练案21 第三章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[21] 第三章空间向量与立体几何 §3[3.2 空间向量运算的坐标表示及应用] 化组·基础自测 三、解答题 一、选择题 9.已知点A(2,3,-1),B(8,-2,4),C(3,0,5), 是否存在实数x,使AB与AB+xAC垂直？ 1.已知向量a=(-3,2,4),b=(1,-2,2),则1a -b1= A.210 B.40 C.6 D.36 2已知A3,-2,4)、B(0,5,-1),若0C=34 (其中0为坐标原点)，则C的坐标是( ) 2.49 B(-2别 c,÷9 n(-2-49 3.已知空间三点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0, 1),则AB的长和∠BAC的大小分别是( )10.已知正三棱柱ABC-AB,C,的底面边长AB A.6,120° B.√6,150° =2,AB1⊥BC1,点O,01分别是棱AC,A1C C.6,60° D.√6,30° 的中点.建立如图所示的空间直角坐标系， 4.已知a=(1,0,2),b=(-1,1,0),c=(-1,y, (1)求该三棱柱的侧棱长； 2),若a,b,c三向量共面，则实数y的值为 (2)若M为BC的中点，试用向量A41,AB, AC表示向量AM; A.-2 B.-1 (3)求cos(AB,BC) C.0 D.2 5.已知a=(2,4,x)、b=(2,y,2),若1a1=6,a⊥ b,则x+y的值是 A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.1 6.(多选题)若a=(-1,入，-2)，b=(2,2入，3)， a与b的夹角为90°，则入的可能取值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 二、填空题 7.若向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2, 2),则a·(b+c)= 8.已知向量a=(5,3,1),b=(-2,-号)，若a 与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 —237 8组·素养提升 (1)求cos(AC,P): (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面 一、选择题 PAC,求N点的坐标. 1.已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,-3, 7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为 A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列各组向量中共面的组数为 ①a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5》 ②a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2) ③a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)》 ④a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为 邻边的平行四边形的面积为 ) A.√6⑤ B.6⑤ 2 C.4 D.8 4.已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2),0为坐 标原点，点D在直线OC上运动，则当DA·DB 取最小值时，点D的坐标为 (传专 B. /848 8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2) 3’3,3 (1)若D品∥AC,DC∥AB,求点D的坐标： c(侍》 (号制 (2)是否存在实数&，B,使得AC=aAB+BB配 成立？若存在，求出α，B的值；若不存在，说明 二、填空题 理由 5.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0)，(-1， 0,-1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若 PA⊥AB,PA⊥AC,则P点的坐标为 6.已知空间三点A(1,3,-2),B(2,5,1),C(p, 7,9-2)共线，则p+9= 三、解答题 7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD,AB=√3，BC= 1,PA=2,E为PD的中点.建立空间直角坐 标系， —238r入=-5， 5=-2， 5 易知{u=1,是其中一组解，则-5A店+A+A⑦=0 「入=- 2 所以 解得 lw=1. 6 t=- .A、B、C、D共面 5, 另证：观察易得Ad+A⑦=(2e,+8e2)+(3e1-3e2）=5e1+ 5e2=5(e1+e2)=5AB. 放的取值范围是(-，(-号) 店=写配+ 9.AB=(6,-5,5),AC=(1,-3,6), AB+xAC=(6+x,-5-3x,5+6x), 由共面向量知，AB,A元，A心共面. .·AB⊥(AB+xAC) 又它们有公共点A, .6(6+x)-5(-5-3x)+5(5+6x)=0, A、B、C、D四点共面。 x=-86 引…存在实数x=-86 8由=则= 511 y x y 使AB与AB+xAC垂直. 不妨假设。=立=入，则Ad=入A+uA心， 10.(1)设该三棱柱的侧棱长为h,由题意得A(0,-1,0),B(5, x Y 0,0),C(0,1,0),B(5,0,h),C(0,1,h),则AB=(5,1, 所以A,P,D,Q四点共面.又AQ与DP不平行， 所以线段AQ与线段DP相交. h),BC=(-5,1,h),因为AB1⊥BC1, 所以AB·BC=-3+1+h2=0,所以h=2 练案[21] (2)A=店+B成=店+？BC=店+之（丽+B)=正 A组·基础自测 1.C由题意，a=(-3,2,4),b=(1,-2,2),∴.a-b=(-4, +2(瓜+花商)=2丽+花+2不 4,2), (3)由(1)可知AB=(5,1,2),BC=(-5,1,0), .1a-b1=(-4)2+42+22=6.故选C. 2.BAB=(-3,7,-5), 所以AB·B元=-3+1=-2,1AB1=√6,1BC=2, 成=号(-37，-5)=(-24,9) 6 所以cos(AB,BC=-2= 266 故选B. B组·素养提升 3.D因为店=(2,1,1)，A花=(1,0,1)，所以AB1=1=1.B设BC边上的中点为D,侧d=子（店+AC)=(-1,-2, √22+12+12=6， 2),所以1AD1=个+4+4=3. 1AC1=√+02+1下=2，AB.A亿=2×1+1×0+1×1=3， 2.D①设a=xb+yc,则 所以cs(A店，A花=店·Ad=3 r1=3x+4y, 1AB川A元16×22 2=0·x+2y,解得x=-1, 又因为两个向量的夹角取值范围为0°≤(AB,AC)≤180°， 3=2x+5y, y=1. 所以∠BAC=(AB,AC)=30°， 故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c, 即线段AB的长为6，∠BAC=30°.故选D. .a,b,c共面 4.Da,b,c共面，.c=Aa+ub, ②中b=-2c,③中c=a-b. (-1,y,2)=(入-u4,2A), [x +y=1, 「-1=A-u, 故②③中三个向量共面.④设a=xb+yc,则{x=1,显然无 ∴.{y=u,得y=2 Ly=1, 【2=2λ， 解，故a,b,c不共面。 5.A1a=6,.1a2=36, !3.A设a与b夹角为0， .4+16+2=36,.x2=16,x=±4. 则0s0=42+2-4 又.a1b,.a·b=4+4y+2x=0, 3×3 9,sin0=6☒ 9 ∴.x+2y+2=0. 5-2×3x3×3×图 1 当x=4时，y=-3,当x=-4时，y=1, x+y=1或-3. 4.C点D在直线0C上运动，因而可设0⑦=(a,a,2a),DA= 6.AD:a与b的夹角为90°，.a·b=0, (1-a,2-a,3-2a),DB=(2-a,1-a,2-2a),DA·DB=(1 ..-2+2λ2-6=0，.λ2=4，入=±2. -a)(2-a)+(2-a)(1-a)+(3-2a)(2-2a)=6a2-16a 7.3b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5), .a·(b+c)=(2,-3,1)·(2,2,5)=4-6+5=3. +10,所以a=号时·成最小为-子，此时成 3 8(-() 由已知得a·b=5×(-2)+3t (片告)做远c +1×(-号)=31-号，因为a与b的夹角为纯角，所以ab 5.(-1,0,2)P=(-x,1,-z) AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1), <0, 即3-号<0，所以1<号 {202.-10,2 6.9由已知得AB=(1,2,3),Ad=(-1,4,9). 若a与b的夹角为180°，则存在入<0，使a=b(入<0)， 因为A,B,C三点共线，所以AB∥AC. 即(5,31)=A(-21,号) 所以-号=号解得p=3,g=6 379 所以p+q=9. AB=(1,0,0),所以直线AB的一个方向向量为(1,0,0)， 7.(1)由题意，建立如图所示的空间直 2 又向量(0,0,1)垂直于(1,0,0)， 角坐标系，则A(0,0,0),B(3,0,0), ∴.B不正确； C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2), AD1∥BC1,AD=(0,1,1), 0,2小从而花=(，1.0.店 ∴.C正确： …BD=(-1,1,-1) =(5,0,-2).则 “.直线BD的一个方向向量为(-1,1，-1)， cos(Ad,Pi=4C·P店 又(-1,1，-1)与(1,1,1)不共线， IAC·IPB ∴.D不正确.故选C. 3=3万 6.ABC设正方体ABCD-A1B,C,D1的棱长为1， 2万14 (4,P宝的余弦值为3万 则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),C(1,1,1),D1(0,1,1), 14 因为DD=(0,0,1),故A正确； (2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z),则 因为BC=(0,1,1),故B正确； N=(-x,2,1-由NE⊥平面PAC可得， 直线AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故C正确； AC=(1,1,1),C7=(-1,0,0),AC·C⑦=-1， N2.A=0， (-x,,1-00,2)=0. AC不垂直C⑦，所以AC,与平面B,CD不垂直，故D错误.故选 N.A元=0， 即 -,1-(5,10)=0, ABC. 7 2-1=0, 3 根据题意可知，∥b,故存在实数入，使a=入b,即(x,2, 化简得 x= 1)=λ(1，y,3), 2=0, 6 lz=1, 即x=A,2=Ay,1=3入， 即N点的坐标为(0， ! 解得入=分了=6，=宁+y=兮+6=号 1 1 8.(1)设D(x,y,2),则Di=(-x,1-y,-z),A元=(-1,0,2)， 8.PM1AM以D点为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、 DC=(-x,y,2-z),AB=(-1,1,0). y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为DB∥AC,DC∥AB, 可得D(0,0,0),P(0,1,W3),C(0,2,0),A(22,0,0),M(2, 所以存在实数m,n,有 (-x,1-y,-z)=m(-1,0,2), 2,0). (-x,-y,2-z）=n(-1,1,0), 2 rx=-1, D 解得{y=1,即D(-1,1,2) lz=2. (2)依题意AB=(-1,1,0),AC=（-1,0,2)BC=(0,-1,2). 假设存在实数，B,使得AC=αAB+BBC成立，则有(-1,0， 2)=a(-1,1,0)+B(0,-1,2)=(-a,a-B,2β)，所以 fa=1, α-B=0,故存在&=B=1,使得AC=AB+BC成立. .P7=(2,2,0)-(0,1,5)=(2,1,-5),Ai=(2,2,0) l2B=2, -(22,0,0)=(-2,2,0), 练案[22] 由此可得P·A=(2,1,-√5)·（-√2,2,0)=-2×2 +1×2+0×(-3)=0, A组·基础自测 即PM⊥A立，可得AM L PM. 1.B因为AB=(-1,1,1),由共线向量可知与共线的非零向9.在给定空间直角坐标系中，B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,4,0), 量都可以作为直线1的方向向量，又AB=(-1,1,1)= P(0,4,4) 之（-2.2,2)，所以(-22.2)是直线1的-个方向向量 (1)解法一：B=(0,4,4),设M(x,0,0）,则A7=(0,0- 故选B. 4,20),Bi=(x0,0,20）. 2.B设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则 由A立⊥B2得0×x0+4(y0-4)+4红=0，即%+0=4. 有2x+2+2=0, 由BM∥BP得Bi=入BP 4x+5y+3z=0 即(x0X0,）=A(0,4,4)=(0,4入，4)， 取x=1,则y=-2,z=2, r0=0, 所以n=(1,-2,2).因为ln|=3,所以平面ABC的一个单位 所以=4，所以4M+4=4,A=7即M(02,2). 法向量可以是（号子，一子】 lz0=4入， 所以直线AM的一个方向向量为A=(0,-2,2). 3.D选项A,B,C的说法显然正确.对于D选项，只有当a,b不共 解法二：BP=(0,4,4),AB=(0,-4,0). 线且a∥α，b∥α时，才能得出结论.依据是线面垂直的判定定理： 设Bi=入B2=(0,4A,4入)，则A=A店+B7=(0,-4,0)+ 与平面内两条相交直线都垂直的直线垂直于相交直线所在的平 (0,4入，4入)=(0,4λ-4,4λ). 面.故选D. 又AMLBP,即AM L BP 4.C由题意得P0=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为 所以AM·B2=(0,4入-4,4A)·(0,4,4)=4(4入-4)+4× 入P可=(-2入，-入，A)(A≠0) 逐项分析即可知只有C符合要求.故选C :0解得小=子 5.CA41∥DD,且41=(0,0,1)，.A不正确； 所以AM=(0,-2,2)即为直线AM的一个方向向量. 380