精品解析：河北师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

河北师大附中2026-2027学年高二上学期10月月考数学 一、单选题 1. A. B. C. D. 2. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，则，两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 200米 7. 作三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. －1 D. -2 二、多选题 9. 在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图. 则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是（ ） A. 甲省的平均数比乙省低 B. 甲省的方差比乙省大 C. 甲省的中位数是27 D. 乙省的极差是12 10. 已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题 12. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 13. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：），则该组数据的第80百分位数为________. 14. 如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______． 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，，求向量与的夹角. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． （1）求证：； （2）若为中点，且，求二面角的余弦值. 18. 如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，，求的面积. 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北师大附中2026-2027学年高二上学期10月月考数学 一、单选题 1. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可得计算结果. 【详解】，故选B. 【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题. 2. 在正四面体 中，E，F，G分别为 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出异面直线所成角，解三角形求得正确答案. 【详解】由于 分别是 中点，所以 ， 可得是异面直线 与 所成角（或其补角）， 设正四面体的边长为，则， ， 所以. 3. 在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件结合余弦定理求出即可得解. 【详解】在中，因， 由余弦定理得，而， 所以. 故选：D 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】当，，时，与可能平行，也可能垂直，由此可判断；根据面面垂直的判定定理可判断；当，时，与可能平行，也可能相交或异面，可判断；当，时，与可能平行，也可能相交，可判断. 【详解】对于，当，，时，与可能平行，也可能垂直，所以错误； 对于，当，时，由面面垂直的判定定理得，，所以正确； 对于，当，时，与可能平行，也可能相交或异面，所以错误； 对于，当，时，与可能平行，也可能相交，所以错误. 故选：. 5. 如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，可知平面与平面所成的角为，利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】直三棱柱，平面平面，平面平面，，平面，得平面， 平面，平面，所以， 由，，得， 直三棱柱的体积为，所以 又，可知平面与平面所成的角为， 因为，所以平面与平面所成的角为. 6. 如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，则，两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 200米 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值的应用求出结果． 【详解】根据已知条件：，，米， 所以：， 利用正弦定理：则， 所以． 故选：． 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理，特殊角的三角函数值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 7. 作三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出该三棱锥外接球的半径，进而可求得外接球的表面积. 【详解】，，，， 平面，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 则长方体的体对角线线长为， 即三棱锥的外接球半径为，该球的表面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 8. 在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. －1 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值． 【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设， ，，，， ∴， ∴当时，取得最小值． 故选：C． 【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示． 二、多选题 9. 在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，“新冠肺炎”疫情得到了有效控制.如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图. 则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是（ ） A. 甲省的平均数比乙省低 B. 甲省的方差比乙省大 C. 甲省的中位数是27 D. 乙省的极差是12 【答案】ABD 【解析】 【分析】由折线图取原始数据，可计算甲乙的平均数、中位数、极差，摆动幅度大小决定方差大小. 【详解】甲省确诊人数的平均数是， 乙省确诊人数的平均数是 所以正确； 甲省确诊人数摆动幅度比乙省大，所以甲省的方差大 所以正确； 甲省确诊人数，中位数是24， 所以错误； 乙省确诊人数，极差是12， 所以正确； 故选：. 【点睛】本题主要考查折线图的均值、方差、中位数，考查学生的识图能力、理解能力和应用能力. 10. 已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出示意图，由点是的重心，为的中点，得到是的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，因为点是的重心，为的中点，可得是的中点， 由，所以A正确； 由为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得， 又由是的重心，根据重心的性质，可得，所以， 即，所以B正确； 根据三角形重心的性质，可得，所以C不正确； 由重心的性质，可得， 所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图1，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项：由已知可得PE、PF、PD三条侧棱两两互相垂直，则平面PEF，可判断A；对于B选项：平面PDF，根据面面垂直的判定定理可判断B；对于C选项：取EF的中点G，连接PG，DG，可得，，所以为二面角的平面角，由三角形中的边角关系可判断C；对于D选项：由面面，作于，则面，可判断D. 【详解】由已知可得PE、PF、PD三条侧棱两两互相垂直，则平面PEF，所以，故A正确； 平面PDF，而平面PDE，所以平面平面，故B正确； 取EF的中点G，连接PG，DG，可得，，所以为二面角的平面角， 因为正方形ABCD的边长为2，则PD= 2，，， 在中，，故C正确； 由，，，得面，又面，所以面面， 作于，则面， 在中，，， 所以点到平面的距离为. 故选：ABC. 【点睛】本题考查空间中的线线垂直和面面垂直的判定，以及二面角和点到面的距离的计算，属于中档题． 三、填空题 12. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影向量为. 13. 为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：），则该组数据的第80百分位数为________. 【答案】36.6 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念和计算方法可得答案. 【详解】将6名同学某日上午的体温记录从小到大排列为：36.1，36.3， 36.4，36.5，36.6，36.7， 因为，所以该组数据的第80百分位数为36.6， 故答案为：36.6. 【点睛】本题考查第百分位数的概念和计算方法，属于基础题. 14. 如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到的面积，进而得到. 【详解】因为，， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，，求向量与的夹角. 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求得，然后利用列方程，解方程求得的值. （2）求得的坐标，利用夹角公式计算出与的夹角的余弦值，由此求得与的夹角. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以， 即， 解得； （2）由，得 ，， 所以，，， 设向量与的夹角为，则， 又因为，所以， 即向量与的夹角为. 【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，考查向量线性运算的坐标表示，属于中档题. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，化简求出后可得角A； （2）结合已知条件和三角形面积公式求出，再用余弦定理求，进而得周长. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， 即， 因为， 所以，则，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以. 由余弦定理可得， . 故的周长为 17. 如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． （1）求证：； （2）若为中点，且，求二面角的余弦值. 【答案】（1），，， 将沿折叠，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先说明二面角的平面角为，再利用余弦定理解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，平面， ∴，， 二面角的平面角为， 由为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 18. 如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，，求的面积. 【答案】 【解析】 【分析】先在中用余弦定理求出，然后利用正弦定理求出的外接圆半径，最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】中，由余弦定理得：， 整理解得. 在中，由正弦定理得，可得，即， 为直径，， ，， 又， . 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. 【小问3详解】 正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $