第3章 3.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量的核心知识点，系统梳理空间向量基的判断、共面与共线条件、线性表示及在几何体中的应用，从基础概念（如基的构成）到综合应用（如正方体、四面体中向量关系），构建完整学习支架。 资料特色在于结合正方体、堑堵等几何体实例，通过推理判断向量共面共线培养数学思维，用向量语言精确描述空间位置提升数学语言表达，题型多样覆盖不同难度，课中辅助教师分层教学，课后助力学生自主练习查漏补缺。

1．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，则可以与向量m＝a＋2b，n＝a－c构成空间向量另一组基的向量是(　　) A．2a＋2b－c B．a＋4b＋c C．b－c D．a－2b－2c 解析：选C．因为2a＋2b－c＝(a＋2b)＋(a－c)，a＋4b＋c＝2(a＋2b)－(a－c)，a－2b－2c＝2(a－c)－(a＋2b)，所以向量2a＋2b－c，a＋4b＋c，a－2b－2c均与向量m，n共面，故A，B，D错误，而C选项b－c不能转化为b－c＝x m＋yn的形式，所以b－c与m，n不共面．故选C． 2．如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，且|OM|＝2|MA|，|BN|＝|NC|，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a＋b－c C．－a＋b＋c D．a－b＋c 解析：选C．连接ON(图略)，因为|BN|＝|NC|，即N为线段BC的中点，所以＝(＋)，因为|OM|＝2|MA|，所以＝，＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故选C． 3．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，若m＝a＋2b－3c，n＝x(a＋b)－y(b＋c)＋3(a＋c)，若m∥n，则＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：选B．m＝a＋2b－3c，n＝x(a＋b)－y(b＋c)＋3(a＋c)＝(x＋3)a＋(x－y)b＋(3－y)c，因为m∥n，所以存在实数λ，使n＝λm，所以(x＋3)a＋(x－y)b＋(3－y)c＝λ(a＋2b－3c)， 所以所以 解得所以＝3. 4．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．因为＝x＋y＋z＝x＋y＋，点O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1，同理可得＋＋z＝1，解得x＋y＝，z＝.所以x＋y＋z＝. 5．如图所示的三棱锥A-BCD中，令＝a，＝b，＝c，且M，G分别是BC，CD的中点，则＋＝(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：选A．因为＝a，＝b，＝c，所以＝(a＋b)，＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c)－(a＋b)＝(c－a)，所以＋＝(c－a)＋(b＋c)＝－a＋b＋c. 6．(多选)如图，在四面体OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且|AM|＝2|MO|，|CN|＝2|NB|，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是(　　) A．＝＋＋ B．＝－＋ C．＝－＋ D．＝＋＋ 解析：选BD．对于D，连接ON(图略)，由题意可知，在四面体OABC中，＝2，＝2，点G是线段MN的中点，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝(＋)＝×＋(＋)＝＋＋，故D正确；对于A，＝－＝－＋＋，故A错误；对于B，＝－＝－＋，故B正确；对于C，＝－＝＋－，故C错误．故选BD． 7．已知空间向量的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c.若向量m与n共线，则x＝________，y＝________． 解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使得m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc.所以解得 答案：2　－2 8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用{，，}作为空间向量的一组基，则＝__________________． 解析：因为2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，所以＝(＋＋). 答案：(＋＋) 9．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝2x＋y＋z，则x＋y＋z＝________． 解析：＝(＋)＝(＋＋＋)＝＋＋＝2x＋y＋z， 所以解得 所以x＋y＋z＝1. 答案：1 10．(13分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，；(6分) (2)若＝x a＋y b＋z c，求实数x，y，z的值．(7分) 解：(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，＝－＝－(＋)＝a－b－c，连接AC，由E，F分别是AD1，BD的中点，得＝－＝(＋)－(＋)＝a－c. (2)＝－＝(＋)－(＋)＝－－＝a－b－c，而＝x a＋y b＋z c，且a，b，c不共面，所以x＝，y＝－，z＝－1. 11．(多选)下列条件中，点M与点A，B，C一定共面的是(　　) A．＝3－－ B．＝＋＋ C．＋＋＝0 D．＋＋＋＝0 解析：选AC．A选项中，3－1－1＝1，四点共面；B选项中，＋＋≠1，四点不共面；C选项中，＝－－，则点M，A，B，C共面；D选项中，＝－－－，－1－1－1≠1，四点不共面．故选AC． 12．如图所示，在正方体OABC-O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若＝a，＝b，＝c，＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝________． 解析：易知△ACO1为正三角形，连接OB，设AC， BO相交于点M，连接O1M，如图所示，显然点G在线段O1M上，且满足＝2，由－＝2(－)，得＝＋，即＝×(＋)＋＝＋＋＝a＋b＋c，所以x＝y＝z＝，可得x＋y＋z＝1. 答案：1 13．已知正四面体P-ABC的棱长为1，空间中一点M满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.则||的最小值为_________________________． 解析：由＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1， 可知M与A，B，C共面，则||的最小值为三棱锥的高， 设O为P在平面ABC上的投影，连接CO并延长交AB于点H，则CH⊥AB，所以CH＝，所以CO＝， 所以三棱锥的高为＝. 答案： 14．(13分)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面；(6分) (2)判断点M是否在平面ABC内．(7分) 解：(1)由题意，知3＝＋＋， 所以－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， 故，，共面． (2)由(1)知，，共面且有公共点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 15．(15分)如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝，＝λ，＝λ，0<λ<1，记＝a，＝b，＝c. (1)将用a，b，c表示出来；(5分) (2)当λ等于多少时，线段MN的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值．(10分) 解：(1)由题图知，＝＋＋＝λ－＋λ＝λ(－)－＋λ(＋) ＝(λ－1)＋λ＝(λ－1)b＋λc. (2)由题意|a|＝4，|b|＝|c|＝3，a·b＝a·c＝0，c·b＝3×3×cos ＝，由(1)得2＝[(λ－1)b＋λc]2＝(λ－1)2b2＋2λ(λ－1)b·c＋λ2c2 ＝9(λ－1)2＋9λ(λ－1)＋9λ2＝9(3λ2－3λ＋1)， 所以当λ＝－＝时，2有最小值，即线段MN的长度取得最小值， 此时＝－b＋c，＝a＋c， 2＝9(3λ2－3λ＋1) ＝9[3×()2－3×＋1]＝， 故||＝＝， ||＝＝ ＝＝5， ·＝(－b＋c)·(a＋c)＝－a·b－c·b＋c·a＋c2＝－×＋×9＝， 则cos 〈，〉＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $