专题23.1测量（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

专题 23.1测量 教学目标 1.在探索的基础上掌握科学的测量方法。 2.掌握利用相似三角形测量物体高度的方法（影子法、镜子反射法、标杆法）。 3.掌握利用勾股定理、解直角三角形测量物体高度和距离的方法。 4.培养运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学建模思想。 教学重难点 1.重点 （1）利用相似三角形进行测量 （2）利用勾股定理进行测量 （3）将实际问题抽象为数学问题 2.难点 （1）设计测量方案并构造相似三角形 （2）分段影长、反射等综合问题的处理 （3）用解直角三角形测量实际高度 知识点01：利用相似三角形进行测量 利用相似三角形可以解决一些不易直接测量的物体（如旗杆、楼房）的高度问题，原理都是构造相似三角形并利用相似三角形的性质（对应边成比例）。常见测量方法： 测量方法 操作要点 原理 影子法 同一时刻测量人和物体的影长 同一时刻物高与影长成比例，构造相似三角形 镜子反射法 测量人到镜子的距离、物体到镜子的距离 光的反射角相等，构造相似三角形 标杆法 标杆顶端、旗杆顶端、人眼在同一直线上 视线形成相似三角形，对应边成比例 【即学即练】 1．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 知识点02：利用勾股定理进行测量 1.数学中的测量需要伴随着数学运算，勾股定理是实际测量中经常用到的知识。 2.数学中的测量工具一般有：刻度尺、测角仪等。 3.方法：把实际问题抽象为直角三角形，利用勾股定理求边长，进而得到物体高度或距离。 【即学即练】 2．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】13 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示：表示大树，表示小树，过点作，垂足为， 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 知识点03：测量的一般思路 1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为相似三角形或直角三角形问题）。 2.根据条件特点，选用相似三角形性质或勾股定理、三角函数求解。 3.得到数学答案，检验后得到实际问题的答案。 4.注意：同一时刻物高与影长成比例时，两物体应同时、同一地点测量，保证相似关系成立。 【即学即练】 3．根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 【答案】 【分析】先根据光的反射定律，得出，再证明，结合两个三角形相似的性质，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角， ∴的余角等于的余角，即， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 同理，由光的反射定律可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∴． 题型01 利用影子法测量高度 同一时刻物高与影长成比例，列比例式求物体高度。 【典例1】. （25-26九年级上·江苏南通·期末）已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据物高与影长的比值为，利用比例关系直接计算塔高，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设塔高为米，由题意得， 解得， 故答案为：． 【变式1】. （25-26九年级下·全国·课前预习）如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为，由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴树的高度为， 故答案为：． 【变式2】. （2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【答案】9 【详解】由题意知：， ， 由平行投影知：， ， ， ， 即， 解得：， 则旗杆的长为． 【变式3】. （2026·河北唐山·二模）如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图．光线与地面所成的角，落在教室地面的影长米．若窗户的下檐到教室地面的距离米，则窗户的上檐到教室地面的距离为（   ） A．2米 B．3米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】先利用平行得到，结合30度所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴米． 题型02 利用镜子反射法测量高度 利用光的反射角相等构造相似三角形，由人到镜子的距离、物体到镜子的距离及人的高度列比例式。 【典例2】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（     ） A．12m B．10m C．15m D．18m 【答案】A 【分析】由镜面反射满足“入射角等于反射角”，可得，再由小明和旗杆垂直地面可得，由两组角对应相等得，然后由相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， ∴即， 解得． 故选A． 【变式1】. （26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 【答案】A 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，， ， 由镜面反射，可知， ， ， ，，， ， . 故路灯的高度为. 【变式2】. （25-26九年级上·北京顺义·期末）数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ∴， 又∵， ， ， ， ， 答：旗杆的高为， 故答案为：12． 【变式3】. （25-26九年级上·全国·期末）天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 【答案】雕像的高度为米． 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，再结合条件求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即， ∴雕像的高度为米． 题型03 利用标杆（标尺）测量高度 使标杆顶端、物体顶端、人眼在同一直线上，作垂线构造相似三角形，由对应边成比例求高度。 【典例3】. （25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意并利用相似三角形的判定与性质求解是关键．先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：，， ， ，， 解得． 故选：A． 【变式1】. （25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（  ） A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，找出图中的相似三角形是解题的关键． 通过证明，得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵ ∴， ∴，即， 解得米， 故选：B． 【变式2】. （24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，综合实践活动课中，小明同学用自制的直角三角形模具测量树的高度，他调整自己的位置，让斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，，测得边DF高地面高度，，则树高为_____． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的实际应用，正确掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据，证明得，代入数值计算出，即可求出树高． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴ ，即 ， 解得， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】. （26-27九年级上·山东济南·阶段检测）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）证明，，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解即可； （2）根据可推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，将标杆向右平移到点处， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴标杆与“真身宝塔”的距离的值为米； （2）解：由（1）知：，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴“真身宝塔”的高度是米． 题型04 利用勾股定理测量 把实际问题抽象为直角三角形，设未知数表示线段，利用勾股定理列方程求解。 【典例4】. （26-27八年级上·全国·课后作业）小明家买了一台的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有长和宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 【答案】 不同意小明的想法，售货员没有搞错. ∵ 电视机的尺寸指屏幕对角线的长度，单位为英寸，且. ∴55英寸对应的对角线长度为（）. 设该电视屏幕实际对角线长为， 由勾股定理得 （）。 ∵屏幕长宽的测量存在合理误差，实际对角线长度与55英寸对应的标准长度基本一致. ∴ 售货员没有搞错. 答：不同意小明的想法，售货员没有搞错，该电视机屏幕对角线长度约为55英寸，与标注尺寸相符. 【分析】先将标注的55英寸换算为对角线的厘米长度，再利用勾股定理计算屏幕实际对角线长度，对比两者即可判断． 【详解】略． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距；过了，测得汽车与他相距．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这的平均速度吗？（分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？） 【答案】 蓝方汽车这的平均速度为 【分析】过王叔叔的位置作公路的垂线段，结合两次测量的距离构造直角三角形，利用勾股定理求出汽车行驶的路程，进而计算平均速度． 【详解】解：设王叔叔的位置为点，东西向公路为直线， 过点作，垂足为点，设后汽车的位置为点，点，均在直线上， 由题意得，， ∵， ∴为直角三角形，， 在中，，， ∴（） ∴汽车内行驶的路程， ∴平均速度为（）， 答：蓝方汽车这的平均速度为． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》） 题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图）．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．这根绳索有多长？ 将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长a，弦长与股长的差为d，求弦长c． (1)试用a，d表示c； (2)查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法． 【答案】(1) (2)《九章算术》解决这类问题的思路与方法： 《九章算术》采用算术方法，通过勾股定理推导出公式：． 具体步骤为：设绳索长为x尺，则木杆高为（）尺，根据勾股定理得 解得尺 此方法体现了古代数学家将几何问题代数化、公式化的智慧． 【分析】（1）已知勾长a和弦股之差d，需将股长用c和d表示，代入勾股定理公式中，通过代数变形消去b，从而解出c． （2）探究《九章算术》的解题思想，其核心是将几何问题转化为代数问题（方程思想）．解题时需设未知数（绳索长），根据“绳索长－拖地长=木杆高”表示出股长，再结合勾长，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：设直角三角形的勾长为a，弦长为c，股长为b． 已知弦与股的差为d，即，所以， 根据勾股定理： （2）略 【变式3】. （26-27八年级上·辽宁锦州·阶段检测）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）识别直角三角形，利用绳子总长建立两条绳长的数量关系，设未知数，用勾股定理列方程求解竖直距离； （2）定滑轮离地高度恒定，结合物体上升高度求出滑轮与物体间绳段长度，得到滑块侧斜绳长，再次使用勾股定理求出新水平距离，作差得到滑块滑动距离． 【详解】（1）解：由题意可知，，即为直角三角形，． 已知滑块与物体的水平距离，绳子总长度为，因此斜段绳长满足． 设，则． 在中，由勾股定理可得： 代入数值： 解得：． ． （2）解：由题意得，点D是定滑轮A在地面轨道上的垂足， 由（1）可知定滑轮距离地面的竖直高度，该高度始终不变，， ∴定滑轮到物体的剩余绳长为：． 由于绳子总长度保持不变， ∴滑块一侧的斜段绳长． 在中，， ∴． ∵， ∴滑块向左滑动的距离：． 题型05 利用相似三角形测河宽 构造相似三角形，利用对应边成比例或物高与影长成比例，求不易直接测量的距离。 【典例5】. （26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 【答案】B 【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设河宽米，则点P到北岸的距离为米， 由题意得，米，米， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为米． 【变式1】. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图1，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔有一棵树，小奥站在离南岸的点M处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一艘船的船头和船尾（假设船头、船尾和小奥的眼睛位于同一水平面内），根据题意画出的示意图如图2所示，已知船长，该船行驶在河的中心，且船与河岸平行，请你求出河的宽度． 【答案】 【分析】过点M作于点F，并延长交于点E，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于点F，并延长交于点E， 根据题意得：， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即河的宽度为． 【变式2】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 【变式3】. （2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的点为参照点，又在他们所在的岸边选择了点为参照点，且与河岸垂直，测量示意图如图所示，在点处竖起标杆，小颖沿着直线后退至点时，小颖眼睛看到参照点与标杆的顶端恰好在同一直线上，继续后退至点时，小颖眼睛看到标杆顶端与参照点恰好在同一条直线上．已知点，，，，共线，，，，测得，，．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】 【分析】由，，，得，所以，，所以，，即，，设，，则，，然后通过得，整理得，即，最后整体代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴（米）， ∴河宽为米． 题型06 测量方案的实际应用（综合） 综合运用相似三角形、勾股定理、解直角三角形知识，设计合理测量方案并准确计算，注意单位统一与结果取舍。 【典例6】. （2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 【变式1】. （25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，相似三角形实际应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先得出相似三角形，再列出比例求解即可． 【详解】解：根据题意，， ∴ ∴， ∴， 解得：（）， ∴的长为． 【变式2】. （2025九年级上·全国·专题练习）小军想利用所学知识测量一建筑物的高度，如图，他拿着一根长为的木棒站在离建筑物的地方（即点到的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住建筑物（即，，在一条直线上，、、在一条直线上）时，点到木棒的距离为．已知，，求建筑物的高度． 【答案】建筑物的高度为50米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， ， 由题意得：厘米，40厘米，米， ， ，， ， ， ， 解得， 答：建筑物的高度为50米 【变式3】. （26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 【答案】锦江亭的高度为 【分析】由可得，从而证得，，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，得到，即可用含的式子表示的长，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得， 锦江亭的高度为． 1．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 【答案】10.5 【分析】先根据垂直于同一直线的两直线平行得到，进而证明 ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，代入已知数据计算即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ． 2．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 先证明，得到，代入求值即可解答． 【详解】解：由题意及图，得 ，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 3．小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 4．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 【答案】3 【分析】本题考查了平面镜反射和相似三角形的应用，根据题意得出是解题关键．由已知得，则根据相似三角形的性质可得，解答即可． 【详解】解：由题意知：， ∵于点B，于点D， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：3． 5．某天下午，天气晴朗，小兵与他的朋友同时站在操场上．小兵身高，他的影子长度是．他朋友的影子长度比他的影子长度短，那么他的朋友有多高？ 【答案】他的朋友身高为 【分析】设他的朋友身高为，根据身高和影长比相等，即可求解． 【详解】解：设他的朋友身高为，则有 ， 解得， 故他的朋友身高为． 6．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∵太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）至少是（        ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分a的长度范围． 【详解】解：当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示， 则，，由勾股定理得：， ∴； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则； 综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为， 只有选项C中的5在范围内，故选项C符合题意． 2．已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行，船B以的速度向北航行．它们离开港口后，两船相距________． 【答案】 【分析】根据题意，两船航行方向垂直，先求出2小时后两船距离港口O的路程，再用勾股定理计算两船相距的距离． 【详解】解：如图，设船A所在的点为A，船B所在的点为B， ∵船A向东航行，船B向北航行， ∴， ∵两船航行时间为， ∴，， 根据勾股定理可得：， 即两船相距． 3．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C处与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，求的长． 【答案】（米） 【详解】解：由题意，得米，米， 在中，由勾股定理，得（米）． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.1测量 教学目标 1.在探索的基础上掌握科学的测量方法。 2.掌握利用相似三角形测量物体高度的方法（影子法、镜子反射法、标杆法）。 3.掌握利用勾股定理、解直角三角形测量物体高度和距离的方法。 4.培养运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学建模思想。 教学重难点 1.重点 （1）利用相似三角形进行测量 （2）利用勾股定理进行测量 （3）将实际问题抽象为数学问题 2.难点 （1）设计测量方案并构造相似三角形 （2）分段影长、反射等综合问题的处理 （3）用解直角三角形测量实际高度 知识点01：利用相似三角形进行测量 利用相似三角形可以解决一些不易直接测量的物体（如旗杆、楼房）的高度问题，原理都是构造相似三角形并利用相似三角形的性质（对应边成比例）。常见测量方法： 测量方法 操作要点 原理 影子法 同一时刻测量人和物体的影长 同一时刻 与 成比例，构造相似三角形 镜子反射法 测量人到镜子的距离、物体到镜子的距离 光的 相等，构造相似三角形 标杆法 标杆顶端、旗杆顶端、人眼在同一直线上 视线形成相似三角形，对应边 【即学即练】 1．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 知识点02：利用勾股定理进行测量 1.数学中的测量需要伴随着数学运算，勾股定理是实际测量中经常用到的知识。 2.数学中的测量工具一般有：刻度尺、测角仪等。 3.方法：把实际问题抽象为直角三角形，利用勾股定理________求边长，进而得到物体高度或距离。 【即学即练】 2．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 知识点03：测量的一般思路 1.将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 或 ）。 2.根据条件特点，选用相似三角形性质或勾股定理、三角函数求解。 3.得到数学答案，检验后得到实际问题的答案。 4.注意：同一时刻物高与影长成比例时，两物体应同时、同一地点测量，保证相似关系成立。 【即学即练】 3．根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 题型01 利用影子法测量高度 同一时刻物高与影长成比例，列比例式求物体高度。 【典例1】. （25-26九年级上·江苏南通·期末）已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 【变式1】. （25-26九年级下·全国·课前预习）如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 【变式2】. （2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【变式3】. （2026·河北唐山·二模）如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图．光线与地面所成的角，落在教室地面的影长米．若窗户的下檐到教室地面的距离米，则窗户的上檐到教室地面的距离为（   ） A．2米 B．3米 C．米 D．米 题型02 利用镜子反射法测量高度 利用光的反射角相等构造相似三角形，由人到镜子的距离、物体到镜子的距离及人的高度列比例式。 【典例2】. （26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（     ） A．12m B．10m C．15m D．18m 【变式1】. （26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 【变式2】. （25-26九年级上·北京顺义·期末）数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 【变式3】. （25-26九年级上·全国·期末）天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 题型03 利用标杆（标尺）测量高度 使标杆顶端、物体顶端、人眼在同一直线上，作垂线构造相似三角形，由对应边成比例求高度。 【典例3】. （25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，为标杆在路灯下的影子，已知标杆高为2.4米，影长为3米，标杆与路灯的水平距离为6米，则路灯的高度为（  ） A．6.48米 B．7.2米 C．8.1米 D．9.6米 【变式2】. （24-25九年级上·山东济南·阶段检测）如图，综合实践活动课中，小明同学用自制的直角三角形模具测量树的高度，他调整自己的位置，让斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，，测得边DF高地面高度，，则树高为_____． 【变式3】. （26-27九年级上·山东济南·阶段检测）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 题型04 利用勾股定理测量 把实际问题抽象为直角三角形，设未知数表示线段，利用勾股定理列方程求解。 【典例4】. （26-27八年级上·全国·课后作业）小明家买了一台的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有长和宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距；过了，测得汽车与他相距．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这的平均速度吗？（分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？） 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》） 题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图）．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．这根绳索有多长？ 将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长a，弦长与股长的差为d，求弦长c． (1)试用a，d表示c； (2)查阅资料，了解《九章算术》解决这类问题的思路与方法． 【变式3】. （26-27八年级上·辽宁锦州·阶段检测）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 题型05 利用相似三角形测河宽 构造相似三角形，利用对应边成比例或物高与影长成比例，求不易直接测量的距离。 【典例5】. （26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 【变式1】. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图1，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔有一棵树，小奥站在离南岸的点M处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一艘船的船头和船尾（假设船头、船尾和小奥的眼睛位于同一水平面内），根据题意画出的示意图如图2所示，已知船长，该船行驶在河的中心，且船与河岸平行，请你求出河的宽度． 【变式2】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【变式3】. （2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的点为参照点，又在他们所在的岸边选择了点为参照点，且与河岸垂直，测量示意图如图所示，在点处竖起标杆，小颖沿着直线后退至点时，小颖眼睛看到参照点与标杆的顶端恰好在同一直线上，继续后退至点时，小颖眼睛看到标杆顶端与参照点恰好在同一条直线上．已知点，，，，共线，，，，测得，，．请根据相关测量信息，求河宽． 题型06 测量方案的实际应用（综合） 综合运用相似三角形、勾股定理、解直角三角形知识，设计合理测量方案并准确计算，注意单位统一与结果取舍。 【典例6】. （2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【变式1】. （25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 【变式2】. （2025九年级上·全国·专题练习）小军想利用所学知识测量一建筑物的高度，如图，他拿着一根长为的木棒站在离建筑物的地方（即点到的水平距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住建筑物（即，，在一条直线上，、、在一条直线上）时，点到木棒的距离为．已知，，求建筑物的高度． 【变式3】. （26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 1．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 2．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 3．小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 4．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 5．某天下午，天气晴朗，小兵与他的朋友同时站在操场上．小兵身高，他的影子长度是．他朋友的影子长度比他的影子长度短，那么他的朋友有多高？ 6．如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽，已知亮区一边到窗下的墙脚距离，窗高，那么窗口底边离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）至少是（        ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行，船B以的速度向北航行．它们离开港口后，两船相距________． 3．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C处与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，求的长． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $