23.1 测量 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

23.1 测量 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 2．一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 3．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻物高与影长成比例解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴, 解得， 故选：D． 4．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 先证明，得到，代入求值即可解答． 【详解】解：由题意及图，得 ，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 5．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 【答案】B 【分析】如图，证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯A的高度等于米． 6．在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长，当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，且路灯垂直下照点为P（M、N、P在同一水平地面上），那么（　　） A． B．与大小不确定 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可得甲同学身高高于乙同学身高，则，再由当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，得到，证明可推出，同理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】解：如图所示，当点M和点N在点P两侧时，O表示路灯光源位置，的长分别表示甲和乙的身高，分别表示甲和乙的影长， ∵在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长， ∴甲同学身高高于乙同学身高， ∴； ∵当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点M和点N在点P同侧时，同理可证明； 综上所述，， 故选：C． 二、填空题 7．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 【答案】10.5 【分析】先根据垂直于同一直线的两直线平行得到，进而证明 ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，代入已知数据计算即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ． 8．如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【答案】5 【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 9．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 【答案】3 【分析】本题考查了平面镜反射和相似三角形的应用，根据题意得出是解题关键．由已知得，则根据相似三角形的性质可得，解答即可． 【详解】解：由题意知：， ∵于点B，于点D， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：3． 10．小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 三、解答题 11．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 12．大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 13．【问题背景】安澜楼，古建风格采用明清大式做法，屋面采用青灰色琉璃瓦，该楼回廊抱厦，重檐叠屋，结构严谨，姿态优美，其外观雄伟壮观，古朴典雅，是汉水人文的结晶．小华所在的数学小组想利用学过的数学知识测量安澜楼的高度． 【实践主题】测量安澜楼的高度． 【素材】皮尺、平面镜、标杆等工具． 【实践操作】如图，在阳光下，小华在安澜楼影子的末端C点处竖立一根2米长的标杆，同一时刻，小组成员测得标杆在阳光下的影长米．然后，小华在点F处放置一平面镜（大小忽略不计），小华来回走动，走到点G处时，恰好看到安澜楼顶端点A在平面镜中的像，已知小华眼睛与地面的高度米，米，米，，点B、C、E、F、G在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 【问题解决】根据上述信息，计算安澜楼的高度． 【答案】42米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， ，， 即，， 解得． 答：安澜楼的高度为42米． 14．我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置E处，且与垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长 ． 【答案】观赏者与墙壁的距离的长为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，证明，推出，即可解答． 【详解】解：根据题意得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：观赏者与墙壁的距离的长为 ． 15．皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 【答案】19米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化成几何问题成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，再结合可证明可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 又， ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ， ． 答：皇帝手植柏的高度为19米． 16．综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1 测量 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【基础夯实】 一、单选题 1．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 3．无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（   ） A． B． C． D． 4．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 6．在同一时刻的阳光下，甲同学的影子比乙同学的影子长，当甲、乙两同学分别站在同一路灯下的M、N处时，他们影长相等，且路灯垂直下照点为P（M、N、P在同一水平地面上），那么（　　） A． B．与大小不确定 C． D． 二、填空题 7．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 8．如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 9．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 10．小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 三、解答题 11．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 12．大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 13．【问题背景】安澜楼，古建风格采用明清大式做法，屋面采用青灰色琉璃瓦，该楼回廊抱厦，重檐叠屋，结构严谨，姿态优美，其外观雄伟壮观，古朴典雅，是汉水人文的结晶．小华所在的数学小组想利用学过的数学知识测量安澜楼的高度． 【实践主题】测量安澜楼的高度． 【素材】皮尺、平面镜、标杆等工具． 【实践操作】如图，在阳光下，小华在安澜楼影子的末端C点处竖立一根2米长的标杆，同一时刻，小组成员测得标杆在阳光下的影长米．然后，小华在点F处放置一平面镜（大小忽略不计），小华来回走动，走到点G处时，恰好看到安澜楼顶端点A在平面镜中的像，已知小华眼睛与地面的高度米，米，米，，点B、C、E、F、G在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 【问题解决】根据上述信息，计算安澜楼的高度． 14．我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置E处，且与垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长 ． 15．皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 16．综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $