4.4 合并同类项（第1课时）课件2026-2027学年浙教版数学七年级上册

第4章　代数式 4.4 合并同类项（第1课时） 同类项与合并法则 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 清点同类的钱币 情境 零食铺清点一天收到的现金，其中有元硬币和元、元、元、元纸币。按面值分组后，可以分别计数，再求总额。 联系 代数式中也有结构相同的项。像清点同面值的钱币一样，找出同类的部分后，可以把重复的字母部分用一个系数来表示。 情境引入 残缺墙面的面积 问题 每块砖的外侧面面积为。把墙面补成行、每行块，完整面积为；缺口相当于块半砖。 计算 残缺墙面面积为。字母保持不变，变化的是前面表示数量的系数。 情境引入 两块木块的体积和 体积 甲木块长、宽、高为，体积为；乙木块为，体积为。 相加 。两项的字母和对应指数相同，可把共同的字母部分保留，只把系数相加。 新知讲授 同类项的定义 定义 多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项（like terms）。所有常数项也看作同类项。 两个条件 不仅字母要相同，每个字母对应的指数也要相同。与是同类项；与不是同类项。 新知讲授 系数不同不妨碍同类 观察 与的数字因数不同，字母顺序也不同，但由交换律，两个字母的指数都为。 判断 所以它们是同类项。判断时应比较字母部分，而不是要求系数相同，也不是要求字母的书写顺序相同。 新知讲授 次数相同也未必同类 比较 与的总次数都是，但的指数分别为与，的指数分别为与，所以不是同类项。 检查方法 把字母部分按相同字母顺序写好，再逐个对照指数。只比较“都是三次”不能替代两个定义条件。 新知讲授 合并同类项的定义 定义 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项（combining like terms）。 依据 依据乘法分配律的逆用，。两种写法表示同一个数量，合并使式子更简洁。 新知讲授 合并同类项的法则 法则 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 示范 。指数不相加，因为这里是同类项的加减，并不是字母部分相乘。 新知讲授 系数与符号一起处理 负系数 。系数为时，写成；系数为时，写成。 系数和为零 。合并后该类项消失，不能再保留成与其他项混写，也不能误写为。 新知讲授 多项式中怎样寻找同类项 分组 先把每项的符号一起读出，再按字母部分分组。中，二次项、一次项和常数项分属不同类别。 合并 二次项合为，另有和，所以结果为。不同类的项保持原样，不能强行合成一项。 新知讲授 先合并再代入求值 原因 若直接把字母数值代入每一项，常要重复计算相同乘积。先合并同类项，可以减少项数，也更容易看出相反项抵消。 结构 例如先分成含的项与含的项，合为，再代入会更简便。 例题讲解 做一做 1 下列各组中的两项是不是同类项？为什么？ （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （1） 答：不是。 相同字母的指数不同。 （2） 答：是。 字母相同且对应指数均相同。 按字母、对应指数两个条件逐一检查。 例题讲解 做一做 1 下列各组中的两项是不是同类项？为什么？ （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 （3） 答：是。 所有常数项都看作同类项。 （4） 答：不是。 所含字母不同，第二项多一个。 按字母、对应指数两个条件逐一检查。 例题讲解 做一做 2 合并同类项。 （1） （2） （1） 答： 。 （2） 答： 。 。 与相同；每一项移动时带着符号。 例题讲解 例 已知，求多项式的值。 答：原式化简为。 含的项合并为。 含的项合并为。 先归组再加系数，不改变字母部分。 例题讲解 例 已知，求多项式的值。 答：。 原式。 。 先算平方，再乘系数，最后求和。 例题变式 变式 合并同类项。 （1） （2） （3） （4） （1） 答： 字母的指数不同，不能合并。 （2） 答： 两项同类且系数和为零。 不能合并的项原样保留，不需要勉强变成一项。 例题变式 变式 合并同类项。 （1） （2） （3） （4） （3） 答： 系数和。 （4） 答： 只合并常数与。 不能合并的项原样保留，不需要勉强变成一项。 新知辨析 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 。 错误 只加系数，指数不变，应为。 （2） 。 错误 不同类项不能合并。 （3） 。 正确 系数和为。 （4） 。 正确 由交换律两项同类。 课堂练习 课内练习 1 先合并同类项，再求代数式的值。 （1） ，其中。 （2） ，其中。 （1） 答： 先合为。 代入得。 先合并有助于减少分数与根式的重复计算。 课堂练习 课内练习 1 先合并同类项，再求代数式的值。 （1） ，其中。 （2） ，其中。 （2） 答： 先合为。 代入得。 先合并有助于减少分数与根式的重复计算。 课堂练习 课内练习 2 一投资公司投入某个项目的资金为元，投资回报率为。公司决定将该项目收益的捐给环境保护公益基金，那么该公司投资这个项目捐助多少元？获利多少元？用含字母的代数式表示。已知投资回报率收益金额投资金额。 答：收益元，捐助元。 由回报率定义，收益金额投资金额回报率。 收益的为。 收益、捐助、投资本金是不同数量，先确定各自关系。 课堂练习 课内练习 2 一投资公司投入某个项目的资金为元，投资回报率为。公司决定将该项目收益的捐给环境保护公益基金，那么该公司投资这个项目捐助多少元？获利多少元？用含字母的代数式表示。已知投资回报率收益金额投资金额。 答：获利元。 从收益中减去捐助：。 合并同类项：。 本题的收益是回报率对应的金额，扣捐助时不再重复减本金。 课堂练习 综合练习 若与是同类项，求。 答：。 同类项中，同一字母的指数必须相同。 比较的指数得，比较的指数得。 逐字母配对指数，而不是只比较总次数。 新知讲授 合并前后值保持不变 验证 取，，。原式与合并后的式子表示同一个数，合并没有改变原来的数量关系。 依据 一般正确性来自分配律：。特殊值可用来检查计算，却不能代替法则本身的说明。 新知讲授 合并后项数和次数可能改变 示范 中，二次同类项合并后系数为零，结果为。写出最终结构时，应以合并后的式子为准。 辨析 不能一看到原式有就断言最终一定是二次式；相反项抵消会改变结构。整理结果时要检查是否还有遗漏的同类项。 课堂练习 错解辨析 小明把合为。指出遗漏，并给出完整结果。 答：漏掉常数项，完整结果为。 二次项：；一次项：。 常数没有同类项，仍应保留。 合并后的每一类都应与原式的项对应，不同类项不能遗漏。 方法归纳 合并与求值的流程 先找同类 ① 比较字母及每个字母的指数。 ② 同类项分组时，原项的符号一起移动。 再算系数 ① 把系数相加，字母与指数不变。 ② 合并后再代入，注意负数和分数加括号。 课堂总结 合并同类项 判断 字母相同，对应指数相同 常数项 所有常数项都视为同类项 法则 系数相加，字母和指数不变 步骤 找同类→分组→合系数→整理 求值 先合并，再代入并检验 针对训练 训练 的同类项是：A.　B.　C.　D.。 答：B B所含字母及对应指数均相同。 其他选项或指数不同，或所含字母不同。 不比较系数，只比较字母部分是否完全相同。 针对训练 训练 ____；____。 答：；。 第一式系数和为。 第二式系数和为。 省略的系数是，百分系数先化成小数。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 次数相同的两个单项式一定同类。 错误 和同为二次却不同类。 （2） 同类项的系数可以不同。 正确 定义只限制字母和对应指数。 （3） 与是同类项。 正确 字母顺序不影响乘积。 （4） 与也是同类项。 正确 它们都是常数项。 针对训练 训练 指出中的同类项。 答：为一类；为一类；其余没有同类伙伴。 先把字母顺序统一，。 再逐个比较对应指数。 无理数字因数仍是系数，不影响同类判断。 针对训练 训练 合并：；。 答：；。 前式系数和。 后式分、两类，分别合并为与。 正负系数相加仍用有理数加法。 针对训练 训练 合并。 答： 含的项合为，含的项合为。 常数没有同类伙伴，保留不变。 与所含字母不同，必须分开。 针对训练 训练 当时，求的值。 答： 同类项合并：。 代入：。 与是同一字母部分。 针对训练 训练 已知，合并。 答： 代入指数后，三项都是的同类项。 系数和为。 先使字母部分具体化，确认同类再合并。 针对训练 训练 某校植树任务为棵，九年级承担一半，八年级承担剩余的一半，七年级承担剩下的全部。（1）分别表示各年级任务。（2）七年级种棵，全校任务是多少棵？ 答：九年级，八年级，七年级；全校棵。 九年级后余，八年级取其一半为。 七年级为；。 “剩余的一半”的基准已经改变，应分步确定。 针对训练 训练 制作两个长方形框架，长和宽分别为米，每个框架周长为米；另加一段长米的连接杆。共需多少米材料？当时是多少米？ 答：米；米。 总长。 合并为，代入为。 先把每部分都表示为同单位的长度，再归组相加。 方法归纳 方法总结 判同类要逐字母检查 ① 系数和字母顺序不影响同类性。 ② 每个字母的指数必须分别相同。 ③ 常数项统一视作同类项。 合并时只改变系数 ① 各项连同符号归组，使用分配律合系数。 ② 字母和指数保持不变，零系数项消去。 ③ 实际问题先列式，再合并并解释结果。 $