精品解析：湖南岳阳市第十二中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情调研卷

湖南省岳阳市第十二中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情调研卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列选项中，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定字母顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵线段，，，为成比例线段， ∴． ∵，，， ∴． 3. 如图，直线，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 4. 在中，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据，即可得出答案． 【详解】解：， 设，， ． 故选：C． 5. 已知，那么的值为（ ）． A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 6. 如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 7. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两点的坐标，再根据勾股定理和正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴. 8. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 【答案】B 【解析】 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 9. 边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，先证可得，进而得到；再证可得，进而得到，最后根据梯形的面积公式计算即可；灵活运用正方形的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：由题意可知： ∵，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴,即, ∴, ∴图中阴影部分的面积为． 故选A． 10. 如图所示的木板余料是由一个长为，宽为的矩形裁掉一部分得到的，裁掉的部分也是一个矩形，若将该余料沿裁剪线（虚线，，）裁开，拼成一个面积相等的正方形木板，则下列错误的是（ ） A. 拼成的正方形木板的面积为 B. 裁剪线 C. 的长为 D. 的长为 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形面积公式求出余料面积，进而得出拼成的正方形边长；利用勾股定理逆定理或相似三角形性质验证各选项；注意剪拼前后面积不变，对应边长关系． 【详解】解：、余料面积，故正确； 、拼成的正方形面积为，则边长为， 在中，，若为正方形边长，则， ∴， 由剪拼成正方形可知，即，故正确； 、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 、若，则， 在中，， 此时，符合拼接条件，故正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 如图，四边形和相似，则________． 【答案】##81度 【解析】 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 12. 点C是线段的黄金分割点，若，则较长线段的长是___________（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，为较长线段， ∴， ∵， ∴． 【点睛】黄金分割中较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与整条线段的比等于． 13. 如图，，且，求与的周长比为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，且．若，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过角的关系证明三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例来求解的长． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 在中，， 所以， 所以， 可得， 已知，，， 因为， 所以， 将，，代入中，得到， 解得． 15. 如图，在中，点D在边上．若，且，则线段的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定；先证明，再根据相似三角形的性质求出，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，高，正方形的边在上，点分别在上，交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，即得，，由四边形是矩形得，即得到，设，则，再利用相似三角形的性质求出的值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 方格纸中，的顶点坐标分别为，．以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标． 【答案】如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为 【解析】 【详解】略 19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D. （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AD=1，DB=4，求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D ∴∠ADC=∠ACB=90° 又∵∠CAD=∠BAC ∴ △ACD∽△ABC      （2）AC= 【解析】 【分析】（1）由两直角相等结合∠CAD=∠BAC，即可证出△ACD∽△ABC； （2）根据相似三角形的性质可得出=，代入AB=AD+DB=5及AD=1，即可求出AC的长． 【详解】（1） 略 （2）解：∵△ACD∽△ABC， ∴ ∵AD=1，DB=4， ∴ ∴ (舍负) 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ACD∽△ABC；（2）牢记相似三角形对应边的比相等． 20. 如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】 证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 21. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 22. 如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 【答案】秒和2秒后和相似． 【解析】 【分析】先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动， 可得，， 因为，所以， 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得， 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 23. 如图，在中，点是的中点，，且，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长，，交于点，连接，先证出，则，，再求出，进而可得，然后求出的长，根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴，， 又∵点是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：如图，延长，，交于点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 又∵，即点是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 24. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现：①线段与线段之间的数量关系是 ， ②直线与直线之间的位置关系是 ． （2）探究：若已知条件不变，将图1中矩形绕点顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？ （3）应用：在（2）的情况下，，，当矩形绕点旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？ 【答案】（1）； （2） （1）中结论还成立 （3），或 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市第十二中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次学情调研卷 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列选项中，是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 4. 在中，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，那么的值为（ ）． A. 5 B. C. D. 6. 如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 9. 边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 30 10. 如图所示的木板余料是由一个长为，宽为的矩形裁掉一部分得到的，裁掉的部分也是一个矩形，若将该余料沿裁剪线（虚线，，）裁开，拼成一个面积相等的正方形木板，则下列错误的是（ ） A. 拼成的正方形木板的面积为 B. 裁剪线 C. 的长为 D. 的长为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 如图，四边形和相似，则________． 12. 点C是线段的黄金分割点，若，则较长线段的长是___________（结果保留根号） 13. 如图，，且，求与的周长比为_______ 14. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，且．若，，，则的长为_______． 15. 如图，在中，点D在边上．若，且，则线段的长为_______ 16. 如图，在中，，高，正方形的边在上，点分别在上，交于点，则的长为______． 三、解答题 17. 计算： 18. 方格纸中，的顶点坐标分别为，．以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标． 19. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D. （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AD=1，DB=4，求AC的长． 20. 如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 21. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 22. 如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 23. 如图，在中，点是的中点，，且，． （1）求的长； （2）求的值． 24. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）发现：①线段与线段之间的数量关系是 ， ②直线与直线之间的位置关系是 ． （2）探究：若已知条件不变，将图1中矩形绕点顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？ （3）应用：在（2）的情况下，，，当矩形绕点旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $