23.4解直角三角形 初中数学九年级上册同步讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“解直角三角形的应用”核心知识点，系统梳理坡度坡角（坡度与坡角关系i=tanα）、仰角俯角（视线与水平线夹角）、方向角（方位角辨别与转化）三类题型，搭建从三角函数基础到实际问题解决的学习支架。 资料以真实情境（如卫星发射、风力发电测量）设计典例与变式，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过推理转化构建直角三角形模型，发展运算能力与模型意识。课中辅助教师高效授课，课后通过过关验收题助力学生巩固提升，查漏补缺。

第23章 23.4 解直角三角形 内 容 导 航 题型1 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 题型2 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 题型3 解直角三角形的应用-方向角问题 考 点 演 练 题型1 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解｜题｜知｜识 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【典例1】如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinα， 则AB（米）， 故选：D． 【变式1】如图，在平地和在山坡上树木的株距（相邻两棵树之间的水平距离）均为4m，已知山坡的坡度为0.5，则山坡上相邻两棵树之间的坡面距离为（　　） A． B． C． D．8m 【答案】B 【解答】解：∵山坡的坡度为0.5，AB＝4m， ∴AC＝0.5×4＝2m， 在Rt△ABC中，， 故选：B． 【变式2】一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（　　） A．5cos31° B．5sin31° C．5cot31° D．5tan31° 【答案】B 【解答】解：∵sin31°． ∴钢球距地面的高度是5•sin31°． 故选：B． 【变式3】如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　） A．9 B．15 C．6 D．9 【答案】D 【解答】解：过点A作AG⊥BH，垂足为G．如图． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°． ∵∠CBH＝30°， ∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBH＝60°． 在Rt△AGB中， ∵sin∠ABG， ∴AG＝AB•sin∠ABG ＝18•sin60° ＝18 ＝9（cm）． 故选：D． 题型2 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解｜题｜知｜识 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 【典例1】2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 【答案】A 【解答】解：由题意得：， ∴AL＝asinθ千米， 故选：A． 【变式1】如图，一名运动员正准备射击空中的飞碟，某一时间段，飞碟在空中的飞行路径近似于直线，在飞碟从点M飞行到点N的过程中，运动员从点P处观察飞碟的仰角将（　　） A．增大 B．减小 C．先增大，后减小 D．先减小，后增大 【答案】C 【解答】解：在飞碟从点M飞行到点N的过程中， 当飞碟从点M行驶到目标P的正下方的过程中，仰角逐渐增大， 飞到P的正下方时，仰角最大， 再继续飞到N点的过程中，仰角又逐渐减小． 故选：C． 【变式2】如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（　　） A．1200米 B．2400米 C．400米 D．1200米 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝∠α＝30°，AC＝1 200， ∴AB＝2AC＝2 400（米）． 故选：B． 【变式3】“十次事故九次快，超速行驶害三代！”安全行驶警钟长鸣．交警在某次交通检查中，使用无人机检测汽车经过某隧道的平均速度．如图，无人机悬停在隧道的正上方，高度为90米（保持静止）．当汽车刚进入隧道时，无人机测得俯角α＝60°；当汽车完全离开隧道时，无人机测得俯角β＝30°．若汽车通过隧道的时间为10秒，则汽车通过隧道的平均速度为　　 米/秒（结果保留根号） 【答案】． 【解答】解：如图， ∵α＝60°， ∴∠ACD＝α＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD， ∴AD2+DC2＝AC2， 即902+DC2＝（2DC）2， ∴， ∵β＝30°， ∴∠ABD＝30° ∴AB＝2AD＝180， ∴AD2+DB2＝AB2 即902+DB2＝1802， 解得， ∴BC＝CD+BD＝120， ∴12010＝12（米/秒）， 答：汽车通过隧道的平均速度为12米/秒． 故答案为：． 题型3 解直角三角形的应用-方向角问题 解｜题｜知｜识 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【典例1】如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　） A．400米 B．（100100）米 C．（100100）米 D．（100100）米 【答案】B 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D． 由题意可得∠ABD＝30°，∠ACB＝45°， 在Rt△ABD中，AB＝200米，∠ABD＝30°， ∴sin30°，cos30°， 解得AD＝100，BD， 在Rt△ACD中，∠ACB＝45°， 则AD＝CD＝100米， ∴BC＝BD+CD＝（100）米． 故选：B． 【变式1】如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（1）海里．观测站B到AC的距离BP是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解答】解：由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°， ∵BP⊥AC， ∴∠BPA＝∠BPC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴△BCP是等腰直角三角形， ∴BP＝PC， ∵∠BAC＝30°， ∴PABP， ∵PA+PC＝AC， ∴BPBP1， 解得：BP＝1（海里）， 故选：B． 【变式2】如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40min后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向上，则此时货轮与灯塔B的距离为　　 海里．（结果保留根号） 【答案】． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则∠CDA＝∠CDB＝90°， 由题意可得：（海里）， ∵∠A＝45°， ∴（海里）， ∵∠BCN＝75°， ∴∠B＝∠BCN﹣∠A＝30°， ∴（海里）， 故答案为：． 【变式3】如图，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上．如果AB＝200米，那么点P到直线AB距离PC为　　 米． 【答案】． 【解答】解：如图，过P作PC⊥AB，交AB延长线于点C， 由题意得，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°， ∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝30°， ∴∠PAB＝∠P， ∴PB＝AB＝200米， 在Rt△BCP中，∠PBC＝60°， ∴∠BPC＝30°， ∴米， 由勾股定理可得：（米）， ∴点P到直线AB距离PC为米， 故答案为：． 过 关 验 收 1．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶534m高的山峰（即DF的长度为534m），由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟． （参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【答案】（1）384m； （2）18min． 【解答】解：（1）如图，过B点作BC⊥AE于C， 则四边形BEFC是矩形， 由山底A处先步行300m到达B处，山坡AB的坡角为30°，DF的长度为534m， ∴∠A＝30°，AB＝300m， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴， ∴DE＝DF﹣EF＝384m， 答：登山缆车上升的高度384m； （2）在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∠DBE＝53°，DE＝384m， ∴（m）， ∴， 答：从山底A处到达山顶处大约需要18min． 2．学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 【答案】博学楼DE的高度约为9米． 【解答】解：如图：过点E作EF⊥AB，垂足为F， 由题意得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF， ∴∠GAE＝∠AEF＝22°， 设CD＝x米，则EF＝BD＝BC+CD＝（x+15）米， 在Rt△DCE中，∠ECD＝42°， ∴DE＝CD•tan42°x（米）， ∴DE＝BFx米， 在Rt△AEF中，∠AEF＝22°， ∴AF＝EF•tan22°（x+15）米， ∵AF+BF＝AB， ∴（x+15）x＝19， 解得：x＝10， ∴DEx＝9（米）， ∴博学楼DE的高度约为9米． 3．利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视．2022年9月，河南省发改委下发《关于2022年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知》，共73个风电项目进入河南省新能源前期项目库．风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．王丹同学站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，她又沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现当一叶片到达最高位置时，测得叶片的顶端D的仰角是45°（点D、C、H在同一直线上）．已知塔杆CH的高为60米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求叶片DC的长度．（答案精确到0.1米，参考数据：tan55°≈1.4，cos55°≈0.6，sin55°≈0.82） 【答案】35.9米． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥DH于点E，则GH＝BE，BG＝EH＝10． 在Rt△CAH中，， ∴（米）， ∴BE＝GH＝GA+AH＝43+42.9＝85.9（米）， ∵∠DBE＝45°， ∴△DBE是等腰直角三角形， ∴DE＝BE＝85.9米． ∵CH＝60米， ∴CE＝CH﹣EH＝60﹣10＝50（米）， ∴DC＝DE﹣CE＝85.9﹣50＝35.9（米）． 答：叶片DC的长度约为35.9米． 4．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E， 则GH＝BE、BG＝EH＝10米， 设AH＝x米，则BE＝GH＝GA+AH＝（43+x）米， 在Rt△ACH中，CH＝AHtan∠CAH＝x•tan55°（米）， ∴CE＝CH﹣EH＝（x•tan55°﹣10）米， ∵∠DBE＝45°， ∴BE＝DE＝CE+DC，即43+x＝x•tan55°﹣10+35， 解得：x≈45， ∴CH＝x•tan55°＝1.4×45＝63（米）， 答：塔杆CH的高为63米． 5．古树名木是中华民族悠久历史与文化的象征．据悉，在兰州树龄1000年以上古树仅有4棵，分别为七里河区工人文化宫两棵唐槐（树龄约1320年），红古区张家寺村寺庙旁文成槐（树龄约1300年），榆中县定远镇矿湾村龙泉寺旁圆柏（树龄约1000年）．某数学兴趣小组开展测量工人文化宫其中一棵唐槐高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表： 活动课题 测量唐槐（AB）高度（唐槐有围栏保护，测量小组无法到达其底部） 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量工具 自制测倾器、皮尺等 方案示意图 测量步骤 （1）利用测倾器站在F处，测得唐槐最高点A的仰角为45°；（2）前进6米到达D处，测得A点的仰角为37°． 说明 CD、EF为测倾器的支杆，在测量过程中CD、EF、唐槐AB均与水平面DB垂直，且D、F、B共线. 测量数据 ∠ACG＝37°，∠AEG＝45°，CD＝EF＝2米，DF＝6米 参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75 根据以上表中的测量方案及其数据，计算唐槐AB的高度（结果保留整数）． 【答案】唐槐AB的高度约为20米． 【解答】解：∵CD、EF、唐槐AB均与水平面DB垂直且D、F、B共线， ∴CE＝DF＝6米，CD＝EF＝BG＝2米， 在Rt△AGE中，∠AEG＝45°， ∴AG＝EG， 在Rt△ACG中，∵∠ACG＝37°， ∴tan∠ACG＝tan37°0.75， ∴AG＝18， ∴唐槐AB的高度为AG+BG＝18+2＝20（米）． 答：唐槐AB的高度约为20米． 6．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F， 在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°， ∴CO＝AO•tan60°＝100（米）． 设PE＝x米， ∵tan∠PAB， ∴AE＝2x． 在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100x，PF＝OA+AE＝100+2x， ∵PF＝CF， ∴100+2x＝100x， 解得x． 答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）． 7．A，B两市相距150km，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα＝1.627，tanβ＝1.373．已知风景区是以C为圆心，45km为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接A，B两市的高速公路，问高速公路AB是否穿过风景区，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：AB不穿过风景区．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于点D， 根据题意得，∠ACD＝α，∠BCD＝β， 在Rt△ACD中，tanα，即AD＝CD•tanα， 在Rt△BCD中，tanβ，即BD＝CD•tanβ， ∵AD+DB＝AB， ∴CD•tanα+CD•tanβ＝AB， ∴CD50（km）． ∵CD＝50＞45， ∴高速公路AB不穿过风景区． 8．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC＝12海里）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在直角△ACM，∠CAM＝45度，则△ACM是等腰直角三角形， 则AC＝CM＝12（海里）， ∴BC＝AC﹣AB＝12﹣4＝8（海里）， 直角△BCN中，CN＝BC•tan∠CBNBC＝8（海里）， ∴MN＝CN﹣CM＝（812）（海里）． 答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是（812）海里． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 23.4 解直角三角形 内 容 导 航 题型1 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 题型2 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 题型3 解直角三角形的应用-方向角问题 考 点 演 练 题型1 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解｜题｜知｜识 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 【典例1】如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．米 【变式1】如图，在平地和在山坡上树木的株距（相邻两棵树之间的水平距离）均为4m，已知山坡的坡度为0.5，则山坡上相邻两棵树之间的坡面距离为（　　） A． B． C． D．8m 【变式2】一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（　　） A．5cos31° B．5sin31° C．5cot31° D．5tan31° 【变式3】如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB＝18cm，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（　　） A．9 B．15 C．6 D．9 题型2 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解｜题｜知｜识 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 【典例1】2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　） A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米 【变式1】如图，一名运动员正准备射击空中的飞碟，某一时间段，飞碟在空中的飞行路径近似于直线，在飞碟从点M飞行到点N的过程中，运动员从点P处观察飞碟的仰角将（　　） A．增大 B．减小 C．先增大，后减小 D．先减小，后增大 【变式2】如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（　　） A．1200米 B．2400米 C．400米 D．1200米 【变式3】“十次事故九次快，超速行驶害三代！”安全行驶警钟长鸣．交警在某次交通检查中，使用无人机检测汽车经过某隧道的平均速度．如图，无人机悬停在隧道的正上方，高度为90米（保持静止）．当汽车刚进入隧道时，无人机测得俯角α＝60°；当汽车完全离开隧道时，无人机测得俯角β＝30°．若汽车通过隧道的时间为10秒，则汽车通过隧道的平均速度为 米/秒（结果保留根号） 题型3 解直角三角形的应用-方向角问题 解｜题｜知｜识 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【典例1】如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　） A．400米 B．（100100）米 C．（100100）米 D．（100100）米 【变式1】如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（1）海里．观测站B到AC的距离BP是（　　） A． B．1 C．2 D． 【变式2】如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40min后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向上，则此时货轮与灯塔B的距离为 海里．（结果保留根号） 【变式3】如图，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上．如果AB＝200米，那么点P到直线AB距离PC为　 米． 过 关 验 收 1．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶534m高的山峰（即DF的长度为534m），由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）． （1）求登山缆车上升的高度DE； （2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟． （参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 2．学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 3．利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视．2022年9月，河南省发改委下发《关于2022年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知》，共73个风电项目进入河南省新能源前期项目库．风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．王丹同学站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，她又沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现当一叶片到达最高位置时，测得叶片的顶端D的仰角是45°（点D、C、H在同一直线上）．已知塔杆CH的高为60米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求叶片DC的长度．（答案精确到0.1米，参考数据：tan55°≈1.4，cos55°≈0.6，sin55°≈0.82） 4．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6） 5．古树名木是中华民族悠久历史与文化的象征．据悉，在兰州树龄1000年以上古树仅有4棵，分别为七里河区工人文化宫两棵唐槐（树龄约1320年），红古区张家寺村寺庙旁文成槐（树龄约1300年），榆中县定远镇矿湾村龙泉寺旁圆柏（树龄约1000年）．某数学兴趣小组开展测量工人文化宫其中一棵唐槐高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表： 活动课题 测量唐槐（AB）高度（唐槐有围栏保护，测量小组无法到达其底部） 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量工具 自制测倾器、皮尺等 方案示意图 测量步骤 （1）利用测倾器站在F处，测得唐槐最高点A的仰角为45°；（2）前进6米到达D处，测得A点的仰角为37°． 说明 CD、EF为测倾器的支杆，在测量过程中CD、EF、唐槐AB均与水平面DB垂直，且D、F、B共线. 测量数据 ∠ACG＝37°，∠AEG＝45°，CD＝EF＝2米，DF＝6米 参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75 根据以上表中的测量方案及其数据，计算唐槐AB的高度（结果保留整数）． 6．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式） 7．A，B两市相距150km，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα＝1.627，tanβ＝1.373．已知风景区是以C为圆心，45km为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接A，B两市的高速公路，问高速公路AB是否穿过风景区，请说明理由． 8．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC＝12海里）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $