精品解析：河北省石家庄市第一中学2026-2027学年高二上学期学情检测反馈考试一数学试题

石家庄市第一中学2025级学情检测反馈考试一 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的除法可得，再由复数的几何意义可得. 【详解】由，得. 所以． 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 3. 设，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为直线， 当时，，此时，即可以推出， 当时，，解得或， 又时，，此时，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 已知一组数据的平均数和方差分别为2026，27，若向这组数据中再添加一个数据为2026，新数据组的平均数和方差分别为，，则（　　）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设原数据个数为，则原数据总和为，原方差满足，即. 添加数据2026后，新数据总和为，因此新平均数 ，排除C、D选项； 方差，即，故A错误，B正确. 5. 若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则或与异面 【答案】D 【解析】 【详解】A，若，可能有，也可能是，A错； B，若，可能相交，可能平行也可能异面，B错； C，，可能有，也可能是，C错； D，由线面平行的定义知D正确. 6. 袋子里装有三枚黑色棋子、三枚白色棋子，从中不放回地随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. “至少有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” B. “都是白色棋子”与“都是黑色棋子” C. “恰好有一枚白色棋子”与“恰好有一枚黑色棋子” D. “至多有一枚白色棋子”与“至少有一枚黑色棋子” 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，逐一判断各个选项可解答. 【详解】设事件A为“两枚都是黑色棋子”，事件B为“恰好有一枚白色棋子”，事件C为“两枚都是白色棋子”， 对于选项A：因为“至少有一枚白色棋子”包含事件B和事件C， “都是黑色棋子”为事件A， 则这两个事件不能同时发生，且并集是全集， 所以这两个事件是对立事件，故选项A不满足； 对于选项B，因为“都是白色棋子”为事件C，“都是黑色棋子”为事件A， 所以这两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件B），是互斥而不对立事件，故选项B满足； 对于选项C，因为“恰好有一枚白色棋子”为事件B，“恰好有一枚黑色棋子”也为事件B， 所以这两个事件是同一个事件，能同时发生，不是互斥事件，故选项C不满足； 对于选项D，因为“至多有一枚白色棋子”包含事件A、事件B，“至少有一枚黑色棋子”也包含事件A、事件B， 所以这两个事件都包含事件A、事件B，能同时发生，不是互斥事件，故选项D不满足． 7. 已知点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，点在直线上，则|的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得结果. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径， ， 又，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 8. 在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦定理，应用三角形面积公式化简得，求出角，再使用正弦定理边化角得，根据正切函数性质及不等式性质求出的取值范围，进而利用对勾函数单调性求解即可. 【详解】， 又，所以， 即，即， 由于，所以， 由正弦定理可知，， ， 由于， 所以， 设，则，， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； 所以，的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法错误的有（　　） A. 设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B. 明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C. 连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，次品率为是概率统计概念，表示大量重复试验中次品所占比例的期望，并不保证100件中恰好10件次品，所以A错误，符合题意； 对于B，概率为表示事件发生的可能性很大，但仍有的可能不发生，所以“可能不下雨” ，所以B正确，不符合题意； 对于C，连续投出10个1的概率为 ，是可能发生的，不是不可能事件，所以C错误，符合题意； 对于D ，“降水概率为”表示降水的可能性为，不是指专家意见的比例，所以D错误，符合题意． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量； B. 经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为； C. 点关于直线的对称点为； D. 已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据直线的一个方向向量为进行求解；B选项，分截距为0和不为0两种情况进行求解；C选项，设出对称点，列出方程组，求出对称点坐标；D选项，画出图形，求出，数形结合得到或，D正确. 【详解】A选项，的斜率为， 故直线的一个方向向量为，A正确； B选项，当直线的截距为0时，设直线方程为，将代入得，， 故此时直线方程为， 当直线的截距不为0时，设直线方程为， 将点代入得，解得，故直线方程为， 综上，直线方程为或，B错误； C选项，设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点为，C正确； D选项，画出图形如下： 则， 直线过点且与线段有公共点，则或， 则的取值范围是，D正确. 故选：ACD 11. 如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ） A. 顶点在面上的射影为的重心 B. 与面所成角的正切值为 C. 二面角的余弦值为 D. 过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】折叠问题，关键是抓住其中的不变量. 选项A：由于､､两两垂直，可证在面上的射影为的垂心； 选项B：根据线面角的定义法求解； 选项C：根据二面角的定义即可求解； 选项D：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题. 【详解】对于A项，由于､､两两垂直，故在面上的射影为的垂心， 理由如下：如图，过点作平面，交平面于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，，都在平面内，且相交于点， 所以平面，又平面，所以， 又，所以平面，又平面，所以. 同理可证，，所以在面上的射影为的垂心. 故A项错误； 对于B项，设为中点，则，，， 故平面，故平面平面， 所以在平面上的射影为， 与平面所成角为，，，，，故B项正确； 对于C项，如图，取EF的中点，因为，所以， 由因为，所以，所以二面角的平面角即为； 又因为在中，，，，所以，故C项正确； 对于D项，设为四面体的外接球球心，平面，连接，， 当过点的截面经过球心时截面圆面积最大，面积为； 当垂直截面圆时，截面圆面积最小， 此时，，， ，截面圆面积为， 得截面圆面积取值范围是. 故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n维空间中，正交的定义是两个n维向量满足.已知某通信方式中用户的信号是4维非平行向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据“正交”的定义列方程，从而求得正确答案. 【详解】设满足条件的第四个用户的信号向量是， 则， 则，则， 故一个满足条件的信号向量是. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四面体的性质可构造长方体模型求得外接球半径即可得. 【详解】如下图所示： 由平面可知，又， 所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球半径， 设外接球半径为， 由球的表面积为，可得，即； 又，，， 所以. 故选：B 14. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足           四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线与直线垂直，且经过点. （1）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （2）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （2）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. 圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. 【小问2详解】 设线段MN中点的坐标为，， 则，即， 因为点在圆上运动， 所以， 所以， 即， 所以线段MN中点的轨迹方程为. 16. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角关系定理化简即得； （2）利用三角形面积求出的值，再由余弦定理求出的值，即得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，即， ∴上式化为，即 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 解得：， 由已知及余弦定理得，即， 将代入得：， 即，得， 则， 的周长为. 17. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． 【小问2详解】 若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． 【小问3详解】 记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 18. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， （1）求； （2）已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； （3）求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 【答案】（1）2 （2）2 （3）6 【解析】 【分析】（1）由“曼哈顿距离”的定义直接求解即可； （2）根据“曼哈顿距离”表示出，然后分段去掉绝对值符号，利用一次函数性质求解可得； （3）根据“曼哈顿距离”的定义求出轨迹方程，判断轨迹的对称性，转化为求曲线与轴所围成的面积，然后去掉绝对值符号，利用分段函数作出图象即可求解. 【小问1详解】 由“曼哈顿距离”的定义可得. 【小问2详解】 设直线上动点的坐标为， 则， 由一次函数单调性可知，当时，；当时，； 当时，. 综上，的最小值为2. 【小问3详解】 设点，则， 即，即， 将代入上述方程得， 所以，方程表示的曲线关于轴对称， 故曲线所围成的面积等于曲线与轴所围成的面积的2倍. 作出函数的图象，如图： 易知， 四边形的面积为， 所以所求轨迹围成的面积为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2025级学情检测反馈考试一 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 设，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一组数据的平均数和方差分别为2026，27，若向这组数据中再添加一个数据为2026，新数据组的平均数和方差分别为，，则（　　）. A. B. C. D. 5. 若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则或与异面 6. 袋子里装有三枚黑色棋子、三枚白色棋子，从中不放回地随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. “至少有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” B. “都是白色棋子”与“都是黑色棋子” C. “恰好有一枚白色棋子”与“恰好有一枚黑色棋子” D. “至多有一枚白色棋子”与“至少有一枚黑色棋子” 7. 已知点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，点在直线上，则|的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法错误的有（　　） A. 设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B. 明天降雨概率为，则明天可能不下雨 C. 连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D. 某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，认为不会降水. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量； B. 经过点且在轴和轴上的截距都相等的直线方程为； C. 点关于直线的对称点为； D. 已知两点，若直线过点且与线段有公共点，则的取值范围是 11. 如图1，在边长为2的正方形中，，，分别为，，的中点，沿、及把这个正方形折成一个四面体，使得、、三点重合于，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ） A. 顶点在面上的射影为的重心 B. 与面所成角的正切值为 C. 二面角的余弦值为 D. 过点的平面截四面体的外接球所得截面圆的面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n维空间中，正交的定义是两个n维向量满足.已知某通信方式中用户的信号是4维非平行向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量__________. 13. 已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（ ） A. B. 1 C. D. 14. 已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线与直线垂直，且经过点. （1）若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； （2）若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 16. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 17. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 18. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， （1）求； （2）已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； （3）求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $