第二十六章 解直角三角形（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册解直角三角形，以滑雪、测量树高、高铁座椅等现实情境设计试题，覆盖三角函数计算与应用，适配单元复习，助力数学眼光、思维与语言核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|三角函数值计算、直角三角形边长求解（如第2题）|结合网格（第5题）、正方形拼接（第6题）考查几何直观| |填空题|4/12|锐角三角函数定义（第13题）、网格中三角函数（第14题）|融入楼梯护栏（第15题）、正六边形（第16题）体现空间观念| |解答题|8/72|解直角三角形应用（第18题）、实际测量（第21题）|高铁座椅模型（第23题）、三角比探究（第22题）突出应用意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 解直角三角形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B B B A A B B A C A B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．7 14． 15． 16．90 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1)3 (2) (3)8 【详解】（1）解： ；···················2分 （2）解： ；··················4分 （3）解： ．··················7分 18．（8分） 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴；··················4分 （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴．··················8分 19．（8分) 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行四边形的性质和直角三角形的全等来证明线段相等，并利用三角函数的定义来求解． 根据平行四边形的性质可得，，再根据，，得出，得到，再根据已知条件求出即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ，··················4分 ，， ， ．··················8分 20．（8分） 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 对于（1），设，根据勾股定理得，求出x可得答案； 对于（2），作，设，根据勾股定理得，求出，可得，进而求出，再根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：在中，， 设，根据勾股定理，得 ， 即， 解得（负值舍去）， ∴；··················4分 （2）解：过点B作，交于点G 在中，， 设，根据勾股定理，得 ， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， ∴．··················8分 21．（9分） 【答案】(1)证明：， ， ． ， ， ， 又，， ． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等得到，再结合，，由即可证明； （2）过点C作于点H，由勾股定理求出，再根据，即可求点C到的距离． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ， ， 又，， ．·················4分 （2）解：如图，过点C作于点H． ， ，， ， ， ， ， ∴点C到的距离为．·················9分 22．（9分） 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C．·················2分 （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大；·················6分 （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，．·················9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：．·················3分 （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：．·················6分 ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为．·················11分 24．（12分） 【答案】(1) (2)解：的大小不发生改变． 在中， ∴． 如图①，分别过点作于点于点． ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴据中位线定理可得， ， ， ． ， ， ， ∴在中，； (3)的长为或 【分析】（1）先根据勾股定理求得，结合题意可得是的中位线，即可求解； （2）分别过点作于点于点．证明，根据相似三角形的性质可得，进而根据正切的定义，即可求解； （3）分两种情况讨论，情况一：当点在点的右侧时；情况二：当点在点的左侧时，根据点将线段分为的两部分，结合相似三角形的性质以及正切的定义，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ∴． 当时， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴·······························3分 （2）解：的大小不发生改变． 在中， ∴． 如图①，分别过点作于点于点． ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴据中位线定理可得， ， ， ． ， ， ， ∴在中，；······························6分 （3）解：如图①，设，由（2）可得， 为的中点，， ， ， ． 情况一：当点在点的右侧时， ， ，， 由（2）可得， ， ， ． 如图①，过点作，交于点， ． ∵点将线段分成， ∴当时， 则， ． ， 解方程得，即； 情况二：如图②，当点在点的左侧时， ， ， 由情况一可得， ， 过点作，交的延长线于点， ． ∵点将线段分成， 当时，则， ． ， ， 解方程得，即． 综上所述，当点将线段分为的两部分时，的长为或．······························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 3．（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）在中，，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建厦门·二模）如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北张家口·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 6．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北衡水·模拟预测）上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 8．（2026·河北沧州·三模）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度7cm．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量旗杆的高度 测量目标示意图 相关数据 米，， 设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邢台·二模）若，则________． 14．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_______________． 15．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 16．（2026·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，，，与相交于点M，N． （1）_______度； （2）的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2026·河北承德·二模）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（8分）（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 19．（8分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 20．（8分）（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形．如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是时（即），窗户打开的的度数为，过点A作，垂足为点D． (1)求此时的长； (2)求此时的值．（参考数据：） 21．（9分）（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 22．（9分）（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 23．（11分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 24．（12分）（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在中，．点是的中点，点为直线上一点，过点作交直线于点，连接． (1)当时，的长为 ； (2)点在线段上移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，求的值，若改变，请说明理由； (3)连接，交于点，当点将线段分为的两部分时，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数的定义列方程，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 3．（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）在中，，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由得到，求出，然后求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴ ∴ ∴． 4．（2026·福建厦门·二模）如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设下降的高度为，则下降前后的水平距离为，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为，则下降前后的水平距离为． 依题意，得， 解得或（舍去）， ∴他沿斜坡向下滑行时，下降的高度为． 5．（2026·河北张家口·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【详解】解：由图可知： ， ∴， ∴平分，， 故①对②错． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、求正弦等知识．设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为，根据正方形的边长求出,用勾股定理求出矩形的对角线长，根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为， 由题意可知，, ∴, ∴矩形的对角线长为， ∴， 故选：A 7．（2025·河北衡水·模拟预测）上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】过点B作于点N，解直角三角形可求得的长；再根据直角三角形的性质可得，从而求得的长． 【详解】解：由已知得，（海里），，， ∴， 过点B作于点N， 在直角中，（海里）， 在直角中，（海里）， 即B处与小岛M的距离为海里． 8．（2026·河北沧州·三模）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由四边形是菱形，得，，，可得,再结合为的中点，得，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，. 9．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 【答案】A 【分析】分别根据两方案数据计算的值即可． 【详解】解：方案一：∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 方案二：过点G作交于点F， 可知四边形是矩形， ∴，米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 无数据，无法判断树高度； 即能计算出树高度的是方案一． 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度7cm．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正切、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：如图，延长，交直线于点， 由题意得：，，，， 设，则， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为 的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C ． 11．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量旗杆的高度 测量目标示意图 相关数据 米，， 设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，设旗杆的高度米，根据解直角三角形表示出，的长，根据即可列出方程． 【详解】解：设旗杆的高度米， ∵， ∴在中，（米）， ∵， ∴在中，（米）， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 12．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】由题意不难得到，则有，可判断是等腰三角形，则不难判断①和②正确；易证，则有，再根据，，从而得到，利用相似三角形的性质可判断③错误；由此可知正确的结论有2个． 【详解】解：由题意可得，，，为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴点为的中点， ∴垂直平分线段， 故选项①，②正确，符合题意； 在和中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项③错误，不符合题意； ∴正确的结论有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，解题的关键是对相似三角形的判定与性质的灵活运用． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邢台·二模）若，则________． 【答案】7 【详解】解：由特殊锐角的三角函数值可知：． 已知因此可得 得． 14．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_______________． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：取格点D，使， ∴， ∴． 故答案为： 15．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得，结合已知可判定四边形为平行四边形，从而得出；利用平行线的性质得出，最后在中利用三角函数求解的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ． 16．（2026·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，，，与相交于点M，N． （1）_______度； （2）的长为_______． 【答案】 90 【分析】（1）根据多边形内角和定理得出正六边形每个内角的度数为：，再由等边对等角及三角形内角和定理即可求解； （2）过点B作，根据三角函数得出，确定，再由正切函数确定，即可求解． 【详解】解：（1）正六边形每个内角的度数为：， ∵， ∴， ∴； （2）过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 同理：， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2026·河北承德·二模）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3)8 【详解】（1）解： ；···················2分 （2）解： ；··················4分 （3）解： ．··················7分 18．（8分）（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴；··················4分 （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴．··················8分 19．（8分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行四边形的性质和直角三角形的全等来证明线段相等，并利用三角函数的定义来求解． 根据平行四边形的性质可得，，再根据，，得出，得到，再根据已知条件求出即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ，··················4分 ，， ， ．··················8分 20．（8分）（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形．如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是时（即），窗户打开的的度数为，过点A作，垂足为点D． (1)求此时的长； (2)求此时的值．（参考数据：） 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 对于（1），设，根据勾股定理得，求出x可得答案； 对于（2），作，设，根据勾股定理得，求出，可得，进而求出，再根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：在中，， 设，根据勾股定理，得 ， 即， 解得（负值舍去）， ∴；··················4分 （2）解：过点B作，交于点G 在中，， 设，根据勾股定理，得 ， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， ∴．··················8分 21．（9分）（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 【答案】(1)证明：， ， ． ， ， ， 又，， ． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等得到，再结合，，由即可证明； （2）过点C作于点H，由勾股定理求出，再根据，即可求点C到的距离． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ， ， 又，， ．·················4分 （2）解：如图，过点C作于点H． ， ，， ， ， ， ， ∴点C到的距离为．·················9分 22．（9分）（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C．·················2分 （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大；·················6分 （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，．·················9分 23．（11分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：．·················3分 （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：．·················6分 ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为．·················11分 24．（12分）（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在中，．点是的中点，点为直线上一点，过点作交直线于点，连接． (1)当时，的长为 ； (2)点在线段上移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，求的值，若改变，请说明理由； (3)连接，交于点，当点将线段分为的两部分时，求的长． 【答案】(1) (2)解：的大小不发生改变． 在中， ∴． 如图①，分别过点作于点于点． ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴据中位线定理可得， ， ， ． ， ， ， ∴在中，； (3)的长为或 【分析】（1）先根据勾股定理求得，结合题意可得是的中位线，即可求解； （2）分别过点作于点于点．证明，根据相似三角形的性质可得，进而根据正切的定义，即可求解； （3）分两种情况讨论，情况一：当点在点的右侧时；情况二：当点在点的左侧时，根据点将线段分为的两部分，结合相似三角形的性质以及正切的定义，即可求解． 【详解】（1）解：在中， ∴． 当时， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴·······························3分 （2）解：的大小不发生改变． 在中， ∴． 如图①，分别过点作于点于点． ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴据中位线定理可得， ， ， ． ， ， ， ∴在中，；······························6分 （3）解：如图①，设，由（2）可得， 为的中点，， ， ， ． 情况一：当点在点的右侧时， ， ，， 由（2）可得， ， ， ． 如图①，过点作，交于点， ． ∵点将线段分成， ∴当时， 则， ． ， 解方程得，即； 情况二：如图②，当点在点的左侧时， ， ， 由情况一可得， ， 过点作，交的延长线于点， ． ∵点将线段分成， 当时，则， ． ， ， 解方程得，即． 综上所述，当点将线段分为的两部分时，的长为或．······························12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 解直角三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 3．（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）在中，，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建厦门·二模）如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北张家口·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 6．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北衡水·模拟预测）上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 8．（2026·河北沧州·三模）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 10．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度7cm．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量旗杆的高度 测量目标示意图 相关数据 米，， 设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论①；②垂直平分线段；③；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邢台·二模）若，则________． 14．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为_______________． 15．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 16．（2026·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，，，与相交于点M，N． （1）_______度； （2）的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2026·河北承德·二模）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（8分）（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 19．（8分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 20．（8分）（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形．如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是时（即），窗户打开的的度数为，过点A作，垂足为点D． (1)求此时的长； (2)求此时的值．（参考数据：） 21．（9分）（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 22．（9分）（24-25九年级下·上海长宁·期中）某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 23．（11分）（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 24．（12分）（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在中，．点是的中点，点为直线上一点，过点作交直线于点，连接． (1)当时，的长为 ； (2)点在线段上移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，求的值，若改变，请说明理由； (3)连接，交于点，当点将线段分为的两部分时，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $