专题23.2 直角三角形的性质 （高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

专题23.2 直角三角形的性质 教学目标 1.理解并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质。 2.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质（30°所对直角边等于斜边的一半）。 3.会运用直角三角形的性质解决求值、求角与证明问题。 4.经历性质探究与证明过程，发展推理能力与几何直观。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形斜边上的中线的性质 （2）含30°角的直角三角形的性质 （3）运用性质解决求值、求角问题 2.难点 （1）性质逆命题的理解与运用 （2）性质的综合应用与几何证明 （3）与等边三角形、菱形、折叠等结合的综合问题 【即学即练】 知识点01：直角三角形的基本性质 1.直角三角形的两个锐角 。 2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）： 。 3.直角三角形的判定：有一个角是 三角形是直角三角形；两锐角 的三角形是直角三角形。 【即学即练】 1．已知一个直角三角形两边长为2和3，则第三边长为（     ） A． B． C．或 D．5 知识点02：直角三角形斜边上的中线的性质 1.定理：直角三角形斜边上的中线等于 。 2.符号语言：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，∴。 3.逆命题（真命题）：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。该结论在选择、填空题中可直接使用，解答题需证明。 4.推论：直角三角形斜边上的中线把该直角三角形分成两个等腰三角形，可运用等腰三角形性质求角。 【即学即练】 1．如图，已知，D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 知识点03：含30°角的直角三角形的性质 1.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 。 2.符号语言：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴。 3.三边比：含30°角的直角三角形的三边长（从小到大）之比为1∶∶2。 4.注意：此定理的两个条件缺一不可——①在直角三角形中；②其中一个锐角是30°。 5.逆命题（真命题）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角等于30°。 【即学即练】 1．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 知识点04：直角三角形的性质汇总 性质 内容 符号语言 图例 两锐角互余 直角三角形的两个锐角互余 ∠A＋∠B＝90° 勾股定理 两直角边的平方和等于斜边的平方 斜边中线 斜边上的中线等于斜边的一半 30°角性质 30°所对直角边等于斜边的一半 【即学即练】 1．如图，菱形中，对角线交于点O，点F是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 题型01 利用斜边中线的性质求线段 斜边上有中点时，连接中点与直角顶点构造斜边中线，由求线段长。 【典例1】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，是的中线，若，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式1】. （26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，两条公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 【变式2】. （26-27九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点是边的中点，连接． (1)求菱形的周长； (2)求菱形一边上的高，并求线段的长． 题型02 利用30°角的性质求线段 在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，设未知数列方程或直接代入求边。 【典例2】. （26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，在中，，，，则边的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边的垂直平分线，，若，，则的长是________． 【变式3】. （26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，是边上的中线． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型03 利用勾股定理求边长 由两直角边平方和等于斜边平方，结合已知边求未知边，注意斜边与直角边的区分。 【典例3】. （26-27八年级上·山西太原·阶段检测）已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，，垂足为．若 ，，则 的长为_____． 【变式2】. （26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，，则的周长为________． 【变式3】. （26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）已知在中，，若，则___________ 题型04 利用斜边中线求角 斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，借助等腰三角形底角相等与外角性质求角。 【典例4】. （26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，菱形中，交于，于，连接，若，则________． 【变式3】. （26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）等腰三角形一边上的高是该边的一半，那么这个三角形的顶角的度数是多少__________． 题型05 利用性质证明线段倍分关系 构造斜边中线或运用30°角性质，将线段倍分关系转化为相等或比例关系加以证明。 【典例5】. （26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点D是的中点，则___________． 【变式1】. （26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在Rt中，． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 【变式3】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知：在中，，，于D． (1)求的度数； (2)求证：． 题型06 折叠问题中的直角三角形性质 利用折叠前后对应边相等、对应角相等，结合勾股定理与直角三角形性质设未知数列方程。 【典例6】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，折叠矩形的一边使点落在边上的点处，已知，，求、的长． 【变式1】. （2026·甘肃陇南·一模）如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为_____． 【变式2】. （25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，，，是的中线，将沿折叠，点的对应点为点，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【变式3】. （25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 题型07直角三角形性质与四边形综合 连接对角线构造直角三角形，或利用菱形、矩形中的直角三角形，运用中线、30°角性质求值求角。 【典例7】. （26-27九年级上·福建三明·阶段检测）如图，中，，是的中点，过点作，且，连接、．求证：四边形是菱形．     【变式1】. （26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中， ，，分别为边 ，的中点，连接，求证：． 【变式2】. （26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式3】. （26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点О，点E为中点，点F，点G在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 题型08直角三角形性质解决实际问题 将实际问题（航行、梯子、测量等）抽象为直角三角形，运用中线或30°角性质建立关系求解。 【典例8】. （26-27九年级上·重庆·阶段检测）某城市快递公司设有中转站A，以及三个配送点B，C，D．如图，A，B，C，D在同一平面内．已知配送点B位于中转站A的北偏西方向处，配送点C位于中转站A的正北方向，且位于配送点B北偏东方向，配送点D位于中转站A的正东方向，经测量，C、D两配送点间的距离为．（参考数据：） (1)求中转站A到配送点D的距离； (2)快递员甲从中转站A出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点D出发到中转站A取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好等于快递员甲离中转站A的距离的3倍时，求快递员甲离中转站A的距离．（结果精确到0.1） 【变式1】. （22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条 (1)分别求出三张长方形纸条的长度； (2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，纸条恰好全部用完，此正方形美术作品的周长为多少厘米？ 【变式2】. （25-26八年级下·广西南宁·期末）如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车轮半径忽略不计），，均与地面平行．请按要求完成下列任务： (1)判断支架与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，过点F作交的延长线于N，延长交于M，若的长度为，，求购物车把手F到的距离．（结果精确到，，） 【变式3】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题探究】 (1)如图1，在矩形中，点E、F分别是、边上的动点，连接，点M是的中点，连接、．若，． ①的长为______； ②求的最小值． 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某农场的示意图，是一条小路，的中点O处有一口灌溉水井，现要在该农场内修一个蔬菜储藏室P，再沿、分别修两条小路，沿铺设地下水管，要求，且地下水管的长度尽可能地短．已知，，求地下水管长度的最小值．（小路、地下水管的宽度和水井、储藏室的大小均忽略不计） 一、单选题 1．如图，在中，，是边上的中线，则的长是（     ） A． B． C． D．17 2．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2），栏杆从水平位置绕点O顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（     ）米 A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，在四边形中，，，延长、相交于点E．已知，，则的长为（     ） A．7 B．9 C． D． 二、填空题 4．如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°． 5．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则_____． 6．在中，，，，则的长度为______． 三、解答题 7．已知直角三角形的两条直角边长分别为6、8．求斜边上的中线的长． 8．如图，在中，为的中点，为的中点，为的中点．若，求的长． 9．如图，是的角平分线，，是，的高，连接，交于点O． (1)试说明：垂直平分． (2)，，，，求的长． 1．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，等腰直角三角形中，斜边的长为，点为的中点，为边上的动点，交于，点为中点，当点从点运动到点时，点经过的路径长为______． 3．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为________ ． 4．如图中，是边上的高线，是边上的中线，点G为中点，． (1)求证：； (2)若的面积为，，则的面积为________． 5．【问题提出】在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点为的中点，作射线交于点， (1)探究：与的数量关系． ①【特殊化】当点与点重合时，容易发现和的数量关系：______； ②【一般化】如图所示，判断与的数量关系，并说明理由； (2)【应用】当，时，求长． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.2 直角三角形的性质 教学目标 1.理解并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质。 2.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质（30°所对直角边等于斜边的一半）。 3.会运用直角三角形的性质解决求值、求角与证明问题。 4.经历性质探究与证明过程，发展推理能力与几何直观。 教学重难点 1.重点 （1）直角三角形斜边上的中线的性质 （2）含30°角的直角三角形的性质 （3）运用性质解决求值、求角问题 2.难点 （1）性质逆命题的理解与运用 （2）性质的综合应用与几何证明 （3）与等边三角形、菱形、折叠等结合的综合问题 【即学即练】 知识点01：直角三角形的基本性质 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）：。 3.直角三角形的判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；两锐角互余的三角形是直角三角形。 【即学即练】 1．已知一个直角三角形两边长为2和3，则第三边长为（     ） A． B． C．或 D．5 【答案】C 【分析】未明确直角三角形的斜边，需结合斜边最长的性质分类讨论． 【详解】解：直角三角形中斜边最长，分两种情况计算第三边． 当长为的边为斜边，长为的边为直角边时，第三边长为． 当长为和的边均为直角边时，第三边长为． 故第三边长为或． 知识点02：直角三角形斜边上的中线的性质 1.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.符号语言：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，∴。 3.逆命题（真命题）：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。该结论在选择、填空题中可直接使用，解答题需证明。 4.推论：直角三角形斜边上的中线把该直角三角形分成两个等腰三角形，可运用等腰三角形性质求角。 【即学即练】 1．如图，已知，D为边的中点，点A，B对应的刻度分别为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解，再由直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵，D为边的中点， ∴． 知识点03：含30°角的直角三角形的性质 1.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.符号语言：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴。 3.三边比：含30°角的直角三角形的三边长（从小到大）之比为1∶∶2。 4.注意：此定理的两个条件缺一不可——①在直角三角形中；②其中一个锐角是30°。 5.逆命题（真命题）：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角等于30°。 【即学即练】 1．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，结合可得，再利用含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：∵墙与地面垂直， ， ， ， ， ， ． 知识点04：直角三角形的性质汇总 性质 内容 符号语言 图例 两锐角互余 直角三角形的两个锐角互余 ∠A＋∠B＝90° 勾股定理 两直角边的平方和等于斜边的平方 斜边中线 斜边上的中线等于斜边的一半 30°角性质 30°所对直角边等于斜边的一半 【即学即练】 1．如图，菱形中，对角线交于点O，点F是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：点F是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据直角三角形的性质和勾股定理求解，然后求解菱形的对角线长，再由菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ∴ ， 四边形的面积为． 题型01 利用斜边中线的性质求线段 斜边上有中点时，连接中点与直角顶点构造斜边中线，由求线段长。 【典例1】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，是的中线，若，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵，是的中线 ∴ ∵ ∴． 【变式1】. （26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，两条公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为______． 【答案】2 【详解】解：、互相垂直，则， 为斜边 的中点， ． 【变式2】. （26-27九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图所示，已知，点为边的中点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，点为的中点， ， ， ． 【变式3】. （26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点是边的中点，连接． (1)求菱形的周长； (2)求菱形一边上的高，并求线段的长． 【答案】(1)20 (2)菱形一边上的高为， 【分析】（1）利用菱形的性质和勾股定理求出，然后求解即可； （2）设菱形一边上的高为h，利用菱形面积公式求出，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴ ∴菱形的周长； （2）解：设菱形一边上的高为h ∴菱形的面积 ∴ ∴ ∴菱形一边上的高为； ∵，点是边的中点 ∴． 题型02 利用30°角的性质求线段 在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，设未知数列方程或直接代入求边。 【典例2】. （26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，在中，，，，则边的长为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用含度角直角三角形性质求出斜边，再利用勾股定理计算． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵在中有， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 【变式2】. （26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边的垂直平分线，，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，，根据等边对等角可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可以求出，根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 【变式3】. （26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，是边上的中线． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：因为是边上的中线， 所以． 在和中， ，，， 所以， 所以． 因为， 所以，即 (2) 【分析】（1）根据证明，得出，求出即可； （2）由得，然后根据求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵是边上的中线， ∴． 在中，，， 所以（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半）． 由勾股定理得，即， 解得（负值舍去）． 题型03 利用勾股定理求边长 由两直角边平方和等于斜边平方，结合已知边求未知边，注意斜边与直角边的区分。 【典例3】. （26-27八年级上·山西太原·阶段检测）已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长为6，8， ∴斜边长为， ∴ 解得． 【变式1】. （26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，，垂足为．若 ，，则 的长为_____． 【答案】 【分析】根据三线合一可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 在中， 【变式2】. （26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，，则的周长为________． 【答案】7 【分析】利用勾股定理求出的长，根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 【变式3】. （26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）已知在中，，若，则___________ 【答案】 【分析】直接利用勾股定理即可计算的长度． 【详解】解：， ， ，， ， 是的边， ． 题型04 利用斜边中线求角 斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，借助等腰三角形底角相等与外角性质求角。 【典例4】. （26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质得到，再由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，为边上的中线， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 【变式2】. （26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，菱形中，交于，于，连接，若，则________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可知，，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得出，进而得到，，再利用三角形内角和定理与外角的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ∵， 在中，， ，， ， ， ． 【变式3】. （26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）等腰三角形一边上的高是该边的一半，那么这个三角形的顶角的度数是多少__________． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：①高在底边上、②高在锐角三角形的腰上、③高在钝角三角形的腰上，利用等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设是一个等腰三角形，且，则的顶角是． ①如图，高在底边上，是边上的高，则， ∵，， ∴， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴顶角； ②如图，高在锐角三角形的腰上，是边上的高，则， ∵， ∴， 取的中点，连接， ∴在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角； ③如图，高在钝角三角形的腰上，是边上的高，则， 取的中点，连接， 同理可得：， ∴， ∴顶角； 综上，这个等腰三角形的顶角的度数是或或． 题型05 利用性质证明线段倍分关系 构造斜边中线或运用30°角性质，将线段倍分关系转化为相等或比例关系加以证明。 【典例5】. （26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点D是的中点，则___________． 【答案】5 【分析】先根据含角的直角三角形的性质求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算的长． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴， ∵，为的中点， ∴． 【变式1】. （26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在Rt中，． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）利用面积法求解即可； （2）在中，运用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 【变式2】. （26-27八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，为的垂直平分线，求证：． 【答案】证明：如图，连接． 为的垂直平分线， ， ． 又，， ， ， ， ． 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，确定，，再利用直角三角形的性质，证明即可． 【详解】证明：略． 【变式3】. （26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知：在中，，，于D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴ ∴． 【分析】（1）根据同角的余角相等证明求解即可； （2）根据30度直角三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 题型06 折叠问题中的直角三角形性质 利用折叠前后对应边相等、对应角相等，结合勾股定理与直角三角形性质设未知数列方程。 【典例6】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，折叠矩形的一边使点落在边上的点处，已知，，求、的长． 【答案】， 【分析】由矩形的折叠可得，，在中，利用勾股定理建立三角形三边关系式，求出的长度，从而计算出的长度；在中，利用勾股定理建立方程，解方程得的长度． 【详解】 解：由矩形的折叠可得：，， 在中，，则 ， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 【变式1】. （2026·甘肃陇南·一模）如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为_____． 【答案】2 【分析】由折叠得，，，，证明是等边三角形，得，，可求出，故可得． 【详解】解：由折叠得，，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，，，是的中线，将沿折叠，点的对应点为点，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵在中，，是的中线， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，从而可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理得出，从而可得，由平行线的性质可得，再由等边对等角得出，即可得证； （2）由勾股定理可得，延长和交于点，作于点，由（1）可得，证明，得出，，由折叠的性质可得，从而可得，由等面积法求出，由勾股定理可得，再由等腰三角形的性质得出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，，， ∴， 如图，延长和交于点，作于点， 由（1）可得：， ∵，， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)，证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； (2)四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 题型07直角三角形性质与四边形综合 连接对角线构造直角三角形，或利用菱形、矩形中的直角三角形，运用中线、30°角性质求值求角。 【典例7】. （26-27九年级上·福建三明·阶段检测）如图，中，，是的中点，过点作，且，连接、．求证：四边形是菱形．     【答案】证明：，， 四边形是平行四边形． 中，，是的中点， ． 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． 【分析】先根据一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形；再利用直角三角形斜边中线定理得到；最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形完成证明． 【详解】略 【变式1】. （26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中， ，，分别为边 ，的中点，连接，求证：． 【答案】证明：如下图所示，连接、， ，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ． 【分析】连接、根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立． 【详解】略 【变式2】. （26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由四边形是菱形,得， ；由得；再由，得,四边形是平行四边形；又因为，即可得证四边形是矩形； （2）由四边形是菱形,得，因为所以，在和中根据勾股定理建立方程计算出，回代到三边关系即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴，， 在和中有：， 即， 解得， ∴． 【变式3】. （26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点О，点E为中点，点F，点G在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴点O为的中点， ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2)2 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，再结合平行四边形和矩形的性质可得，根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：为的中位线， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型08直角三角形性质解决实际问题 将实际问题（航行、梯子、测量等）抽象为直角三角形，运用中线或30°角性质建立关系求解。 【典例8】. （26-27九年级上·重庆·阶段检测）某城市快递公司设有中转站A，以及三个配送点B，C，D．如图，A，B，C，D在同一平面内．已知配送点B位于中转站A的北偏西方向处，配送点C位于中转站A的正北方向，且位于配送点B北偏东方向，配送点D位于中转站A的正东方向，经测量，C、D两配送点间的距离为．（参考数据：） (1)求中转站A到配送点D的距离； (2)快递员甲从中转站A出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点D出发到中转站A取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好等于快递员甲离中转站A的距离的3倍时，求快递员甲离中转站A的距离．（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，求出，根据含的直角三角形可得，再根据勾股定理即可求解； （2）设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为，根据题意可得，，再由勾股定理可得，最后由求出的值即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得． （2）解：设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为， ∵快递员甲和快递员乙的速度之比是， ∴相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比是， ∴， ∵两快递员的直线距离恰好等于快递员甲离中转站A的距离的3倍， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴快递员甲离中转站A的距离为． 【变式1】. （22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图1，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条 (1)分别求出三张长方形纸条的长度； (2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，纸条恰好全部用完，此正方形美术作品的周长为多少厘米？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质与判定求出每个纸条的长； （2）将（1）中相关数据相加，易得长方形纸条的总长度，从而计算出正方形美术作品的边长，再计算周长即可． 【详解】（1）解：如图， ∵是等腰直角三角形，，是斜边上的高， ∴，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∵斜边上的高线四等分， ∴纸条的宽度为：， 根据纸条平行可得， ∴， ∴， 同理，，， ∴3张长方形纸条的长度分别为：，，； （2）解：由（1）知，3张长方形纸条的总长度为， 如图2，正方形美术作品的边长为：， ∴周长为， 答：正方形美术作品的周长为． 【变式2】. （25-26八年级下·广西南宁·期末）如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车轮半径忽略不计），，均与地面平行．请按要求完成下列任务： (1)判断支架与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，过点F作交的延长线于N，延长交于M，若的长度为，，求购物车把手F到的距离．（结果精确到，，） 【答案】(1)，理由如下： ， ∴是直角三角形，且， ． (2) 【分析】（1）通过已知的线段的长，利用勾股定理的逆定理说明是直角三角形，即证垂直关系； （2）利用平行关系得到，利用特殊角求出对应高度，再通过等面积法求出，加上的长即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由题意，可知， ∴，点到的距离等于， ， ， ， ， 即购物车把手到的距离约为． 【变式3】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题探究】 (1)如图1，在矩形中，点E、F分别是、边上的动点，连接，点M是的中点，连接、．若，． ①的长为______； ②求的最小值． 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某农场的示意图，是一条小路，的中点O处有一口灌溉水井，现要在该农场内修一个蔬菜储藏室P，再沿、分别修两条小路，沿铺设地下水管，要求，且地下水管的长度尽可能地短．已知，，求地下水管长度的最小值．（小路、地下水管的宽度和水井、储藏室的大小均忽略不计） 【答案】(1)①17；②的最小值为13 (2)地下水管长度的最小值为 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线，斜边中线定理及三角形三边不等关系，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，三角形中位线，斜边中线定理及三角形三边不等关系是解题的关键； （1）①由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； ②连接，由题意易得，则有，然后根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当三点共线时取等号，进而问题可求解； （2）取的中点，连接，由题意易得，，，则根据三角形中位线可得，然后可得，根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当三点共线时取等号，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，， ∴， ∴； ②连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当三点共线时取等号， ∴的最小值为13； （2）解：取的中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当三点共线时取等号， ∴地下水管长度的最小值为． 一、单选题 1．如图，在中，，是边上的中线，则的长是（     ） A． B． C． D．17 【答案】B 【分析】直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴． 2．某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为4米（如图2），栏杆从水平位置绕点O顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了（     ）米 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】过点作于点D，根据旋转的性质得到米，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点D， 由旋转的性质可得米， 在中，， ∴米， ∴栏杆端点升高了2米． 3．如图，在四边形中，，，延长、相交于点E．已知，，则的长为（     ） A．7 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形两锐角互余得出，由含30度直角三角形的性质得出，，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值，利用开平方法解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：，负值舍去， 即的长为：． 二、填空题 4．如图，在中，是斜边上的中线，，则_________°． 【答案】18 【分析】先求解，结合直角三角形斜边上的中线可得，进一步可得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 5．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则_____． 【答案】 【分析】连接，先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出和，再根据线段垂直平分线的性质求出，从而推出，最后根据中角所对的边等于斜边的一半求出的长,从而得到的长． 【详解】解：如图，连接． ，， , 的垂直平分线是， ， ， ， ， ， ， ． 6．在中，，，，则的长度为______． 【答案】或 【详解】分两种情况：当是锐角三角形时；当是钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当是锐角三角形时，如图：过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 当是钝角三角形时，如图：过点作，交的延长线于点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 综上所述：的长度为或． 三、解答题 7．已知直角三角形的两条直角边长分别为6、8．求斜边上的中线的长． 【答案】斜边上的中线的长为. 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的性质求出斜边上的中线的长． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 所以，斜边上的中线的长． 8．如图，在中，为的中点，为的中点，为的中点．若，求的长． 【答案】20 【分析】先由三角形中位线定理得到，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，， ∴ ∵为的中点， ∴． 9．如图，是的角平分线，，是，的高，连接，交于点O． (1)试说明：垂直平分． (2)，，，，求的长． 【答案】(1)证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点D在线段的垂直平分线上， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分； (2)的长为10 【分析】（1）首先根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，进而证明结论； （2）设，由（1）知，根据三角形面积公式解得的值，进而可得，然后根据“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，由（1）知， ， ，即， 整理可得，解得， ， 在中，，， ． 答：的长为10． 1．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 2．如图，等腰直角三角形中，斜边的长为，点为的中点，为边上的动点，交于，点为中点，当点从点运动到点时，点经过的路径长为______． 【答案】 【分析】连接，作，，，证明得，即得，进而根据梯形中位线性质得到，即得到点的运动路线为的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，连接，作于，于，于， ∵为等腰直角三角形，，为中点， ∴，，，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理为等腰直角三角形，， ∴， ∵为中点，，，， ∴为梯形的中位线， ∴，即点到的距离为， ∴点的运动路线为的中位线， ∵当在点时，在点，为中点；当在点时，在点，为中点， ∴点经过的路径长． 3．如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为________ ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质找到等角或等边，在三角形中利用勾股定理求解． 【详解】解：由及旋转性质可知， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴为的中垂线， ∴， ∴为等边三角形， ∵在中由勾股定理得，即， ∴， ∵， ∵， 又D为中点， ∴， ∴在中由勾股定理得，即． 故的长为． 4．如图中，是边上的高线，是边上的中线，点G为中点，． (1)求证：； (2)若的面积为，，则的面积为________． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵ 是 边上的高线， ∴ ，即 是直角三角形． ∵ 是 边上的中线， ∴ 点 是 的中点，即 是 斜边 上的中线， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． ∵ 点 是 的中点， ∴ ． (2)． 【分析】（1）由 知 是直角三角形，点 是斜边 的中点，由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得 ，结合 得 ，故 是等腰三角形，再由三线合一得 ； （2）设 、，由 的面积求出 ； 是 的中线，得 ； 是 的中线，得 ；两者相减得 ，再由 是 的中点得 ． 【详解】（1）略． （2）解：∵ ， ∴ 设 ，，则 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 是 边上的中线， ∴ ． ∵ 点 是 的中点， ∴ 是 的中线， ∴ ． ∴ ． ∵ 点 是 的中点， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 5．【问题提出】在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点为的中点，作射线交于点， (1)探究：与的数量关系． ①【特殊化】当点与点重合时，容易发现和的数量关系：______； ②【一般化】如图所示，判断与的数量关系，并说明理由； (2)【应用】当，时，求长． 【答案】(1)①（或）．理由： 当D与B重合时，， 将绕A逆时针旋转得到， ∵， ∴， ∴是腰长为的等腰直角三角形，； 同时P是即的中点， 在等腰中，斜边中线， ∴（或）． ②与的关系是或，理由： 与的关系是：，延长到，使，连接，，如图2所示： ， 在中，， ，． ，点为的中点， ∴， ∵， ∴． ，， ，． 是的外角， ． ． 由旋转的性质得：，， ， ． 在和中， ， ∴△MDA≌△BAE（SAS）． ，． 又∵． ． (2)． 【分析】（1）①对于特殊化情形，直接代入点D与B重合的条件，结合中点性质和旋转性质，推导与的数量关系．②对于一般化情形，延长到点M，使，连接，，首先利用旋转的性质得到，结合已知，推导与相等，证明与全等，得到与的数量关系． （2）当Ｄ在上时，当Ｄ在延长线上时，分两种情况解答．由，结合（1）结论知，，根据等腰直角三角形性质证明，得到，证明，由，得，即得． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：当Ｄ在上时， ∵，∴由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，​ 当D在延长线上时， ∵， ∴由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为6． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $