 (∠α＋∠β)＝90°，所以它不是∠β的余角. 因为 (∠α－∠β)＝ (180°－∠β－∠β)＝90°－ ∠β，所以 (∠α－∠β)为∠β的余角. 【答案】 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 12. [2024·杭州拱墅区期末]已知∠γ是∠α的补角，∠β是∠γ 的补角，若∠α＝(2n－30)°，∠β＝(60－n)°，则∠γ 的度数为 ⁠. 【点拨】 因为∠γ是∠α的补角，∠β是∠γ的补角，所以易得 ∠α＝∠β， 所以(2n－30)°＝(60－n)°， 所以n＝30，所以∠α＝30°， 所以∠γ＝180°－30°＝150°. 150°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中考考法 课后总结 余角、补角的概念： 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。 补角、余角的性质： 同角或等角的余角相等。 同角或等角的补角相等。 $