5.1 认识方程（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第5章　一元一次方程 5.1 认识方程（第1课时） 方程及其解 数学新教材浙教版　七年级上册 新知讲授 高铁提速后，时间怎样变化 提出问题 上海到北京高铁速度从250千米/时提高到350千米/时，运行时间可缩短49分钟。怎样表示提高速度后所需时间？ 寻找不变 同一起点、终点的路程相同。可用字母表示未知的运行时间，将提高速度前后的路程表示出来，再写等式。 新知讲授 从算术问题走向含未知数的等式 回顾 已经知道总价=单价×数量、路程=速度×时间。若其中一个量不知道，可以先用字母表示，再把数量关系写完整。 任务 列式时既要包含未知量，也要找到相等关系。单独写一个含字母的代数式，还没有表达“两个量相等”。 探究巩固 合作学习 小明购买m瓶单价3元的水，比购买n支单价7元的笔多花6元。列出用字母表示未知数的等式。 答：。 水的费用为，笔的费用为。 “水比笔多6元”表示水的费用等于笔的费用加6元。 探究巩固 合作学习 一个面积为15的长方形分成一个正方形和一个宽为2的长方形。设正方形边长为a，列出等式。 答：，也可写。 两个小图形面积分别为与。 整体面积等于两部分面积之和。 探究巩固 合作学习 小强、小杰、小明每人投20次。小强投进10个，小杰比小明多投进2个，三人平均每人投进14个。设小明投进x个，列等式。 答：，即。 小杰投进个，三人总数为。 平均数等于总数除以3，注意不是只对两人取平均。 新知讲授 什么是方程 定义 像这样含有未知数的等式叫作方程（equation）。 两个要点 既是等式，又含有未知数。例如、都符合；代数式没有等号，不能叫方程。 新知讲授 未知数可以有一个或多个 单个未知数 只有未知数a；虽然x出现两次，仍只有一个未知数。按字母种类计数，而非按出现次数。 多个未知数 含未知数m与n，含x与y。方程概念不限制未知数只有一个，也不限制最高次数为一次。 探究巩固 做一做 下列各式中，哪些是方程？如果是，指出未知数。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （5） 。 （1） 答：是；未知数a。 含未知数且是等式。 （2） 答：不是方程。 符号≠表达不相等，不是等式。 探究巩固 做一做 下列各式中，哪些是方程？如果是，指出未知数。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 是；未知数x、y。 允许含多个未知数。 （4） 。 不是方程。 虽然是等式，但不含未知数。 （5） 。 是方程，未知数为x、m。 含未知数x、m的等式，且须x≠−3。 新知讲授 识别未知数与已知常量 看所表示的量 在中，x表示待求的数，3和7是已知数。字母是未知数的常见表示，但判断依据是题目赋予它的角色。 看等号 同样的若没有等号，只是代数式；写成才表示一个可检验的相等关系。 新知讲授 方程的解 定义 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 检验办法 把给定值代入方程左右两边，分别计算。若有意义且结果相等，它就是解；不相等则不是解。 例题讲解 示例 判断是不是方程的解。 答：是。 左边，右边=15。 左右两边相等，所以是该方程的一个解。 探究巩固 想一想 判断与是不是的解。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：是方程的解。 左边。 （2） 答：不是方程的解。 左边。 新知讲授 代数结论与实际意义 在方程中 使成立，因此是方程的解。判定代数上的解，只检查等式两边是否相等。 在几何情境中 a表示正方形边长时必须为正，负值不能作为实际边长。方程的解还要结合原问题的范围判断是否有实际意义。 例题讲解 示例 判断、这一对数是不是方程的解。 答：是这一方程的一个解。 左边，等于右边。 有两个未知数时需同时代入给定的一对数。 探究巩固 做一做 判断下列x的值是不是方程的解。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：不是。 左边0，右边6，不相等。 （2） 答：是。 左边2，右边2，相等。 新知讲授 尝试检验前先缩小范围 确定范围 投篮问题中，小明与小杰相差2个，平均数和小强成绩约束未知值。由题意可先把x的候选值限制在12与18之间的整数。 逐个试值 按从小到大顺序代入，记录结果并和14比较。每次试值都使用同一个表达式，不能随意改变关系或平均人数。 例题讲解 示例 方程中，依次取，哪一个能使左右两边相等？ x 13 14 15 16 17 左边 38/3 40/3 14 44/3 46/3 答：。 对应左边依次为、、14、、。 只有x=15时左边等于14，所以它是一个解。 探究巩固 探究 小明投进15个后，小杰投进多少个？怎样检验三人平均每人14个？ 答：小杰17个；三人平均个。 小杰比小明多2个，且17不超过每人投20次的限制。 课堂练习 课内练习 一个数的平方正好比这个数的3倍大4，求这个数。设这个数是x，列出方程。 答：。 一个数的平方为，3倍为。 “平方比3倍大4”表示平方=3倍+4。 课堂练习 课内练习 判断下列t的值是不是方程的解。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：不是。 左边−3，右边9，不相等。 （2） 答：是。 左边5，右边5，相等。 课堂练习 课内练习 高铁速度由250千米/时提高到350千米/时，运行时间缩短49分钟。设提高速度后从上海到北京需t小时，列方程。 答：。 原时间为小时，两次行程的路程相同。 49分钟需先化成小时，才能与千米/时配合。 探究巩固 作业题2 判断下列x的值是不是方程的解。 （1） 。 是。 两边均为1。 （2） 。 不是 左边4，右边7。 （3） 。 是 两边均为9。 探究巩固 作业题3 天平左边放3个乒乓球，右边放5.7克砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡。设1个乒乓球质量为x克，列方程。 答：。 左边总质量为3x克，右边为5.7+x克。 天平平衡表示两侧质量相等。 探究巩固 作业题4 填写表格，并说出方程的解。 答：。 x依次为−1、0、1、4/3、5/3、2、7/3时，4x−5依次为−9、−5、−1、1/3、5/3、3、13/3。 只有x=5/3时表中上下两值相同。 探究巩固 作业题5 如果是方程的解，a是多少？ 答：。 把x=1代入，得。 代入后未知量只剩a，必须让等式成立。 探究巩固 探究 写出一个以为解的方程，并用代入检验。 答：例如。 左边2+3=5，与右边相等。 答案不唯一，但必须确实含未知数且检验成立。 新知讲授 列方程与检验形成闭环 列式 用字母表示所求未知量，找出两个相等的量，分别列出表达式，再用等号连接；最后检查单位与数量范围。 检验 给定候选值后，两边分别计算，写“左边=右边”或“左边≠右边”，再下结论。不能只凭计算结果好看就认定是解。 方法归纳 从实际语言走向方程 表示与列式 ① 先说清字母表示哪个量及其单位。 ② 把“相等、多、少、平均”等关系变成等量关系。 尝试与检验 ① 在合理范围内有序试值，不遗漏候选数。 ② 分别计算两边，代数成立后再检查实际意义。 课堂总结 认识方程 方程 含有未知数的等式 未知数 可为一个或多个，按字母种类认定 方程的解 使左右两边相等的未知数的值 检验 分别代入计算，比较左右两边 建模 找等量关系，统一单位与实际范围 针对训练 训练 下列是方程的是（　）。 A.　B. C.　D. 答：C。 同时具备等式与未知数两个条件。 先看是否等式，再看是否含未知数。 针对训练 训练 一个数的2倍比7少3，设该数为x，列方程____。 答：，或。 2倍是较小量，加3才等于7。 “比7少3”表示较小量加3等于7。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 所有等式都是方程。 错 还须含未知数。 （2） 方程可以有两个未知数。 对 方程定义未限定未知数个数。 （3） 代入后两边相等的值就是解。 对 还需代入使原式有意义。 方程的两个定义条件和解的代入条件分别检查。 针对训练 训练 判断是不是的解。 答：是。 左边3×（−2）+1=−5，等于右边。 把负数带括号代入，两边分别计算。 针对训练 训练 判断、是否为的解。 答：x=2不是，x=3是。 代入x=2得4≠6；代入x=3得9=9。 平方与二倍运算分清，再比较两边。 针对训练 训练 写出一个以为解且两边都含x的方程。 答：例如。 代入x=−1，两边都为−1。 可先选两边都含x的简单式，再代入指定值检验。 针对训练 训练 若是的解，求a。 答：。 代入得3a=12，由乘法关系知a=4。 把已知解代入后，未知量只剩参数a。 针对训练 训练 在1、2、3、4中，找出方程的解。 答：。 左边依次为5、7、9、11；只有3使左边等于9。 按给定四个候选值有序代入，不跳过中间数。 针对训练 训练 买x本每本4元的笔记本和一支3元的笔，共花23元。列方程，并检验x=5是否符合。 答：；x=5符合。 代入得4×5+3=23，且本数5是正整数。 总价等于笔记本费用与一支笔费用之和。 针对训练 训练 小宁以每分钟60米步行到720米外的图书馆，设需t分钟。列方程，并检验t=12。 答：；t=12符合。 路程=速度×时间，60×12=720。 时间为正数，与实际情境一致。 路程、速度、时间单位应相互匹配。 方法归纳 列方程与检验解 建立方程 ① 设量并标单位，分别表示相等的两个量。 ② 用等号连接，检查“多、少、平均”等关键词。 判断解 ① 给定值同时代入两边，分别计算。 ② 等式成立后，再结合原情境检查取值范围。 $