4.3 整式（第1课时）课件 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

第4章　代数式 4.3 整式（第1课时） 单项式与多项式 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 两种门票的总价 情境 某场馆的门票全价元、半价元。小王购买张全价票、张半价票，共付元。 观察 、分别是数字与字母的乘积；则是两部分相加。不同结构的代数式，可以进一步分类研究。 情境引入 按字母参与的运算分类 第一组 ，都可以看成数与字母相乘。乘方表示字母的重复相乘，分母只是数字。 第二组 ，都是若干乘积形式的式子相加。减去一项也可以看成加上它的相反项。 情境引入 分母中的字母值得注意 比较 ，只是一个数字因数与相乘；的分母是字母，不能看成这种形式。 问题 与也不同：前者的根号中是数，后者的根号中是字母。分类要看字母涉及的运算，不能只看外形有无分数线或根号。 新知讲授 单项式的定义 定义 由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式（monomial）。单独一个数或一个字母也叫单项式，如。 例子 、、都是单项式。有两个相加的部分，不能把整个和看成一个单项式。 新知讲授 单项式的系数 定义 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数（coefficient）。 例子 的系数是，的系数是，的系数是。系数要连同它的正负号一起识别，不能把负号丢掉。 新知讲授 系数可以是分数或无理数 分数 ，系数为。分母中的数字属于系数，而不是字母的次数。 常数 的系数为，的系数为。在这些式子中，和都是确定的数字，不是字母变量。 新知讲授 单项式的次数 定义 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数（degree）。 例子 的次数为，的次数为。计算次数时把省略的指数补出来，数字因数不参加相加。 新知讲授 次数是指数之和 示范 的字母部分为，次数是，不是系数的分母，也不是最大指数。 辨析 的次数是，而系数是。系数回答“乘了多少”，次数回答“字母指数共多少”，是两个不同问题。 新知讲授 多项式的定义 定义 由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式（polynomial）。 例子 可看成、与相加。认识多项式的各项时，应先把减法看作加上负的单项式。 新知讲授 项与常数项 定义 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项（term），不含字母的项叫作常数项（constant term）。 识别 有三项，分别是，常数项为。各项要带着前面的符号，不能把最后一项读成。 新知讲授 多项式的次数 定义 次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。 示范 中，次数最高的项是，所以是二次多项式。的前两项次数均为，整个式子仍是二次多项式。 新知讲授 项数与次数分别说明什么 项数 由三项组成，所以有三项；也有三项。项数是加数的数量，不能与字母的个数混淆。 次数 二者最高项次数都为，所以都可称二次三项式。多项式次数取各项次数的最大值，不把各项次数相加。 新知讲授 整式的定义 定义 单项式和多项式统称整式。 范围 与都是整式；和不是整式。整式都是代数式，但代数式的范围更大。 新知讲授 判别整式的顺序 先化简外形 是多项式。分母是常数，不妨碍它属于整式。是单项式。 再看字母 若分母含字母，或字母出现在根号内，一般不属于本课的整式形式。根号内仅为常数时，常数仍可充当系数。 例题讲解 做一做 1 下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？。 （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （1） 答：前者是单项式、整式；后者不是整式。 前者等于；后者分母含字母。 分类关注字母参与的运算，先识别数字系数。 例题讲解 做一做 1 下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？。 （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （2） 答：前者不是整式；后者是多项式、整式。 前者分母含字母；后者为两个单项式相加。 分类关注字母参与的运算，先识别数字系数。 例题讲解 做一做 1 下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？。 （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （3） 答：前者是单项式、整式；后者不是整式。 前者等于；后者根号内含字母。 分类关注字母参与的运算，先识别数字系数。 例题讲解 做一做 1 下列代数式中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？。 （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （4） 答：前者是单项式、整式；后者是多项式、整式。 为数字系数；后者可写成。 分类关注字母参与的运算，先识别数字系数。 例题讲解 做一做 2 下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？ （1） （2） （3） （1） 答：项为；一次多项式。 最高项次数为。 （2） 答：项为；二次多项式。 最高项次数为。 拆项带符号；次数取最大值。 例题讲解 做一做 2 下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？ （1） （2） （3） （3） 答：项为；二次多项式。 与的次数均为。 拆项带符号；次数取最大值。 例题讲解 例 一座花坛的形状如图，它的两端是半径相等的半圆。求：（1）花坛的周长；（2）花坛的面积。 答：。 两条直边长共，两个半圆弧组成一个整圆。 整圆周长为，相加得周长。 周长只计算外边界，中间虚线不是边界。 例题讲解 例 一座花坛的形状如图，它的两端是半径相等的半圆。求：（1）花坛的周长；（2）花坛的面积。 答：。 中间长方形长为、宽为，面积为。 两半圆合成半径的圆，面积为，再相加。 同一图形的周长关系与面积关系需要分别建立。 例题讲解 想一想 说明与各是几次多项式，并指出各项和系数。 答：前者为一次二项式，系数；后者为二次二项式，系数。 前者两项为，字母次数均为。 后者两项为，字母次数均为。 是数字，才是参与次数计算的字母。 课堂练习 课内练习 列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数式是单项式还是多项式。 （1） 某场排球联赛的门票价格是每张元，共售出了张。总收入为多少元？ （2） 某市预计明年固体污染物排放总量的增长率为。设今年该市固体污染物排放总量为万吨，那么明年该市固体污染物排放总量为多少万吨？ （3） 已知一个两位数的个位数字是，十位数字是。用关于的代数式表示这个两位数。 （1） 答：元，是单项式。 单价乘数量，得到；数与字母相乘。 （2） 答：万吨，是单项式。 ；负增长表示减少。 课堂练习 课内练习 列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数式是单项式还是多项式。 （1） 某场排球联赛的门票价格是每张元，共售出了张。总收入为多少元？ （2） 某市预计明年固体污染物排放总量的增长率为。设今年该市固体污染物排放总量为万吨，那么明年该市固体污染物排放总量为多少万吨？ （3） 已知一个两位数的个位数字是，十位数字是。用关于的代数式表示这个两位数。 （3） 答：，是多项式。 十位的表示，再加个位，为两个单项式之和。 课堂练习 迁移辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 两位数与两位数表示同一个数。 错误 十位、个位的位值不同；如时分别为。 （2） 可写成单项式。 正确 括号内只有数字，计算后是一个数字因数。 （3） 中系数为，所以这是五十次单项式。 错误 次数看字母指数，的指数是；系数不参加次数计算。 新知讲授 字母顺序与指数的关系 顺序 由乘法交换律，。改变字母书写顺序不会改变系数和次数，两个式子的系数都是，次数都是。 指数 但与中，每个字母对应的指数不同。虽然它们总次数都是，字母部分并不相同，不能只根据总次数判断结构一致。 方法归纳 认识整式的两条线索 单项式看因数 ① 数字因数决定系数，连同符号一起读。 ② 字母指数相加决定单项式次数。 多项式看各项 ① 把减法看成加负项，拆项时不丢符号。 ② 项数数加数，次数取各项次数的最大值。 课堂总结 整式 单项式 数与字母相乘；单数单字母也包括 系数 数字因数，带符号 次数 单项式指数和；多项式取最高项 多项式 若干单项式相加，各项带符号 整式 单项式和多项式的统称 针对训练 训练 下列式子中，是单项式的是：A.　B.　C.　D.。 答：C C是数字与字母的乘积。 A是多项式；B分母含字母；D根号内含字母。 数与字母相乘的形式是识别单项式的依据。 针对训练 训练 单项式的系数为____，次数为____；的系数为____，次数为____。 答：；。 前式字母指数和。 后式的是数字，不参加次数计算。 系数含符号，次数只看字母指数。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 的系数为。 错误 省略的系数是。 （2） 的次数为。 错误 次数为。 （3） 有三项。 正确 项为。 （4） 是五次多项式。 错误 多项式次数取最高项，为。 针对训练 作业题 1 填写下列单项式的系数和次数。 （1） （2） （3） （4） （1） 答：系数；次数。 字母的指数为。 （2） 答：系数；次数。 字母指数和为。 数字因数即使是无理数，也属于系数。 针对训练 作业题 1 填写下列单项式的系数和次数。 （1） （2） （3） （4） （3） 答：系数；次数。 字母指数和为。 （4） 答：系数；次数。 根号中只有数字，字母指数和为。 数字因数即使是无理数，也属于系数。 针对训练 训练 在中，哪些是单项式、哪些是多项式？ 答：单项式：；多项式：；其余不是整式。 分母或根号中含字母的三个式子，不是整式。 上述单项式与多项式合起来为整式。 区分与：本题根号仅覆盖数字。 针对训练 训练 指出、、各项的系数与次数。 答：依次：且次数均；且次数为；且次数为。 拆项时带符号，的系数为。 中两字母指数之和为。 先用逗号列出各项，再逐项检查数字因数与字母指数。 针对训练 训练 为编一个实际问题，并说明这是几次几项式。 答：例：甲物品单价元、乙物品单价元，各买件和件的总费用；一次二项式。 两项为与，次数均为。 项数为，所以为一次二项式。 式子的两项应与情境中的两部分数量一一对应。 针对训练 训练 有长为的篱笆，利用它和房屋一面墙围成如图的长方形园子，宽为。（1）用表示面积。（2）时，面积是多少？ 答：；。 两条宽共，剩余篱笆作长，为。 代入：。 墙边不需要篱笆，长度只计三边。 针对训练 训练 在每行天的月历表中，某个数为，它正下方第一个数是多少？这是几次多项式？若表示月日，它正下方第一个数表示几月几日？ 答：，一次二项式；月日。 同列下一行是同一星期的下一周，日期增加。 ，仍在月。 题目中的两个日期须确实落在月历同一列的相邻两行。 方法归纳 方法总结 先结构后分类 ① 把常数分母改写为数字系数。 ② 看字母是否只参与乘积和非负整数次方。 ③ 识别单项式、多项式后再归入整式。 分清三种“数” ① 系数是带符号的数字因数。 ② 单项式次数为字母指数和，多项式次数取最高项。 ③ 项数为带符号的加数数量，不能与次数混同。 $