3.3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算同步练(提升)—2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

3.3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 1.已知为空间的一组基，则下列各组向量中，能构成空间的一组基的是( ) A.，， B.，， C.，， D.，， 2.已知是空间的一组基底，是空间的另一组基底.若向量p在基底下的坐标为，则向量p在基底下的坐标是( ) A. B. C. D. 3.已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基，则一定有( ) A.，，共线 B.O，A，B，C中至少有三点共线 C.与共线 D.O，A，B，C四点共面 4.若是空间的一组基，且向量，，不能构成空间的一组基，则( ) A. B. C. D. 5.已知，，若点P在直线OA上运动，则的最小值为( ) A. B. C. D.-1 6.已知，.若点A，B，C共线，则( ) A. B. C. D. 7.如图，E为棱长为1的正方体内部（含边界）一点，则的最大值与最小值之和为( ) A. B. C. D. 8.如图，在直三棱柱中，，，，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.D为与的交点，点E为空间中一点，且满足，，则点E的坐标为( ) A. B. C. D. （多选）9.下列关于空间向量的命题中，正确的有( ) A.若非零向量a，b，c满足，，则 B.若向量a，b与空间任意向量都不能构成空间的一组基，则 C.若，，是空间的一组基，且，则A，B，C，D四点共面 D.若向量a，b，c是空间的一组基，则，，也是空间的一组基 （多选）10.已知空间向量，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.a与b夹角的余弦值为 （多选）11.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，，若四边形OABC为菱形，则( ) A. B. C. D. 12.已知直线l经过，两点，直线l上有一点P，使得，则点P的坐标为________. 13.点，，，若点D在线段AB上，且满足，则点D的坐标为________. 14.如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，Q为棱BC上一点，，E为AB的中点，若，则______. 15.已知四边形ABCD是平行四边形，且，，. （1）若，且，求的坐标； （2）求点D的坐标； （3）求平行四边形ABCD的面积. 答案以及解析 1.答案：C 解析：对于A，设，则解得所以，，共面，不能构成空间的一组基，A不正确； 对于B，设，则解得，所以，，共面，不能构成空间的一组基，B不正确； 对于C，设，所以此时无解，所以，，不共面，能构成空间的一组基，C正确； 对于D，设，则解得所以，，共面，不能构成空间的一组基，D不正确.故选C. 2.答案：D 解析：向量p在基底下的坐标为，. 设向量p在基底下的坐标是，则，解得即.故选D. 3.答案：D 解析：向量，，不能构成空间的一组基，，，共面，向量，，有公共点，，A，B，C四点共面，故D正确； 当O，A，B，C四点共面时，，，不一定共线，故A错误；O，A，B，C中不一定有三点共线，故B错误；与不一定共线，故C错误.故选D. 4.答案：D 解析：因为向量，，不能构成空间的一组基，所以，，共面，故存在实数x，y使得，即. 因为是空间的一组基，所以解得故选D. 5.答案：B 解析：由题意，令且，则，所以，当且仅当时取等号，则的最小值为. 6.答案：B 解析：因为点A，B，C共线，所以与共线，所以，解得，，故，，则. 7.答案：C 解析：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，.设，则，，，则， ，当，时取到最小值0，当时取到最大值，故最大值与最小值之和为. 8.答案：C 解析：由题意知，，，则，，设点，则，，因为，，所以存在，使得，，则解得所以点 9.答案：BC 解析：对于A，a，b，c是非零向量，当时，若，则成立，但显然不成立，所以A不正确. 对于B，如图，在三棱锥中，设，，a与b不共线，显然向量与，不共面，即存在向量与向量a，b构成空间的一组基，与题设矛盾，所以a与b一定共线，即，故B正确. 对于C，，，是空间的一组基，且，而，则由空间向量基本定理得A，B，C，D四点共面，所以C正确. 对于D，向量a，b，c是空间的一组基，而，即，，共面，因此，，不能构成空间的一组基，所以D不正确.故选BC. 10.答案：ACD 解析：由题意，得，，故A正确.由已知，得，不存在实数，使得，故B错误.由已知，得.又，所以，则，故C正确.因为，，，所以，故D正确.选ACD. 11.答案：ABD 解析：若四边形OABC为菱形，则对角线OB和AC互相平分，由中点坐标公式，得，解得，，，A，B正确；，，由四边形OABC为菱形，可得对角线OB和AC互相垂直，因为，，所以，解得，D正确；时，，时，，C错误. 12.答案： 解析：设，则， 又，， ， 解得 点P的坐标为. 13.答案： 解析：设点D的坐标为，则，，， 因为点D在线段AB上，且满足， 所以即 解得所以点D的坐标为. 14.答案： 解析：以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，则，.由，得，则.设，，则，于是，由，得，解得，所以，即. 15.答案：（1）或 （2） （3） 解析：（1）因为，，所以，由，可设，，所以， 因为，所以， 解得， 所以的坐标为或. （2）设点，则. 由（1）知， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以，即解得即点. （3）结合（2）可得，则. 又，， 所以，即， 又，所以，所以平行四边形ABCD的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $