6.5 角与角的度量（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第6章　图形的初步知识 6.5 角与角的度量（第1课时） 角的表示与度分秒 数学新教材浙教版　七年级上册 新知讲授 打开纸扇，研究张开程度 观察 纸扇开合时，扇骨之间的张开程度不断变化。用两侧扇骨所在的射线表示边，以两侧相交的位置表示顶点。 问题 角由哪些基本图形组成？怎样给角命名、怎样测量，才能准确交流纸扇张开的程度？ 新知讲授 角的组成 定义 角（angle）是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫作这个角的顶点（vertex）。 要素 两条射线是角的两边，公共端点是顶点。边上画出的有限线条只是射线的一部分，角的大小与画出的边长无关。 O A B 探究巩固 探究 在图中指出角的顶点、两边，并说明边上A、B两个点是否是角的顶点。 O A B 答：顶点是O；两边是射线OA与OB；A、B不是顶点。 顶点必须是两边的公共端点。 新知讲授 用三个大写字母表示角 规则 角用符号“∠”表示，读作“角”。用三个大写字母表示时，中间字母是顶点，前后两个字母分别在两边上。 示范 顶点为B、两边经过A与C的角可记为∠ABC或∠CBA。交换边上的两个字母不改变这个角。 新知讲授 数字、希腊字母和单个顶点 其他名称 角可以用数字或希腊字母表示，如∠1、∠α、∠β。若同一顶点只有一个需要表示的角，可用顶点字母表示。 避免混淆 当同一顶点处有多个角时，不能只写∠O。用三字母名称，或在角内部添加明确的数字、希腊字母标记。 探究巩固 做一做 将图中的角用不同的方法表示，并填入表中。 D A C E B β 2 α 1 3 （1） 答：∠1=∠BCE；∠ACB=∠α；∠BAC=∠2。 辨认数字或字母落在哪两条角边之间。 探究巩固 做一做 将图中的角用不同的方法表示，并填入表中。 D A C E B β 2 α 1 3 （2） 答：∠β=∠DAB；∠ABC=∠3。 三字母名称的中间字母必须是顶点。 探究巩固 探究 同一顶点O引出OA、OB、OC三条射线，OB在∠AOC内部。能用∠O唯一表示∠AOB吗？ 答：不能，应写∠AOB或给该角一个明确编号。 同一顶点处有多个角，单写∠O会产生混淆。 新知讲授 角也可以由旋转形成 定义 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（图6-29）。起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。 生活例子 时针转动、门扇绕门轴转动可帮助理解角的形成。讨论旋转角时要先说明从何处开始、旋转到何处停止。 新知讲授 平角和周角 定义 如果图6-29中的终边继续旋转，旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图6-30。 度数 一个平角等于180°，一个周角等于360°。平角转了半周，周角转了一整周。 探究巩固 探究 时针从午夜零时转到早上6时，转过多少度？从午夜零时到中午12时呢？ 答：分别转过180°、360°，形成平角、周角。 时针12小时转一周，6小时转半周。 新知讲授 度：角的基本度量单位 度的意义 把周角等分为360份，每一份就是1°的角。 估计和测量 平角为180°，量角器把平角等分成180个1°的角。先估计在90°哪一侧，再从对应零刻度的一圈读数，避免把锐角误读成钝角。 新知讲授 用量角器测量角 两重合 量角器中心与角顶点重合，零刻度线与角的一边重合。读另一边对应刻度，选用从该零刻度开始增加的一圈。 再核对 先估后量，检查测量结果与张开程度是否一致。边画得短时可沿原方向适当延长，角度不会随边长改变。 探究巩固 探究 一个明显小于直角的角，小明读成130°，小红读成50°。若两人读的是同一点的内外两圈刻度，谁的结果合理？ 答：小红的50°合理。 小于直角的角应小于90°。 应从与角边重合的零刻度起读，不能任意选圈。 新知讲授 量角器对齐：图上的两重合 中心对顶点 图中的量角器中心是底边中点的小标记。测量∠A时，把该中心移到A，使零刻度线与角的水平右边重合。 从哪圈读 由水平右边出发，读取从右端0°开始的一圈。测量∠B也先对齐顶点B及水平右边，再读另一边；不能沿用上一题的顶点位置。 探究巩固 测量示范 先估计图中∠A与∠B的度数，再用量角器测量，说明读数所依据的零刻度。 （1） ∠A。 （2） ∠B。 （1） 答：约55°。 中心对A，右端0°线对水平角边，从右端0°起读另一边。 （2） 答：约94°。 中心对B，零线仍沿水平右边，另一边稍偏过90°，需读钝角刻度。 新知讲授 分与秒的意义 定义 把1°的角等分成60份，每一份就是1分，记作1′；而把1分的角再等分成60份，每一份就是1秒，记作1″，即，；，。度、分、秒是角的基本度量单位。 进率 度到分、分到秒的进率都是60，因此1°=60′，1′=60″，1°=3600″。这里的“分、秒”是角度单位。 新知讲授 大单位化小单位要乘进率 化分 例如。若得到的分仍有小数，应只把分的小数部分继续化成秒。 化秒 例如。不要把整数度或整数分一起重复乘60，记录时保留单位。 例题讲解 例1 用度、分、秒表示48.32°。 答：48°19′12″。 0.32°×60=19.2′，保留19′。 0.2′×60=12″，所以48.32°=48°19′12″。 探究巩固 探究 把72.45°化为度、分、秒。 答：72°27′0″。 0.45°×60=27′，没有剩余的小数分。 可写为72°27′，按三种单位形式也可写72°27′0″。 新知讲授 小单位化大单位要除进率 化度 1′=1/60度，1″=1/3600度。把度、分、秒分别换成度再相加，注意分母对应的进率。 合理检验 例如20°30′应大于20°而小于21°。30′是半度，所以结果为20.5°，不能写成20.30°。 例题讲解 例2 用度表示30°9′36″。 答：30.16°。 36″÷60=0.6′，所以9′36″=9.6′。 9.6′÷60=0.16°，故原角为30.16°。 探究巩固 探究 将85°24′化为度。 答：85.4°。 24′÷60=0.4°，再与85°相加。 新知讲授 度分秒加减：满60进1 加法 同单位对齐相加，秒满60向分进1，分满60向度进1。例如20°45′+10°30′=31°15′。 减法 同单位相减，不够减就向高一位借1，化成低一位的60。例如50°−18°25′=49°60′−18°25′=31°35′。 例题讲解 例3 计算180°−（45°17′+52°57′）。 答：81°46′。 括号内相加得97°74′=98°14′。 180°=179°60′，相减得81°46′。 课堂练习 课内练习 图中有几个角？请用适当的方式把它们表示出来。 答：有3个角：∠AOC（∠α）、∠COB（∠1）、∠AOB。 从同一顶点的三条射线中，每取两条形成一个角。 整个角∠AOB不能遗漏，∠O不能唯一表示。 课堂练习 课内练习 把下列角度化成度、分、秒的形式。 （1） 121.38°。 （2） 度。 （1） 答：121°22′48″。 0.38×60=22.8，0.8×60=48。 （2） 答：10°45′0″。 小数部分为0.75度，乘60得45分。 课堂练习 课内练习 把下列角度化成度的形式。 （1） 50°40′30″。 （2） 118°20′42″。 （1） 答：50.675°。 40/60+30/3600=0.675，再加50。 （2） 答：118.345°。 20/60+42/3600=0.345，再加118。 课堂练习 课内练习 计算。 （1） 37°49′+44°28′。 （2） 108°18′−56.5°。 （1） 答：82°17′。 81°77′进位为82°17′。 （2） 答：51°48′。 56.5°=56°30′，108°18′=107°78′。 探究巩固 探究 12.30°与12°30′是否相等？若不相等，哪个较大？ 答：不相等，12.30°＜12°30′。 12.30°=12°18′，而12°30′=12.5°。 小数度是十进制写法，度与分的进率是60。 探究巩固 作业题4 计算。 （1） 89°35′+20°25′，结果用度、分、秒表示。 （2） 123°24′−60°36′，结果用度表示。 （1） 答：110°0′0″。 109°60′=110°，无剩余分秒。 （2） 答：62.8°。 122°84′−60°36′=62°48′=62.8°。 方法归纳 角的表示与度量 准确表示 ① 三字母表示时顶点写在中间。 ② 同一顶点有多角时，避免只写一个字母。 单位换算 ① 向小单位乘60，向大单位除60。 ② 度分秒加减同位对齐，按60进退位。 课堂总结 角与角的度量 组成 两条有公共端点的射线；端点为顶点 表示 三字母、数字、希腊字母或不混淆的顶点 特殊角 平角180°，周角360° 测量 中心与顶点、零线与边重合 运算 度分秒进率60，逐级换算与进退位 针对训练 训练 ∠ABC的顶点是（　）。 A.A　B.B　C.C　D.不能确定 答：B。 三字母表示角时，中间字母表示顶点。 三字母角名中间的字母表示顶点。 针对训练 训练 1°=____′=____″，1周角=____°，1平角=____°。 答：60，3600，360，180。 两次乘60可把度化为秒。 度到分、分到秒的进率均为60。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 角的边画得越长，角越大。 错 角的大小取决于两边张开程度。 （2） 同一角可写∠ABC或∠CBA。 对 顶点B和两边不变。 （3） 0.6°就是6′。 错 0.6×60=36，故为36′。 角度看张开程度，小数度不能直接当作分。 针对训练 训练 把36.72°化为度、分、秒。 答：36°43′12″。 0.72×60=43.2；0.2×60=12。 只把度的小数部分化成分，再把分的小数部分化成秒。 针对训练 训练 把14°18′36″化为度。 答：14.31°。 18/60+36/3600=0.31。 分除以60、秒除以3600后与整数度相加。 针对训练 训练 计算28°46′+35°38′。 答：64°24′。 63°84′=64°24′，满60′进1°。 度、分分别相加，分满60向度进1。 针对训练 训练 计算90°−47°28′。 答：42°32′。 90°=89°60′，同位相减。 不足减时向度借1，化成60分。 针对训练 训练 计算。 答：32°48′。 75.5°=75°30′；括号内为42°42′。 74°90′−42°42′=32°48′。 先将小数度换为度分，再算括号内的和。 针对训练 训练 一根指针每分钟匀速转6°。从初始位置起转过7.5分钟，共转过多少度？用度、分表示。 答：45°0′。 6×7.5=45，转角为45°。 题目研究累计旋转量，而不是两次位置间的反向小角。 用每分钟转角乘时间，注意累计转动量。 针对训练 训练 相机镜头先向右转24°36′，又同向转15°48′，累计向右转多少度？若需调回原方向，应反向转多少？ 答：累计40°24′；调回应向左转40°24′。 24°36′+15°48′=39°84′=40°24′。 两次同方向转角相加，再按60进位。 方法归纳 把角表示清楚、算得准确 读图与测量 ① 先找公共端点，再确定两边。 ② 量角器中心、零线对齐，从对应零刻度读数。 换算与运算 ① 小数部分逐级乘60，大单位保留。 ② 同单位对齐，不够减向高一位借1化60。 $