专题01 解直角三角形3大模型与测量应用（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

专题01 解直角三角形3大模型与测量应用 题型一：背对背型模型——内部作高 题型二：拥抱型模型——仰角俯角 题型三：母子型模型——外部作高 题型四：三大模型综合应用——测量问题 题型一：背对背型模型——内部作高 【方法技巧】在三角形内部作高，把原三角形分成两个共高的直角三角形；分别在两个直角三角形中用三角函数表示这条公共高，借助等量关系建立方程求解。 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据，） 2．（2026·湖北随州·二模）某校“数学社团”的同学进行了测量某古塔的高度的实践活动，他们制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，报告如下： 项目主题 测量塔高 测量示意图 测量说明 无人机在点C处测得塔顶A的仰角，测得此时塔底B的俯角（）． 测量数据 的度数 的度数 点C到AB的水平距离． 请根据表中的测量数据，求古塔高（精确到1；参考数据：，，，）． 3．（25-26九年级下·湖南·期中）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度 项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容． 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离禹王峰一定距离的地面处放置测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为； 2．在与地面处水平距离为的地面处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为．（C，B，D在同一水平直线上） 请根据表中的测量数据，计算禹王峰的高度．（测角仪高度忽略不计，参考数据：，，，） 4．（2026·江西赣州·一模）小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如图，人行桥长120米，乡村振兴大厦点在点的正西方，点在点南偏西方向，点在点北偏西方向．（结果精确到整数，参考数据：，，，，，） (1)求桥东头与振兴大厦的水平距离的长； (2)已知测量点，，在同一水平面上，且点距离地面2米，在处测得振兴大厦顶端的仰角为；在处测得振兴大厦顶端的仰角为，求振兴大厦的高度． 题型二：拥抱型模型——仰角俯角 【方法技巧】两个直角三角形共用一条竖直公共边，上下两个观测点分别测得仰角与俯角；用公共边表示两段水平距离，通过相等或相加列方程求解。 1．（2022·天津南开·模拟预测）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 3．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物的顶点A测得M点的俯角为，从建筑物的顶点C测得M点的俯角为，从建筑物的顶点A测得C点的仰角为．若已知建筑物的高度为20米， (1)求的度数． (2)求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到，参考数据：，）． 4．（2026·湖南株洲·一模）为测量某风景区山腰上一山洞的高度，某数学小组设计了两个测量方案． 活动课题 测量某风景区山腰上的一山洞的高度 测量方案 方案一 方案二 背景示意图及抽象图         测量过程与测量数据 在点A处测得该山洞顶部点C的仰角为，测得上山斜坡的长度为150米，上山斜坡的坡度．已知点A，B，C，M都在同一平面上． 用无人机在与该山洞底部B水平距离米的空中P点位置，测得点B的俯角为，测得该山洞顶部C的仰角为．点P，D，B，C在同一平面上． 参考数据 ， ， ． ，， ，． 说明 线段代表上山斜坡，线段代表该山洞，直线表示水平线，． 请选择其中一种方案计算：求该山洞的高度．（结果精确到0.1米） 题型三：母子型模型——外部作高 【方法技巧】在三角形外部作高，构造共用一条边的大小两个直角三角形；由已知角先求出中间量，再递推求目标线段，适用于移动测点测高问题。 1．（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 3．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 4．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，， ，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 题型四：三大模型综合应用——测量问题 　　【方法技巧】识别实际问题中的仰角、俯角与距离，判断属于哪一模型，准确构造直角三角形；用公共量（高或水平距离）联系两个三角形列方程求解。 1．（2026·河南周口·三模）某综合实践活动小组，尝试利用无人机（无人机限高米）测算某广播电视发射塔的高度，设计了如下两种方案： 【方案一】如图，无人机位于离地面高度为米的处，测得与塔顶处的仰角为，与塔底处的俯角为．（参考数据：，，，，） 【方案二】如图，当无人机位于离地为米的处时，测得与塔顶处的仰角为；当无人机垂直上升到离地面高度为米的处时，测得与塔顶处的仰角为．（参考数据：，，） (1)请你选择其中一种可行的测算方案：________；（填“方案一”或“方案二”） (2)根据（1）中选择的方案，求该发射塔的高度．（结果保留整数） 2．（2022·陕西西安·模拟预测）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 3．（2026·海南·中考真题）综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ． (2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 4．（2026·广东佛山·三模）综合与实践 【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标．某数学学习小组开展了以下探究活动： 主题 测量新城之眼摩天轮的直径 抽象 如图2为简化示意图，直线表示水平地面，线段表示经过摩天轮最高点与最低点的直径． 工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器 过程 步骤：1．在空旷场地选取一点，测得点与的水平距离为； 2．无人机从点处竖直向上飞行到点，测得最低点的仰角为； 3．无人机继续竖直向上飞行到达点，测得最高点的俯角为；（注：图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上．） 【问题解决】 (1)计算摩天轮的直径（结果精确到，数据：，，，）； 【评价反思】 (2)设计其他方案计算摩天轮的直径． 要求：选用【工具】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解直角三角形3大模型与测量应用 题型一：背对背型模型——内部作高 题型二：拥抱型模型——仰角俯角 题型三：母子型模型——外部作高 题型四：三大模型综合应用——测量问题 题型一：背对背型模型——内部作高 【方法技巧】在三角形内部作高，把原三角形分成两个共高的直角三角形；分别在两个直角三角形中用三角函数表示这条公共高，借助等量关系建立方程求解。 1．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据，） 【答案】这栋楼的高度约为 【分析】先解直角三角形求出，的长，再根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，， ∴在中，， 在中，， ∴， 答：这栋楼的高度约为． 2．（2026·湖北随州·二模）某校“数学社团”的同学进行了测量某古塔的高度的实践活动，他们制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，报告如下： 项目主题 测量塔高 测量示意图 测量说明 无人机在点C处测得塔顶A的仰角，测得此时塔底B的俯角（）． 测量数据 的度数 的度数 点C到AB的水平距离． 请根据表中的测量数据，求古塔高（精确到1；参考数据：，，，）． 【答案】 【详解】解：过C作于E， ， ，，， （） （）． （） 答：古塔高为． 3．（25-26九年级下·湖南·期中）下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度 项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容． 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离禹王峰一定距离的地面处放置测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为； 2．在与地面处水平距离为的地面处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为．（C，B，D在同一水平直线上） 请根据表中的测量数据，计算禹王峰的高度．（测角仪高度忽略不计，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】设，得到是等腰直角三角形，进而得到，在中，，利用列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 解得， ， 答：禹王峰的高度为． 4．（2026·江西赣州·一模）小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如图，人行桥长120米，乡村振兴大厦点在点的正西方，点在点南偏西方向，点在点北偏西方向．（结果精确到整数，参考数据：，，，，，） (1)求桥东头与振兴大厦的水平距离的长； (2)已知测量点，，在同一水平面上，且点距离地面2米，在处测得振兴大厦顶端的仰角为；在处测得振兴大厦顶端的仰角为，求振兴大厦的高度． 【答案】(1)桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； (2)振兴大厦的高度是47米． 【分析】（1）作，解直角三角形求出米，米，米，即可求解； （2）设振兴大厦顶端为点，依题意知米，解直角三角形求出米，即可求解． 【详解】（1）解：作， ，米， 在中，，， 米，米， ， 在中，， 米， （米）， ∴桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； （2）解：设振兴大厦顶端为点， 依题意知米， ， 在中，， 米， 点距离地面2米，（米）， 振兴大厦的高度是47米． 题型二：拥抱型模型——仰角俯角 【方法技巧】两个直角三角形共用一条竖直公共边，上下两个观测点分别测得仰角与俯角；用公共边表示两段水平距离，通过相等或相加列方程求解。 1．（2022·天津南开·模拟预测）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上点处测得瀑布顶端点的仰角是，测得瀑布底端点的俯角是，与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得，（注：、、三点在同一直线上，于点）．斜坡，坡角．求瀑布的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】瀑布的高度约为米 【分析】过点作，交于点，作，交于点， 分别解，，求得，根据，即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，作，交于点，则四边形是矩形， ∴． 在中，，，， ，， ． 在中，，，， ． 在中，，，， ． ． 答：瀑布的高度约为米． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 【答案】(1)；； (2)该塔高度约为 (3)①多次测量，然后取平均值；②更换精度更高的测量仪器． 【分析】（1）根据正切的定义进行计算即可； （2）作于点，于点，于点，设，容易判断四边形与四边形都是矩形，则．根据仰角和俯角的定义使用正切函数计算出与，利用的长解方程求出，再计算出与，求和即可得到； （3）从仪器精度和测量误差角度提出建议即可． 【详解】（1）解：在中，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴； （2）解：如图，作于点，于点，于点，设， 由题意可知，，，，， ∵，，，， ∴， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 答：该塔高度约为． （3）略 3．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物的顶点A测得M点的俯角为，从建筑物的顶点C测得M点的俯角为，从建筑物的顶点A测得C点的仰角为．若已知建筑物的高度为20米， (1)求的度数． (2)求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2)35米 【分析】（1）根据题意结合平行线的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案； （2）证明是等腰直角三角形，得到米，由勾股定理得米；求出，则可求出米，证明是等腰直角三角形，得到米，据此利用勾股定理可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，由题意得，，， 由题意得，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作于点F， 由题意得，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴由勾股定理得米； 在中，， ∴米， ∴米， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， 答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米． 4．（2026·湖南株洲·一模）为测量某风景区山腰上一山洞的高度，某数学小组设计了两个测量方案． 活动课题 测量某风景区山腰上的一山洞的高度 测量方案 方案一 方案二 背景示意图及抽象图         测量过程与测量数据 在点A处测得该山洞顶部点C的仰角为，测得上山斜坡的长度为150米，上山斜坡的坡度．已知点A，B，C，M都在同一平面上． 用无人机在与该山洞底部B水平距离米的空中P点位置，测得点B的俯角为，测得该山洞顶部C的仰角为．点P，D，B，C在同一平面上． 参考数据 ， ， ． ，， ，． 说明 线段代表上山斜坡，线段代表该山洞，直线表示水平线，． 请选择其中一种方案计算：求该山洞的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】方案一：该山洞的高度约为米．方案二：该山洞的高度约为米． 【分析】方案一：根据坡度可设米，米，由勾股定理得米，米，再解得米，依据可得结论； 方案二：过点作于点，得四边形是矩形，可得米，再解得米，依据可得结论． 【详解】解：方案一：延长交于点，如图， ∵上山斜坡的坡度， ∴， ∴设米，米， ∴，即， 解得， ∴米，米， 在中，， ∴（米） ∴（米）， 答：该山洞的高度约为米． 方案二：过点作于点，如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米） 答：该山洞的高度约为米． 题型三：母子型模型——外部作高 【方法技巧】在三角形外部作高，构造共用一条边的大小两个直角三角形；由已知角先求出中间量，再递推求目标线段，适用于移动测点测高问题。 1．（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）为了让学生进一步了解拉萨市第六中学旗杆高度，组织九年级某班学生利用综合实践课测量旗杆的高度．列珠同学站在如图所示的旗杆前的平地上点处，测得顶部的仰角为，眼睛距离地面，向旗杆前行，到达点处，测得顶部的仰角为，求旗杆高．（参考数据：，，结果精确到） 【答案】旗杆高为 【详解】由题意可得，，，，， 设，在中，， 在中，， ∵， ∴解得， ∴． 答：旗杆高为． 3．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)99米 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； （2）解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 4．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，， ，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 【答案】 【分析】在直角三角形中，利用角的正切值，得出，，进而列方程求解即可． 【详解】解：已知，，，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 因此，此建筑的高约为． 题型四：三大模型综合应用——测量问题 　　【方法技巧】识别实际问题中的仰角、俯角与距离，判断属于哪一模型，准确构造直角三角形；用公共量（高或水平距离）联系两个三角形列方程求解。 1．（2026·河南周口·三模）某综合实践活动小组，尝试利用无人机（无人机限高米）测算某广播电视发射塔的高度，设计了如下两种方案： 【方案一】如图，无人机位于离地面高度为米的处，测得与塔顶处的仰角为，与塔底处的俯角为．（参考数据：，，，，） 【方案二】如图，当无人机位于离地为米的处时，测得与塔顶处的仰角为；当无人机垂直上升到离地面高度为米的处时，测得与塔顶处的仰角为．（参考数据：，，） (1)请你选择其中一种可行的测算方案：________；（填“方案一”或“方案二”） (2)根据（1）中选择的方案，求该发射塔的高度．（结果保留整数） 【答案】(1)方案二 (2)发射塔的高度为160米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意分析方案可行性即可求解； （2）先分别过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得四边形和四边形都是矩形，则，，，利用即可求解出的长度，最后再求出即可． 【详解】（1）解：方案一：无人机位于高度为米的处，由于无法计算无人机到的水平距离等关键信息，无法准确计算发射塔的高度，存在缺陷； 方案二：无人机在（高度为米）和（高度为米） 处，可通过构建直角三角形，利用仰角和已知海拔高度，建立方程求解塔顶相对高度，进而求出发射塔的高度，方案可行，所以选择方案二； 故答案为：方案二． （2）如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点 由题意得四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该发射塔的高度为米． 2．（2022·陕西西安·模拟预测）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】(1)C (2)9.5米 【分析】（1）根据C组测量时间不同判断即可； （2）连接交于点H，得到四边形为矩形，得到，，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：因为C小组测量的和不是同一时刻的两物体的影长， 所以C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度； （2）解：连接交于点H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴米， ∴米． 答：旗杆的高度为9.5米． 3．（2026·海南·中考真题）综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ． (2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)；200 (3)方案二的救生员最先到达点． 解：在中，米， 在中，米， 方案一：秒， 方案二：秒， 方案三：秒， ∵， ∴方案二的救生员最先到达点． 【分析】（1）根据方向角的定义求解即可． （2）根据题意可知：米，解求出，解，求出，进而可求出． （3）解直角三角形求出，然后分别计算三个方案中所需的时间，比较时间即可得出答案． 【详解】（1）解：，． （2）解：根据题意可知：米， 由（1）知， 在中，， 即， 解得：米， 在中，， 即， 解得：米， ∴米． （3）略 4．（2026·广东佛山·三模）综合与实践 【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标．某数学学习小组开展了以下探究活动： 主题 测量新城之眼摩天轮的直径 抽象 如图2为简化示意图，直线表示水平地面，线段表示经过摩天轮最高点与最低点的直径． 工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器 过程 步骤：1．在空旷场地选取一点，测得点与的水平距离为； 2．无人机从点处竖直向上飞行到点，测得最低点的仰角为； 3．无人机继续竖直向上飞行到达点，测得最高点的俯角为；（注：图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上．） 【问题解决】 (1)计算摩天轮的直径（结果精确到，数据：，，，）； 【评价反思】 (2)设计其他方案计算摩天轮的直径． 要求：选用【工具】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】(1)佛山新城之眼的直径约为 (2)解法一： 测量工具：无人机 测量过程： 步骤1：如图，在空旷平地找一点， 步骤2：无人机从点处竖直向上飞行到点，使得此时测得点的仰角为，即处于同一水平面上； 步骤3：再竖直向上飞行米到达点，此时测得点的俯角为，即处于同一水平面上； 则米，所以的距离就是米． 解法二： 测量工具：无人机 测量过程： 步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一点， 步骤2：无人机从点处竖直向上飞行到点，使得此时测得点的仰角为，与处于同一水平面上； 步骤3：再竖直向上飞行米到达点，此时测得点的俯角为，与处于同一水平面上； ∴，， ∴四边形为平行四边形，所以米，所以的距离就是米． 解法三： 测量工具：无人机，测倾器 测量过程： 步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一个能够看到最高点的地方，设为点，架上测倾器 步骤2：利用测倾器，从处测得点的仰角为，测得点的仰角为 步骤3：利用无人机测得点与直径的水平距离为米， 延长交于，过点作于点， 则四边形是矩形． 米． 则，， ∴，， ∴． 【分析】（1）如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，过点作的垂线，在中，求解，可得， 结合，再进一步求解即可. （2）根据测量工具与的计算方法，结合矩形，平行四边形的性质，三角函数的应用，设置合理的测量方案即可； 【详解】（1）解：如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，过点作的垂线， 则四边形均为矩形，，，         ，，．         在中，， ．             在中，， 即． ．             ． 答：佛山新城之眼的直径约为． （2）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $