精品解析：湖南衡阳市衡阳县演陂中学2026-2027学年上学期九年级数学10月阶段检测试题

九年级数学月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 6. 如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（ ） A. 25 B. 26 C. D. 7. 小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，将向右平移4个单位，得到抛物线，过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为M与N的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．若直线y＝x＋n与图形T恰好有4个公共点，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. C. D. 18 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 平行四边形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是_____． 12. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 13. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 14. 在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边交于点F．若点D的坐标为，则点F的坐标是________． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，请画出，并直接写出的坐标为__________； （2）请画出关于点中心对称的； （3）若点是轴上两个动点，点在点的上方，且，连接，则的最小值为_________． 17. 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． （1）判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 18. 已知关于的方程． 求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； 若方程有两个不同的整数根，且为正整数，求的值． 19. 某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 20. 如图，，是直线和双曲线的两个交点． （1）求直线和双曲线的函数表达式． （2）过点A作直线，使其与双曲线仅有一个公共点，求直线的表达式． 21. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． （1）若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； （2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2． （1）求k和b的值； （2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝（k＜0）的图象上，并说明理由． 23. 综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值； （3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学月考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：一台电脑的售价为万元，前期付款元之后每个月付款元，付款月数为， ， ， （取正整数）． 2. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答． 【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为， ∴，解得：（已舍弃负值）． ∴点B的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴满足的的取值范围为． 故选A． 3. 已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 4. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 6. 如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（ ） A. 25 B. 26 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 7. 小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵将对称轴左侧的图象作关于轴对称， ∴图象关于点中心对称，  ∵这20个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……，， ∴， ∵，， ∴当时，，当时，， ∴． 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，将向右平移4个单位，得到抛物线，过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为M与N的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．若直线y＝x＋n与图形T恰好有4个公共点，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线平移后的解析式，即可求出两抛物线的交点坐标为（2，3），从而得出Ｔ的图象，然后求出直线y=x+n绕过点（2，3）时的n值和直线y=x+n与C1只有一个交点时的n值，即可得出直线y＝x＋n与图形T恰好有4个公共点时的n的取值范围． 【详解】解：∵抛物线，将向右平移4个单位，得到抛物线， ∴抛物线：y=(x-4)2-1， 联立，得，解得：, ∴抛物线交点坐标为(2,3)， 由题意得图形T的图象如图所示， 把点(2,3)代入直线y=x+n，得3=2+n，解得：n=1， 当直线y=x+n与C1只有一个交时，则x+n=x2-1，即x2-x-1-n=0有两个相等根， 则Δ=12-4×1×(-n-1)=0，解得n=-， ∵直线y＝x＋n与图形T恰好有4个公共点， ∴-<n<1， 故选：A． 【点睛】本题属二次函数综合题目，考查了二次函数图象的平移，抛物线的交点，直线与抛物线的交点，得出T的图象是解题的关键． 9. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ 故选 B. 10. 如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中横线上） 11. 平行四边形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【详解】解：由题意A，C关于原点对称， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为_____岁． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为岁， 故答案为：． 13. 若一元二次方程的两根为，则的值为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 14. 在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，证明，可得，，在中，利用勾股定理可求出x的值，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为x，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即，， ∴阴影部分面积为． 故答案为：6 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边交于点F．若点D的坐标为，则点F的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点M，过点C作于点N，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A和点C的坐标，进一步即可利用待定系数法求出反比例函数的解析式和直线的解析式，然后解由直线和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于点M，过点C作于点N， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵A是菱形的对角线交点，即点A为的中点， ∴点A的横坐标为，纵坐标为， 即，代入反比例函数，得， ∴反比例函数的关系式为， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数解析式和直线的解析式得， 解得（负值已舍去）， ∴点F的坐标为． 三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16. 如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，请画出，并直接写出的坐标为__________； （2）请画出关于点中心对称的； （3）若点是轴上两个动点，点在点的上方，且，连接，则的最小值为_________． 【答案】（1）解：如图即为所求， ； （2）解：如图即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可； （3）将点向上平移一个单位得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点为点，根据两点间距离公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将点向上平移一个单位得到点，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点为点， ∴，， ∴， 当三点共线时取得最小值，． 17. 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． （1）判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【答案】（1）反比例 （2）这个函数的解析式为； （3）它在该分辨率下的像素密度为． 【解析】 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； 【小问2详解】 解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问3详解】 解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 18. 已知关于的方程． 求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； 若方程有两个不同的整数根，且为正整数，求的值． 【答案】 （1）∵△=(3m+1)2－4×3m=9m2－6m+1=(3m－1)2． ∴不论m为任何实数时总有(3m－1)2≥0． ∴不论m为任何实数，方程总有实数根． （2）m=1． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（3m-1）2≥0，由此即可证出：不论m为任何实数，此方程总有实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根据该方程有两个不等的整数根结合m为正整数，即可求出m的值． 【详解】（1略 ） （2）∵mx2+(3m+1)x+3=0． 解得 x1=－3，x2=． ∵方程mx2+(3m+1)x+3=0有两个不等的整数根，且m为正整数， ∴m=1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出原方程的解． 19. 某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，围成这样的矩形养殖区符合题意 （2）面积不能达到，理由 设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【小问1详解】 解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； 【小问2详解】 略 20. 如图，，是直线和双曲线的两个交点． （1）求直线和双曲线的函数表达式． （2）过点A作直线，使其与双曲线仅有一个公共点，求直线的表达式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数求出，求出点坐标，再把A、B两点代入一次函数，解二元一次方程组，求出直线解析式． （2）由直线过点得到a、c的关系式，联立直线与反比例函数解析式，转化为一元二次方程；利用仅有一个公共点，即判别式求出参数，得到直线表达式． 【小问1详解】 解：点在双曲线上， ， 双曲线解析式为． 令，代入， 解得， ． 将，分别代入，得 ，解得， 直线解析式为． 【小问2详解】 解：点在直线上， ， 整理得， 直线解析式为． 联立两个函数解析式： 整理得 直线与双曲线仅有一个公共点， 这个一元二次方程有两个相等的实数根，即． 解得． 把代入， 直线表达式为． 21. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． （1）若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； （2）若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①,；②；③ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可； ②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可． 【小问1详解】 （1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为． 图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 【小问2详解】 的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，且△OCB与△OAB的面积比为1：2． （1）求k和b的值； （2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°，得到ΔOB′C′，判断点C′是否落在函数y＝（k＜0）的图象上，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 点是落在函数的图象上．理由如下： ， 时，，解得， ． 与的面积比为， 为中点， ，， ． 如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为． 将绕点逆时针旋转，得到△， ，，． ． 在△与中， ， △， ，， 在第二象限， ， 点是落在函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）将代入可求出的值；将代入可求出的值； （2）由一次函数的解析式求出点坐标为．根据与的面积比为，得出为中点，利用中点坐标公式求出点坐标为．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．根据证明△，得出，，又在第二象限，得出，进而判断点是落在函数的图象上． 【小问1详解】 解：将代入， 得，， ， 将代入， 得，， 解得，， 故所求和的值分别为，5； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握． 23. 综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值； （3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：存在， 当点在点左侧时，是钝角， 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $