5.3 一元一次方程和它的解（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第5章　一元一次方程 5.3 一元一次方程和它的解（第1课时） 一元一次方程及检验 数学新教材浙教版　七年级上册 新知讲授 潜水深度与水压的关系 问题 教材采用水深每增加10米、水压约增加1个大气压的模型。已知水压变化时，可以用字母表示继续下潜的深度，再写等量关系。 本课目标 在生活问题中认识一类常见方程，明确“一元”“一次”“整式”三个判断条件，利用等式性质求解并检验。 探究巩固 合作学习 一件衣服按八折销售，售价为120元，原价是多少？设原价x元，列方程。 答：。 八折表示售价为原价的80%，所以售价=原价×0.8。 未知数为x，出现的次数是一次。 探究巩固 合作学习 王老师和小明相差18岁，6年后王老师年龄正好是小明的2倍。设小明今年y岁，列方程。 答：。 王老师6年后为y+18+6，小明6年后为y+6。 应比较同一时间两人的年龄。 探究巩固 合作学习 “奋斗者”号下潜至7000米时水压约700个大气压，每再下潜10米水压约增加1个大气压。水压增至850时又下潜多少米？设又下潜x米，列方程。 答：。 x米对应增加x/10个大气压。 初始水压加增加的水压等于最后水压。 新知讲授 一元一次方程的定义 定义 方程，，，都只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程（linear equation in one unknown）。 要点 “一元”指一种未知数；“一次”指未知数的次数；两边都是整式，分母中不能含未知数。 新知讲授 一元不等于只出现一次 一个未知数 方程中x出现两次，但只含一种未知数，仍是“一元”。方程含两种未知数，不是一元。 字母名称 未知数可以用x、y、a、t等表示，字母不同不改变方程类别。判定要看未知数个数，而非是否恰好叫x。 新知讲授 一次与整式两个条件 一次 未知数的次数是1；含二次项，所以不符合。次数应依据未知数在各项中的指数判断。 整式 分母为非零常数不妨碍整式，如；分母含未知数的不是整式，不能误判为一元一次方程。 探究巩固 做一做 下列方程中，哪些是一元一次方程？ （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （5） 。 （1） 答：是。 一元、一次，两边都是整式。 （2） 答：不是。 含未知数二次项。 探究巩固 做一做 下列方程中，哪些是一元一次方程？ （1） 。 （2） 。 （3） 。 不是 含三个未知数。 （4） 。 是 虽然a出现两次，但仅一种未知数。 （5） 。 不是 左边分母中含未知数x，不是整式。 判断“一次”前还须检查两边是否都是整式。 探究巩固 探究 写出一个未知数为t、解为−2的一元一次方程，并验证。 答：例如。 一元、一次且两边整式；两边同减1得3t=−6，再同除以3。 代入t=−2，两边都为−5，符合指定解。 新知讲授 解、根和解方程 定义 能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。求方程的解的过程称为解方程。 区别 “解”或“根”是满足方程的值，“解方程”是求这个值的过程。两者不能混写为同一个数学对象。 探究巩固 做一做 判断下列x的值是不是方程的解。 （1） 。 不是。 左边1，不等于5。 （2） 。 是 左边5，等于右边。 （3） 。 不是 左边−5，不等于5。 新知讲授 解方程的变形目标 目标形式 利用等式性质逐步变形，最终得到，其中a为已知数。每一步都应保持等式成立，不靠随意试写符号。 处理顺序 先通过同加、同减消去一边的未知项或常数项，再把未知数系数化为1。操作的选择以尽快隔离未知数为目的。 例题讲解 例 利用等式的性质解。 答：。 两边同减4x，得。 合并同类项，得到x=50。 例题讲解 例 检验是否为的解。 答：检验成立，x=50是解。 左边=5×50=250。 右边=50+4×50=250；左右两边相等。 例题讲解 例 利用等式的性质解。 答：。 两边同加4x，合并得。 两边同减8得，再同除以2得。 探究巩固 探究 检验是不是的解。 答：是。 左边8−2×1/2=7；右边9−4×1/2=7。 分数解同样通过代入两边检验，不能因不是整数而否定。 新知讲授 两种变形方向都可行 同加未知项 对，同加4x可使未知数的系数为正，计算较直观。也可以同加2x，所得结果仍应相同。 选择原则 优先选择使数字和符号较简单的变形。方法不同并不影响答案，但每一步均需对两边实施同样操作。 课堂练习 课内练习 用长20米的篱笆和房屋一面墙围成长方形园子，长比宽长2米。设宽t米，列方程，并判断是否一元一次方程。 答：，是一元一次方程。 靠墙一边不需篱笆，其余两条宽和一条长共20米。 只有未知数t，次数为1，两边都是整式。 课堂练习 课内练习 利用等式性质求的解，并写检验过程。 答：。 两边同加x得11=11x，再同除以11得x=1。 检验：左边11−1=10，右边10×1=10。 课堂练习 课内练习 利用等式性质求的解，并写检验过程。 答：。 两边同减2x、同加3，得，故x=−3。 检验：左边−12−3=−15，右边−6−9=−15。 探究巩固 作业题1 判断和是否为一元一次方程。 答：两个都是一元一次方程。 第一式分母2、7均为非零常数，两边为整式。 第二式虽含无理数常量√2，未知数x的次数仍为1。 探究巩固 作业题2 华氏温度F与摄氏温度C满足。分别求：F=212、C=37、F=68、C=0时另一温标。 答：依次为C=100、F=98.6、C=20、F=32。 F已知时，两边同减32再同除以1.8。 C已知时直接代入，核对两列分别使用对应单位。 探究巩固 作业题3 利用等式性质求解并写检验过程。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 同减8得2x=−10；检验两边均为−2。 （2） 答：。 同减10得−3x=−15；检验两边均为−5。 探究巩固 作业题4 利用等式性质求解。 （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 两边同减x/4、同加4，得9=x/4，再同乘4。 （2） 答：。 两边同减0.7x得0.1x=−1，再同除以0.1。 探究巩固 作业题5 已知是一元一次方程的解，求a。 答：。 代入x=−2得5+2a=−2。 两边同减5得2a=−7，再同除以2。 探究巩固 作业题6 一个两位数十位数字为2。交换十位与个位后，新数比原数大63。设原数个位为x，列方程并求原数。 答：，原数为29。 原数20+x，新数10x+2。 由等式性质得9x=81，x=9，故原数29。 探究巩固 探究 先判断是什么方程，再求解并检验。 答：它是一元一次方程，解为。 一元、一次且两边都是整式；同加4得3t=12，同除3得t=4。 代入左边12−4=8，等于右边。 方法归纳 先识别，再求解 识别三条件 ① 数未知数字母种类，再看最高次数。 ② 检查分母是否含未知数，两边是否整式。 求解与检验 ① 根据等式性质同步消去其他项。 ② 化为未知数等于常数后，分别代入原式两边。 课堂总结 一元一次方程和它的解 类别 一元、一次、两边整式 概念 解又称根；求解过程叫解方程 依据 等式基本性质保持两边相等 目标 逐步化为x=a的形式 检验 代入原式，两边分别计算比较 针对训练 训练 下列是一元一次方程的是（　）。 A.　　B. C.　　D. 答：C。 满足一元、一次、两边整式三个条件。 按一元、一次、两边整式三个条件逐一筛选。 针对训练 训练 方程的解是____，也可称为方程的____。 答：；根。 使两边相等的未知数值既叫解也叫根。 解或根指未知数的值，别和求解过程混淆。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 未知数出现两次就不是一元。 错 按字母种类计数。 （2） 分母为常数就不是整式。 错 常数分母可视为数的系数。 （3） 无理数常量不影响未知数次数。 对 次数由未知数的指数决定。 未知数种类与出现次数不同，常量不影响次数。 针对训练 训练 解。 答：。 两边同减6x，得x=13。 两边同减6x，使未知量只留在一边。 针对训练 训练 解。 答：。 同减3得4x=12，同除以4。 先同减常数，再同除以非零系数。 针对训练 训练 解并检验。 答：。 同减3x、同加2得2x=−8。 代入原式两边均为−22。 整理未知项与常数项后，回代原式两边。 针对训练 训练 若是的解，求a。 答：。 代入得2a−1=7，同加1再同除2。 指定根先代入，将原方程转为关于a的等式。 针对训练 训练 小明说“没有整数解，所以这个方程没有解”。请纠正。 答：方程有解，解不要求是整数。 两边同除以2，代入后两边均为3。 解的范围未限整数，分数也可以是方程的解。 针对训练 训练 一件商品八折后售64元，设原价x元，列方程并求原价。 答：，原价80元。 两边同除以0.8，x=80；检验80×0.8=64。 八折对应原价乘0.8，求原价需用逆运算。 针对训练 训练 一面墙围长方形园子，其余三边共26米，长比宽多2米。设宽x米，求长宽。 答：宽8米，长10米。 2x+(x+2)=26，化简3x+2=26，x=8。 三边8+10+8=26，满足长比宽多2。 靠墙一边不用篱笆，26米只对应另外三边。 方法归纳 从识别到规范求解 识别 ① 未知数种类、次数、整式三项逐一检查。 ② 常数分母和无理数常量不等于未知数分母。 求解 ① 用等式性质同步操作，减少其他项。 ② 得到解后回到原方程，核对数值与实际范围。 $