6.8 余角和补角（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第6章　图形的初步知识 6.8 余角和补角（第1课时） 余角与补角 数学新教材浙教版　七年级上册 新知讲授 台球反弹中的两个角 观察 球与桌边的夹角α为30°，与垂直于桌边方向的入射角和它合成直角。反射角与入射角相等。 求值 入射角为90°−30°=60°，反射角也是60°，另一侧与桌边的夹角β=30°。这引出两个角和为直角的关系。 新知讲授 把直角与平角拆成两部分 直角 在一个直角内部引一条射线，得到的两个锐角之和为90°。即使把两个小角搬到不同位置，度数之和仍保持不变。 平角 在一个平角内部引一条射线，得到的两个角之和为180°。判断这种数量关系并不要求两个角必须相邻。 新知讲授 互为余角的定义 定义 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角（complementary angle）。 条件 两个角必须都是锐角，且度数之和等于90°。“互为”表示彼此之间的关系，不能只说某角“是余角”。 新知讲授 互为补角的定义 定义 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角（supplementary angle）。 条件 判断互补只需确认两个角之和为180°。一锐一钝可能互补，两个直角也互补，不能只根据角的类别下结论。 新知讲授 余角、补角的计算 求余角 锐角α的余角为90°−α。例如35°的余角为55°。所求结果也必须大于0°、小于90°。 求补角 角α的补角为180°−α。例如35°的补角为145°。两种结果分别与原角相加检验。 探究巩固 探究 42°与48°、42°与138°分别有什么关系？ 答：42°与48°互余；42°与138°互补。 42°+48°=90°，且都为锐角。 42°+138°=180°。 课堂练习 课内练习 已知∠1=42°、∠2=138°、∠3=48°，图中有没有互余或互补的角？写出并说明理由。 答：∠1与∠3互余；∠1与∠2互补。 42°+48°=90°，42°+138°=180°。 角的空间位置不影响这两种数量关系。 课堂练习 课内练习 O为直线AB上一点，∠AOC为直角，OD在∠BOC内。图中哪些角互补？哪些角互余？ 答：互补：∠AOC与∠COB、∠AOD与∠DOB；互余：∠COD与∠DOB。 ∠AOC+∠COB=180°，∠AOD+∠DOB=180°。 ∠COB=90°，它被OD分成两个锐角。 课堂练习 课内练习 填空。 （1） ∠α的余角=90°−____。 （2） ∠β的余角=____−∠β。 （1） 答：∠α。 余角与原角相加等于90°。 （2） 答：90°。 减数不同，所减去的总量同为90°。 新知讲授 同角或等角的余角相等 性质 同角或等角的余角相等。 推理 若α=β，则90°−α=90°−β。特别地，同一个角的两个余角都等于90°减去这个角，所以相等。 新知讲授 同角或等角的补角相等 性质 同角或等角的补角相等。 推理 若α=β，则180°−α=180°−β。运用时先找两个角分别是谁的补角，再说明原角相同或相等。 探究巩固 探究 ∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°。∠1、∠2有什么关系？ 答：∠1=∠2。 两角都是∠3的余角，同角的余角相等。 也可从两个等式中同时减去∠3。 探究巩固 探究 ∠A=∠B，∠A与∠C互补，∠B与∠D互补，比较∠C与∠D。 答：∠C=∠D。 ∠C=180°−∠A，∠D=180°−∠B。 等角的补角相等。 例题讲解 例1 已知∠AOC=∠BOD=直角。指出图中还有哪些角相等，并说明理由。 答：∠AOB=∠COD。 ∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°。 ∠AOB与∠COD同为∠BOC的余角，所以相等。 探究巩固 探究 已知∠AOC=∠BOD=90°，∠BOC=37°，求∠AOB与∠COD。 答：两角均为53°。 它们都是37°的余角，90°−37°=53°。 新知讲授 文字中的倍数怎样转成方程 确定未知量 设原角为x度，则余角为（90−x）度，补角为（180−x）度。先写清所讨论的是原角、余角还是补角。 对应倍数 “补角是余角的k倍”表示180−x=k（90−x）。不能把“原角”与“余角”对调，解后还要检查0＜x＜90。 例题讲解 例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。 答：这个角为60°。 设为x度，得180−x=4（90−x）。 解得3x=180，x=60；余角30°、补角120°，满足4倍关系。 课堂练习 课内练习 已知∠α=60°32′，∠α的余角、补角分别是多少度？ 答：余角29°28′，补角119°28′。 90°−60°32′=89°60′−60°32′。 180°−60°32′=179°60′−60°32′。 课堂练习 课内练习 吊桥桥面与铅垂方向所成角α=30°。若要把吊桥放平，吊桥需沿什么方向转动？转动多少度？ 答：沿图示顺时针方向转动60°。 铅垂方向与水平方向成90°，桥面与水平夹角为90°−30°=60°。 按图中支点与桥面位置判断放下方向。 课堂练习 课内练习 求下列角的度数。 （1） ∠α的余角是∠α的2倍。 （2） ∠1的补角是∠1的3倍。 （1） 答：∠α=30°。 设x度，90−x=2x，解得x=30。 （2） 答：∠1=45°。 设x度，180−x=3x，解得x=45。 新知讲授 方向角从南北线量起 表示方法 北偏西30°表示从正北方向向西转30°。北偏东40°表示从正北向东转40°；南偏西50°从正南向西转50°。 固定参照 本课按教材习惯，从南或北方向量起并写清偏向。东南方向就是南偏东45°，不能只报一个度数而省略起始方向。 探究巩固 探究 图中N、E、S、W分别表示北、东、南、西。A、B、C、D依次表示北偏西30°、北偏东40°、南偏西50°、东南方向。说明各自量角的起始边。 O N E S W A B C D 答：A从ON向西量30°；B从ON向东量40°；C从OS向西量50°；D从OS向东量45°。 先认南北方向，再判断偏东还是偏西。 探究巩固 探究 在方向图中分别列出两对互余角和两对互补角。 O N E S W A B C D 答：互余：∠NOA与∠AOW、∠NOB与∠BOE；互补：∠NOA与∠AOS、∠NOB与∠BOS。 北与西、北与东各成直角；北与南构成平角。 同一射线把直角或平角分开，可直接确定两角和。 探究巩固 作业题1 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 一个锐角的补角一定是钝角。 对 180°减去0°与90°之间的数，结果在90°与180°之间。 （2） 两个角互补，则一锐一钝。 错 两个直角也互补。 （3） 一个角余角与补角都存在，则余角比补角小。 对 补角与余角之差恒为90°。 探究巩固 作业题3 已知一个角的补角是它的余角的2.5倍，求这个角的度数。 答：30°。 设x度，180−x=2.5（90−x）。 1.5x=45，x=30；补角150°是余角60°的2.5倍。 探究巩固 探究 一个锐角的余角与补角之差会随原角改变吗？说明理由。 答：不会，补角始终比余角大90°。 设原角α，差为（180°−α）−（90°−α）=90°。 探究巩固 探究 一个锐角的余角与补角之和为210°，求原角。 答：30°。 设x度，（90−x）+（180−x）=210。 270−2x=210，x=30。 新知讲授 把“同角”和“等角”分清 同角 两角都与同一个角互余或互补时，直接利用“同角”的性质。先圈出共同出现的那个角，防止选错比较对象。 等角 两角分别与两个已经相等的角互余或互补时，利用“等角”的性质。写理由时应交代那两个已知角为何相等。 方法归纳 余补关系的两种用途 计算角度 ① 余角用90°减原角，补角用180°减原角。 ② 倍数关系设原角，列式后检验角的范围。 证明相等 ① 找出两角共同或相等的原角。 ② 明确使用余角相等还是补角相等的性质。 课堂总结 余角和补角 互余 两个锐角和为90° 互补 两个角和为180° 计算 余角90°−α；补角180°−α 性质 同角或等角的余角、补角相等 应用 角度计算、倍数方程、方向角 针对训练 训练 下列哪一对角互余？ A.40°与50° B.40°与140° C.90°与90° D.35°与65° 答：A。 两角均锐角且和为90°。 互余须同时满足两个锐角且和为90°。 针对训练 训练 35°20′的余角为____，补角为____。 答：54°40′；144°40′。 向度借1化为60′后相减。 余角用90°减，补角用180°减。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 两个直角互补。 对 90°+90°=180°。 （2） 互余的两个角必须相邻。 错 互余只表示度数之和为90°。 （3） 一个钝角也有余角。 错 本课余角须与原角均为锐角。 互余互补是度数关系，不要求两个角相邻。 针对训练 训练 ∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，∠1=28°，求∠2。 答：28°。 同角的余角相等。 先找出两个角共同的那个余角对象。 针对训练 训练 ∠A=∠B=65°，∠C与∠A互补，∠D与∠B互补，求∠C、∠D。 答：均为115°。 180°−65°=115°，也可用等角补角相等说明。 原角相等，补角可以用相同总量减去等量。 针对训练 训练 一个角的余角是它的3倍，求这个角。 答：22.5°。 90−x=3x，4x=90，x=22.5。 将余角写成90°减原角，再列倍数关系。 针对训练 训练 一个角的补角是其余角的3倍，求这个角。 答：45°。 180−x=3（90−x），2x=90。 先分别表达补角和余角，别把倍数对象颠倒。 针对训练 训练 两个锐角不相等，它们各自的补角与余角之差是否相等？ 答：相等，均为90°。 （180°−α）−（90°−α）=90°，与α的具体度数无关。 写出两种表达式相减，观察原角项的抵消。 针对训练 训练 一块斜板与水平地面成25°，则它与同一平面内的竖直方向所成锐角是多少？ O H V A 25° 65° 答：65°。 水平与竖直成90°，所求角与25°互余。 水平与竖直构成直角，所求为已知角的余角。 针对训练 训练 一条路线为北偏东35°，它与正东方向所成锐角是多少？与正南方向所成的较小角是多少？ O N E S A 35° 答：55°；145°。 北与东成90°，故90°−35°=55°。 北与南相反，故180°−35°=145°。 先认正北、正东、正南的直角与平角关系。 方法归纳 由关系求角、由关系证等 求值与建模 ① 先区分90°总量与180°总量。 ② 倍数或和差题可设原角列方程，解后检验。 性质与方向 ① 确认两角是同角或等角的余角或补角。 ② 方向角先确定南北起始边，再用直角平角求差。 $