5.5 一元一次方程的应用（第4课时）课件 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

第5章　一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用（第4课时） 利润、增长与方案 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 先提价再优惠，利润怎样求 问题 商品先按进价提高一定百分比标价，再减去固定金额销售。售价并不是直接用进价减去优惠金额，而要先完成标价的计算。 关系 毛利润是售价减进价。本课题设中的毛利率，是毛利润占售价的比；如果题目改为“利润占进价的比例”，基准就不同，不能混用。 情境引入 两组人数相加为何会多算 观察 文学社与书画社都参加的同学，在两个社的人数中各出现一次。把两个社人数直接相加，会把重叠的同学计算两次。 关系 至少参加一个社的人数书画社人数文学社人数两社都参加人数。减去一次重叠后，所有参加者恰好被计数一次。 情境引入 方程的根也可能揭示条件冲突 思考 人数问题解出时，不能四舍五入为就作答。代数运算可能完全正确，但给定条件不能对应一个实际整数人数分配。 应用 解方程既可以求未知量，也可检验一组条件是否相容。应根据问题要求报告“没有符合实际条件的解”，并解释哪个条件无法满足。 新知讲授 进价、标价、售价和毛利润 区分 进价为购入成本，标价为标出的价格，售价为实际成交价格，毛利润为售价减进价。先写出各量之间的关系，再选择未知数。 本题毛利率 题给毛利率以售价为基准，所以“售价毛利率售价进价”。不能把进价乘毛利率直接当作毛利润。 新知讲授 连续变化要看每次基准 先提高 进价为，按进价提高，标价为。再优惠元，售价为。 再打折 若不是减15元而是按标价打八折，售价应为。固定金额与百分比变化不同，式子结构也不同。 新知讲授 重叠图中的三个区域 区域 两个相交圆可分为只参加书画、两社都参加、只参加文学三个不重叠区域。三块人数之和才是至少参加一个社的总数。 读图 每个社的总人数包括公共区域。“参加书画社”不等于“只参加书画社”，列式前应明确题目是否带有“只”字。 新知讲授 由总数和相差数表示人数 设元 若参加书画社有人，文学社比书画社多人，则文学社为人。即使两个社有重叠，这条人数差关系仍然成立。 结合 再用去重关系，其中为两社都参加人数，为至少参加一个社的总人数。解出后检查各区域人数是否非负整数。 新知讲授 先把文字转成一条相等关系 策略 复杂题往往有多个未知量。可以先把其中一个量设为，用已有的单价、倍数、差与百分率关系表示其他量，再寻找最后一条相等关系。 例子 销售问题用售价与成本的差连接毛利润；人数问题用两个社总人数减去重叠连接班级参与总人数。不同情境用到的是同一种建模过程。 例题讲解 例 7 某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率（毛利率为售价与进价之差占售价的比）。销售一副该款耳机所得毛利润为多少元？ 答：设进价为元，标价为元，售价为元。 毛利润为元。 又等于售价的，可将这两种表达设为相等。 毛利率的分母是售价，这是本题的关键基准。 例题讲解 例 7 某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率（毛利率为售价与进价之差占售价的比）。销售一副该款耳机所得毛利润为多少元？ 答：进价为元。 列。 化为，得，所以。 括号右侧20%要乘整个售价，包括优惠的15元。 例题讲解 例 7 某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠元销售，能获得的毛利率（毛利率为售价与进价之差占售价的比）。销售一副该款耳机所得毛利润为多少元？ 答：毛利润为元。 售价元，毛利润元。 检验，且先加价再优惠的过程均符合条件。 问题问毛利润，不能把求得的进价300元直接作最终答案。 例题讲解 例 8 七年级二班有人报名参加文学社或书画社。参加文学社的人数比参加书画社人数多人，两社都参加的有人。参加书画社的有多少人？ 答：设书画社人，文学社人。 两社总人数直接相加时，20名两社都参加者被计了两次。 因此列。 总人数45表示至少参加一个社，不是两社人数直接之和。 例题讲解 例 8 七年级二班有人报名参加文学社或书画社。参加文学社的人数比参加书画社人数多人，两社都参加的有人。参加书画社的有多少人？ 答：书画社人，文学社人。 ，得。 检验，且文学社比书画社多5人。 同时核对去重总数和两社人数差。 例题讲解 想一想 七年级二班有人报名参加文学社或书画社。参加文学社的人数比参加书画社人数多人，两社都参加的有人。只参加书画社、只参加文学社的各有多少人？ 答：只参加书画社人，只参加文学社人。 书画社总数减重叠为。 文学社总数减重叠为；三块。 “只参加”对应去掉公共部分的单侧区域。 课堂练习 课内练习 1 一件商品按进价提高后标价，又以八折销售，售价为元。这件商品的进价是多少元？ 答：设进价为元，列。 先提高30%得到标价。 八折以标价为基准，实际售价为。 两个百分数不能直接相减，要按先后关系相乘。 课堂练习 课内练习 1 一件商品按进价提高后标价，又以八折销售，售价为元。这件商品的进价是多少元？ 答：进价为元。 ，得。 标价元，八折元，符合条件。 用原来的提价与打折过程验证售价。 课堂练习 课内练习 2 如果把例8条件“两社都参加的有20人”改为“两社都参加的有23人”，其余条件保持：共45人，文学社比书画社多5人，那么结果怎样？ 答：方程为，解得。 合并得。 解得，文学社为人。 先如实解方程，再判断根能否作为人数。 课堂练习 课内练习 2 如果把例8条件“两社都参加的有20人”改为“两社都参加的有23人”，其余条件保持：共45人，文学社比书画社多5人，那么结果怎样？ 答：这组条件无法对应实际整数人数。 书画社人数解为，不符合人数为整数的实际条件。 不能四舍五入，否则将破坏45人总数或5人人数差。 实际问题无合适解时，说明条件冲突比强行取整更重要。 课堂练习 作业题 3 某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会或都不会的人数都是5人。求只会下围棋的人数。 答：至少会一种棋的有人。设会围棋人，则会象棋人。 45人中5人都不会，参与并集为。 两种都会5人，所以。 并集总数要先排除都不会的人，再处理公共部分。 课堂练习 作业题 3 某班有学生45人，会下象棋的人数是会下围棋人数的3.5倍，两种棋都会或都不会的人数都是5人。求只会下围棋的人数。 答：只会下围棋的有人。 ，得会围棋人。 只会围棋人；会象棋35人，去重后共40人。 会围棋总人数还包括两种都会者，最后再减去5人。 新知讲授 解决问题的四个基本步骤 理解与计划 理解问题：弄清意思、术语与条件要求。制订计划：在理解的基础上，运用知识和方法拟订解决问题的思路和方案。 执行与反思 执行计划：按计划实施，包括建立模型、求解。回顾反思：检查答案是否符合实际，改进原解法，尝试其他方法或作适当拓展。 新知讲授 阶梯电价的计费模型 给定模型 非夏季前200千瓦时每单位0.59元，随后200千瓦时每单位0.64元，超过400的部分每单位0.89元；夏季前两档界限改为260、600千瓦时。 正确理解 每档只对处于该档的用电量收费，再把三段费用相加。不能因为总用电量进入第三档，就把全部用电量都按第三档单价收费。 例题讲解 阅读应用 给定阶梯电价：非夏季前200千瓦时0.59元/千瓦时，201至400部分0.64元，超400部分0.89元；夏季前260千瓦时0.59元，261至600部分0.64元，超600部分0.89元。用户4月用600千瓦时。（1）阶梯电费比全部按0.59元计多多少？（2）同样电费，6月可多用多少千瓦时（精确到0.01）？ 答：非夏季阶梯电费元。 分段用量为200、200、200千瓦时。 电费元。 按每档的部分用量分别计费，不按总量套最高档。 例题讲解 阅读应用 给定阶梯电价：非夏季前200千瓦时0.59元/千瓦时，201至400部分0.64元，超400部分0.89元；夏季前260千瓦时0.59元，261至600部分0.64元，超600部分0.89元。用户4月用600千瓦时。（1）阶梯电费比全部按0.59元计多多少？（2）同样电费，6月可多用多少千瓦时（精确到0.01）？ 答：多付元。 全部按第一档价计为元。 阶梯电费与它的差为元。 比较的是同一600千瓦时在两种计费方式下的费用。 例题讲解 阅读应用 给定阶梯电价：非夏季前200千瓦时0.59元/千瓦时，201至400部分0.64元，超400部分0.89元；夏季前260千瓦时0.59元，261至600部分0.64元，超600部分0.89元。用户4月用600千瓦时。（1）阶梯电费比全部按0.59元计多多少？（2）同样电费，6月可多用多少千瓦时（精确到0.01）？ 答：设六月可多用千瓦时，列。 六月用600千瓦时，前两档费用为元。 新增均在600以上，按每单位0.89元计费。 六月600千瓦时刚好用完前两档，新增部分全部属于第三档。 例题讲解 阅读应用 给定阶梯电价：非夏季前200千瓦时0.59元/千瓦时，201至400部分0.64元，超400部分0.89元；夏季前260千瓦时0.59元，261至600部分0.64元，超600部分0.89元。用户4月用600千瓦时。（1）阶梯电费比全部按0.59元计多多少？（2）同样电费，6月可多用多少千瓦时（精确到0.01）？ 答：六月可多用约千瓦时。 ，得。 检查新增为正，总量超过600，第三档假设成立；将准确值代回两边费用相同。 先检查分档假设，再按要求保留两位小数。 新知讲授 同用电量时电费差是否固定 举例 同为100千瓦时，两种标准都按第一档计费，费用同为59元，差额为0。同为600千瓦时，夏季费用为371元，非夏季为424元，差额53元。 结论 因此相同用电量在夏季与非夏季的费用差，不是对所有用电量都固定。是否进入各档、每档占多少用量，都会影响总费用。 方法归纳 选择适当的模型 利润问题看基准 ① 加价、打折、毛利率各自对应不同基准。 ② 先用一个未知量表示价格链，再用利润关系列等式。 重叠问题看区域 ① 区分只参加、一社总数、两者都参加和并集。 ② 先去重再列总人数，解后检查整数与非负条件。 课堂总结 利润、重叠计数与方案 价格链 进价→标价→售价→毛利润 百分比 明确每个变化率和毛利率的基准 去重 两组人数之和减公共部分等于并集 分段 各段量乘各段单价后相加 反思 检查方程根、单位、整数和分段假设 针对训练 训练 题给毛利率为毛利润占售价的比。进价80元、售价100元，毛利润与毛利率为：A.20元、25%　B.20元、20%　C.80元、80%。 答：B 毛利润为元。 毛利率为，不是除以进价80。 比率的分母要按题给定义，不能凭习惯选择。 针对训练 训练 进价元，提价20%后再按九折出售，售价为____；若售价216元，则进价为____元。 答：；。 售价。 列，得。 提高和打折依次相乘，两个变化率不直接相减。 针对训练 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 打八折就是比标价减少80%。 错误 打八折后为标价的80%，减少20%。 （2） 重叠人数应在两组人数和中减去一次。 正确 它在相加时被重复计数一次。 （3） 人数解出31.5时可以直接四舍五入。 错误 取整会破坏原等量关系。 （4） 阶梯收费应对各段用量分别计价。 正确 不把全部用量都按最后一档收费。 针对训练 作业题 1 小明存入一笔零用钱一年，题给年利率1.75%。到期取出后买2套单价325元的书，还余1385元。原存款多少元？ 答：元。 取出总金额元。 设本金元，列，解得。 利率按题给情境使用，本息合计等于买书费用加结余。 针对训练 作业题 2 衣服进价399元、标价600元，打折出售后毛利率为5%（按售价为基准），这件衣服打几折？ 答：七折。 设售价元，列，得。 ，即七折。 先由售价基准的毛利率求售价，再与标价比较求折扣。 针对训练 作业题 4 列举可由求解的实际问题，并给出答案。 答：例：商品按原价七五折后售价112.5元，求原价；原价150元。 售价是原价的75%，关系与所给方程一致。 解，得元。 编题要让25%确实是减少比例，112.5为减少后的量。 针对训练 训练 两个社团共有至少参加一个社的学生52人，甲社人数比乙社多8人，两社都参加12人，求甲、乙社人数。 答：甲36人，乙28人。 设乙人，列。 解得，甲36；检验。 至少参加一个社是去重后的总数，不是两个社人数之和。 针对训练 训练 模拟计费：前10单位每单位2元，超出部分每单位3元。某次费用41元，用了多少单位？ 答：单位。 10单位费用20元，41元超过它，故进入第二档。 设超出单位，列，得；总量17。 先判断进入哪一档，再把未知量设为超出量可以简化方程。 针对训练 作业题 5 两种计算器售价均为64元，第一种毛利润为进货价的60%，第二种亏损为进货价的20%。各卖1台，整体盈亏如何？ 答：盈利8元。 第一台进价为元；第二台进价为元。 总售价128元，总成本120元，盈利8元。 本题百分比明确以进货价为基准，不同于前例的售价毛利率。 针对训练 训练 某班40人至少参加篮球或足球一项，篮球比足球多6人，两项都参加10人。求只参加篮球与只参加足球的人数。 答：只篮球18人，只足球12人。 设足球人，列，得，篮球28。 只足球，只篮球；三块人数。 先求社团总人数，再减共同部分得到“只参加”。 方法归纳 方法总结 把复杂关系化成一个未知量 ① 列清价格链与每个比率的分母。 ② 重叠人数按不重叠区域计数，分段费用分别计算。 ③ 先用文字写等量关系，再替换为代数式。 把检验用于判断模型是否成立 ① 根代回方程，还要核对原情境条件。 ② 人数须为整数，分档计算须落在对应范围。 ③ 答案不合实际时说明矛盾，不能随意取整或改条件。 $