期中重难点检测卷（培优卷）2026-2027学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

八年级上学期期中重难点检测卷（培优卷） 【考试范围：三角形、实数的初步认识、勾股定理】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的平方根是，，则的算术平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平方根的定义求出的值，再算出的值，最后计算的算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故①正确； ②∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故②错误； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是①③． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，将绕点逆时针旋转，点、的对应点分别是，，点为边上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过直角三角形面积法求出斜边上的高，结合旋转的性质得到点到线段的距离；再依据垂线段最短确定的最小值，根据旋转时点的轨迹确定的最大值，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，设点到的垂线段长度为， ∴． ∴． ∴． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，． ∴点到线段的距离等于，即为． ∵，当且点在线段上时，取得最小值， ∴． ∵当点与点重合，且、、三点共线时，取得最大值， ∴． ∴． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（     ） A．225 B．250 C．275 D．300 【答案】D 【分析】根据勾股定理可求解，再由勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理可得， 第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； 第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； 第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：； ， 第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，中线，则BD长为（   ） A．3．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理．延长至点E，使得，连接，证明，为直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题. 【详解】解：如图，延长至点E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． ①连接，由直角三角形的性质得到，则可证明：，据此可判断①； ②设，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则可得到，据此可判断②； ③可证明，是线段的垂直平分线，则可证明，据此可判断③； ④连接并延长交于，则点为的中点，由等边三角形的性质得到，则可证明，进而得到，据此可判断④． 【详解】解：①如图，连接， 是的中点， 点在的垂直平分线上， 的垂直平分线一定与相交于点，故①正确，符合题意； ②设 ，故②正确，符合题意； ③为的中点， ，是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形，故③正确，符合题意； ④如图 2，连接并延长交于点， 为的中点，为的中点， 点为的中点， 由③知：当为中点时，是等边三角形， ， 在中， ， 为的中点， ，故④不正确，不符合题意． 综上，正确的选项是①②③，共3个， 故选：C． 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，折叠三角形纸片，使得点落在边上的，处，得到折痕．已知，，．则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理、含有角的直角三角形的性质、轴对称图形的性质等，可求得，进而求得的长度，设，结合，即可求得答案． 【详解】解：因为，，， 所以， 所以． 设，则． 根据图形翻折的性质可知，，， 所以，． 在中， ，即 ． 解得 ． 所以． 10．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】C 【分析】过点B作，垂足为M，根据题意知，可推知，，分别在与中依据已知的特殊角、已知边，可逐一求出的长，于是的长度可求出．先依据的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度． 【详解】（1）解：如图，过点B作，垂足为M， 由题意得，，°， 设指示南北方向，点N在线段上，则， ∴． 由题意知，， ∴ 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， ∴ （海里）， ∴乙船行驶的时间为小时， ∴甲船从B处行至小岛C的时间为（小时）． ∴甲船从B处行至小岛C的速度为（海里/时）． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，将三角形纸片折叠，使点与重合，折痕交边于点，交边于点，展开并复位．连接，交于点，已知，设的面积为． （1）设的面积为，若，则______； （2）设的面积为，的面积为，若，则______． 【答案】 / / 【分析】（1）作交的延长线于，由三角形面积公式计算即可求解； （2）由折叠性质可得①，过作于，交的延长线于，由三角形面积公式得②，得，，据此计算可得答案． 【详解】解：作交的延长线于， 由折叠可知≌， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由折叠可知≌， ， ， ①， 过作于，交的延长线于， ， ， ， ， ②， 得，， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的三边长分别为，，（，，均为有理数），且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系定理、解一元一次不等式组等知识点，根据三角形的三边关系得出不等式组是解题的关键． 根据绝对值和偶次方的非负性求出，，可得，然后根据三角形的三边关系求出，解不等式组可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 由得， 根据三角形的三边关系得，即， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴b的取值范围是． 故答案为． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，整式的运算，正确数形结合分析是解题关键． 根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：观察图像可得， ∴， 故，， ∵， ∵， ， ∴， 故答案为：． 14．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知（，），计算的最小值为____． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，最短路径，理解勾股定理的意义是解题的关键．通过勾股定理构造几何图形，将代数问题转化为几何问题，利用三点共线时路径最短的原理求解最小值． 【详解】解：如图，取线段，在上取一点，设，，则． 构造和，使，，且，，其中垂直于向上，垂直于向下． 则，， 故． 当点，，三点共线时，的值最小，最小值等于的长． 点坐标为，点坐标为， 计算． 故答案为17． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有_______． 【答案】①②③④⑤ 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：平分，PB平分， ，， ，故①正确； ∵平分， ∴P到，的距离相等， ∴，故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分 (三线合一)，故③正确； ∵与的平分线相交于点P， ∴点P到，的距离相等，点P到，的距离相等， ∴点P到，的距离相等， ∴点P也位于的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故④正确； 由④得：， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ，故⑤正确； 综上可知，①②③④⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 16．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，点E是高上一个动点，连接．若将线段绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则点E在运动的过程中，线段扫过的面积是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质和旋转的性质，解题的关键是恰当作辅助线．如图，以为边作等边三角形，点在过点垂直于的直线上，当点与点重合时，点与点，当点与点重合时，点 在，此时，即点运动的距离等于，通过画图可知：线段扫过的图形是，过点D作，垂足为，分别计算的长，利用三角形的面积公式可得结论． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形， ∴，， 又∵由旋转可知：，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点在过点垂直于的直线上，当点与点重合时，点在点处，当点与点重合时，点在点处，此时， ∴线段扫过的面积是的面积， 过点D作，垂足为， ∵，， ∴， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴的面积． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义． （1）根据平方根的定义，立方根的定义作答即可； （2）先求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵某个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：； ∵的立方根是2， ∴， 即， 解得：； （2）解：， ∴的平方根为． 18．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 19．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为24的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)若设，则_________， _________；（用含x的式子表示） (2)当时，求的长； (3)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)运动过程中线段的长不发生变化，为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再结合题意列出代数式即可得出结果； （2）由等边三角形的性质可得，求出，再由直角三角形的性质可得，计算即可得出结果； （3）由等边三角形的性质可得，过点作的平行线交于点，则，，从而可得为等边三角形，即可得出，证明，得出，再由等边三角形的性质可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是边长为24的等边三角形， ∴， 设，则， ∵Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合）， ∴， ∴； （2）解：∵是边长为24的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：运动过程中线段的长不发生变化，为， ∵是边长为24的等边三角形， ∴， 如图，过点作的平行线交于点， ， 则，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 21．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A． 　　B． 　　C．　 D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 【答案】（1）C （2） （3） （4）证明：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到点，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质，推出，即可得出答案； （4）延长到点，使，连接，由证得，再证，即可证明． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴在和中 ， ∴（）， ∴依据是， 故选：C； 解：由（1）知， ∴，， 在中，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 解：如图所示，延长到点，使，连接，标记， ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴（SAS）， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； （4）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形中，于．若________，________，则________．    (1)从①，②，③平分，中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件：________，________结论：________（填序号）． (2)在（1）的条件下，若，，，求的面积． 【答案】(1)①②③或①③②或③②①， 理由如下：延长，过点C作于F，    情况一：已知：在四边形中，于，若①，②，求证：③平分． 理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； 情况二：已知：在四边形中，于，若①，③平分，求证：②． 理由如下： ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 情况三：已知：在四边形中，于，若③平分，②，求证：①． 理由如下： ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①②③或①③②或③②①． (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求解． （1）延长，过点C作于F，根据，情况一：，得出，推出，得出，即可得出平分；情况二：根据角平分线的性质得出，推出，则，即可推出；情况三：根据角平分线的性质得出，根据，，推出，进而求证，即可推出． （2）根据，得出，易得，通过证明，得出，则，最后三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 23．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 【答案】(1)①证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简得． ② (2) (3) 【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答； （2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）①略 ②在图1中：，， 图2中大正方形的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴图2中大正方形的面积为29． （2）根据题意得：， 如图4： 即有：，，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： 下面推导正三角形的面积公式： 正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图， 在正中，有，， ∵， ∴，， ∴在中，有， ∴正的面积为：， ∴，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （3）关系：，理由如下： 以a为直径的半圆面积为：， 以b为直径的半圆面积为：， 以c为直径的半圆面积为：， 三角形的面积为：， ∴， 即：， 结合（1）的结论： ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1) 海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 25．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】 （1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）；（3）8；（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期期中重难点检测卷（培优卷） 【考试范围：三角形、实数的初步认识、勾股定理】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的平方根是，，则的算术平方根为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，将绕点逆时针旋转，点、的对应点分别是，，点为边上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（     ） A．225 B．250 C．275 D．300 5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，中线，则BD长为（   ） A．3．5 B． C． D．4 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，D是的中点，，与交于点O，且．给出下列结论：①的垂直平分线一定与相交于点E；②；③当E为中点时，是等边三角形；④当E为中点时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（   ） A．2020 B．2021 C． D． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，折叠三角形纸片，使得点落在边上的，处，得到折痕．已知，，．则的长为（    ） A．1 B． C． D． 10．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，将三角形纸片折叠，使点与重合，折痕交边于点，交边于点，展开并复位．连接，交于点，已知，设的面积为． （1）设的面积为，若，则______； （2）设的面积为，的面积为，若，则______． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的三边长分别为，，（，，均为有理数），且，则的取值范围是________． 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 14．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边长度5，同理计算可以看成直角边长度分别为a、8，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知（，），计算的最小值为____． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有_______． 16．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，点E是高上一个动点，连接．若将线段绕点A逆时针旋转60°得到，连接，则点E在运动的过程中，线段扫过的面积是__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 18．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 19．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，是边长为24的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． (1)若设，则_________， _________；（用含x的式子表示） (2)当时，求的长； (3)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 20．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 21．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 　　　 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A． 　　B． 　　C．　 D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，线段的长为 ． （4）如图3，是的中线，，点E在的延长线上，．求证：． 22．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形中，于．若________，________，则________．    (1)从①，②，③平分，中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件：________，________结论：________（填序号）． (2)在（1）的条件下，若，，，求的面积． 23．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 25．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $