专题22.4 位似图形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学位似图形核心知识点，系统梳理从概念（位似与相似的联系区别、位似中心、位似比）到性质（对应点连线过中心、距离比等于位似比、周长面积比规律），再到作图步骤（确定中心、连接关键点、按比截取）及坐标系中坐标变换规律的递进学习支架。 资料亮点在于“即学即练”与“典例+变式”结合，通过图形辨析培养几何直观（数学眼光），坐标变换分类讨论强化推理意识（数学思维），网格作图与实际问题提升应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固重难点，查漏补缺。

专题22.4 位似图形 教学目标 教学目标： 1. 理解位似图形、位似中心、位似比的概念，分清位似和相似的联系与区别。 2. 掌握位似图形的性质，可以判断位似图形，能够找出位似中心，完成线段、周长、面积计算。 3. 掌握位似图形作图方法，掌握以原点为位似中心的坐标变化规律，会求位似变换后的点坐标。 4. 能区分平移、轴对称、旋转、位似四种图形变换，会解决简单位似综合与实际问题。 教学重难点 重点 （1）位似图形概念辨析，位似图形的性质 （2）位似图形作图，找位似中心、计算位似比 （3）原点为位似中心的坐标变换规律，相关计算 （4）位似图形周长、面积计算 难点 （1）区分相似图形与位似图形，识别复杂图形中的位似关系 （2）原点位似坐标问题，不漏掉同侧、异侧两种情况 （3）位似中心不在原点时的简单坐标推算 （4）位似与几何结合的多解、分类讨论题型 知识点 01：位似图形的概念 1. 定义：两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线 ，这样的图形叫做位似多边形，这个公共交点叫做 。 2. 位似比：位似图形的相似比也叫 ，位似比具有顺序性。 3. 位似与相似的关系：位似一定是相似，相似不一定是位似；位似是一种具备特殊位置关系的相似。 4. 位似中心位置：可以在图形外部、图形内部、图形边上，也可以在图形的顶点上。 【即学即练】 1．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 知识点 02：位似图形的性质 1. 位似图形一定相似，对应角 ，对应边 。 2. 各组对应顶点的连线（或延长线）必须经过 。 3. 任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 4. 不经过位似中心的对应线段互相平行或者共线。 5. 周长之比等于位似比；面积之比等于位似比的平方。 【即学即练】 1．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 知识点 03：位似图形的作图步骤 1. 确定位似中心。 2. 连接位似中心与原图各个关键点（顶点），必要时延长。 3. 按照给定位似比，在射线上截取得到各对应关键点。 4. 顺次连接新得到的各对应点，完成位似图形绘制。 5. 注意：同一个原图、同一个位似中心，可以作出位似中心同侧、异侧两套位似图形。 【即学即练】 1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． (1)画出线段； (2)将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 知识点 04：平面直角坐标系中的位似变换（原点为位似中心） 1. 若位似中心为坐标原点，位似比为，原图形上点坐标为，则对应点坐标为 或者 。 2. ，图形放大；，图形缩小；符号只控制图形所处方位，不改变大小。 3. 无特殊说明时，原点位似存在同侧、异侧两组解，需要分类讨论。 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别为,． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为2:1（A，的对应点分别是）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（的对应点分别是）． (3)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．在AB上找一点，使． 题型 01 判断识别位似图形 同时满足“图形相似+全部对应顶点连线交于同一点”两个条件才是位似图形。 【典例1】.（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 题型 02 寻找位似中心 连接两组对应顶点并延长，交点即为位似中心，注意存在多解情况。 【典例2】.（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式2-1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-2】.（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【变式2-3】.（25-26九年级上·浙江温州·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型 03 位似图形线段长度计算 利用位似比建立比例式求解线段，注意区分原图与像。 【典例3】.（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（2026·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【变式3-2】.（2026·山西吕梁·二模）如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【变式3-3】.（2026·浙江温州·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型 04 位似图形周长相关计算 位似图形周长之比等于位似比。 【典例4】.（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【变式4-1】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【变式4-2】.（22-23八年级下·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-3】.（2026·山西阳泉·三模）如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 题型 05 位似图形面积相关计算 面积之比等于位似比的平方；已知面积比求线段要开平方。 【典例5】.（2026·山东潍坊·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【变式5-3】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 题型 06 按条件作位似图形 确定位似中心，连接关键点，按位似比取对应点，注意同侧、异侧两种画法。 【典例6】.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形，以点为位似中心画一个四边形，使四边形与四边形位似，且相似比为（保留画图痕迹，不写画法）． 【变式6-1】.（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 【变式6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 【变式6-3】.（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； (2)作出线段AC上的点D，使 ． 题型 07位似结合网格格点综合计算 网格中先确定位似中心，再结合勾股定理求线段，再利用位似性质计算。 【典例7】.（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． (2)以O为位似中心，作，使与的相似比为2． (3)用无刻度直尺过点向画垂线段． 【变式7-1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的； (3)在（2）的条件下，若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是________． 【变式7-2】.（25-26九年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【变式7-3】.（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 一、单选题 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 2．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，与是位似图形，点为位似中心，且．若的面积为8，则的面积是（     ） A．9 B．12 C．16 D．18 二、填空题 4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 5．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 6．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 三、解答题 7．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 8．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 9．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； (2)以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； (3)利用网格图，过点向画垂线． 1．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 3．如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 4．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）    (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； (2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． (3)图3中，在线段上画一个点，使． 5．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)在图①中，以C为位似中心，相似比为，请画出放大后的； (2)在图②中的线段上找到一点M，使； 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.4 位似图形 教学目标 教学目标： 1. 理解位似图形、位似中心、位似比的概念，分清位似和相似的联系与区别。 2. 掌握位似图形的性质，可以判断位似图形，能够找出位似中心，完成线段、周长、面积计算。 3. 掌握位似图形作图方法，掌握以原点为位似中心的坐标变化规律，会求位似变换后的点坐标。 4. 能区分平移、轴对称、旋转、位似四种图形变换，会解决简单位似综合与实际问题。 教学重难点 重点 （1）位似图形概念辨析，位似图形的性质 （2）位似图形作图，找位似中心、计算位似比 （3）原点为位似中心的坐标变换规律，相关计算 （4）位似图形周长、面积计算 难点 （1）区分相似图形与位似图形，识别复杂图形中的位似关系 （2）原点位似坐标问题，不漏掉同侧、异侧两种情况 （3）位似中心不在原点时的简单坐标推算 （4）位似与几何结合的多解、分类讨论题型 知识点 01：位似图形的概念 1. 定义：两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于同一点，这样的图形叫做位似多边形，这个公共交点叫做位似中心。 2. 位似比：位似图形的相似比也叫位似比，位似比具有顺序性。 3. 位似与相似的关系：位似一定是相似，相似不一定是位似；位似是一种具备特殊位置关系的相似。 4. 位似中心位置：可以在图形外部、图形内部、图形边上，也可以在图形的顶点上。 【即学即练】 1．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 知识点 02：位似图形的性质 1. 位似图形一定相似，对应角相等，对应边成比例。 2. 各组对应顶点的连线（或延长线）必须经过位似中心。 3. 任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 4. 不经过位似中心的对应线段互相平行或者共线。 5. 周长之比等于位似比；面积之比等于位似比的平方。 【即学即练】 1．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 知识点 03：位似图形的作图步骤 1. 确定位似中心。 2. 连接位似中心与原图各个关键点（顶点），必要时延长。 3. 按照给定位似比，在射线上截取得到各对应关键点。 4. 顺次连接新得到的各对应点，完成位似图形绘制。 5. 注意：同一个原图、同一个位似中心，可以作出位似中心同侧、异侧两套位似图形。 【即学即练】 1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． (1)画出线段； (2)将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 【答案】(1)线段如图所示； (2)线段如图所示； (3)线段如图所示． 【分析】（1）在直角坐标系中标出点A、B，再连接即可； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再连接即可； （3）连接、，分别取、的中点，再连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 知识点 04：平面直角坐标系中的位似变换（原点为位似中心） 1. 若位似中心为坐标原点，位似比为，原图形上点坐标为，则对应点坐标为或者。 2. ，图形放大；，图形缩小；符号只控制图形所处方位，不改变大小。 3. 无特殊说明时，原点位似存在同侧、异侧两组解，需要分类讨论。 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别为,． (1)以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为2:1（A，的对应点分别是）； (2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（的对应点分别是）． (3)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．在AB上找一点，使． 【答案】(1) 与位似的，如图即为所求； (2)将逆时针旋转得，如图即为所求； (3)如图，点即为所求． 【分析】本题主要考查作图-位似变换，相似三角形的判定与性质，作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质与位似的性质是解题关键． （1）先根据位似图形性质得到A、C的对应点，然后顺次连接即可得解； （2）根据旋转性质找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可得解； （3）取格点，连接，交于点，则，得，故点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型 01 判断识别位似图形 同时满足“图形相似+全部对应顶点连线交于同一点”两个条件才是位似图形。 【典例1】.（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【变式1-1】.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】.（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式1-3】.（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 题型 02 寻找位似中心 连接两组对应顶点并延长，交点即为位似中心，注意存在多解情况。 【典例2】.（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 【变式2-1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【变式2-2】.（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 【变式2-3】.（25-26九年级上·浙江温州·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 题型 03 位似图形线段长度计算 利用位似比建立比例式求解线段，注意区分原图与像。 【典例3】.（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 【变式3-1】.（2026·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形一定是相似图形，且对应边的比等于位似比，通过观察网格图确定与的长度求出位似比，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：由图可知，，， 以原点为位似中心，将放大后得到， ， ， ， ． 【变式3-2】.（2026·山西吕梁·二模）如图是视力表中的一部分，图中左上角的“E”与右下角的“E”是位似图形，位似中心为点O，已知，，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，解题关键是掌握位似变换的性质．先求出相似比，再进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由图可知，，，三点在同一条直线上， ∴． 【变式3-3】.（2026·浙江温州·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应线段成比例列式计算可得的长，再根据平行四边形的性质即可得解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，，， ，即， ， ，解得， ， 四边形是平行四边形， ． 题型 04 位似图形周长相关计算 位似图形周长之比等于位似比。 【典例4】.（25-26八年级下·吉林·期末）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 【变式4-1】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴的周长为4． 【变式4-2】.（22-23八年级下·重庆铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与关于原点位似， ∴， ∵， ∴和的相似比是2， ∴， ∵的周长为2， ∴的周长为4． 【变式4-3】.（2026·山西阳泉·三模）如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 题型 05 位似图形面积相关计算 面积之比等于位似比的平方；已知面积比求线段要开平方。 【典例5】.（2026·山东潍坊·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比是 【变式5-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 【变式5-2】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， ， 的面积是4， ， ． 【变式5-3】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 题型 06 按条件作位似图形 确定位似中心，连接关键点，按位似比取对应点，注意同侧、异侧两种画法。 【典例6】.（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形，以点为位似中心画一个四边形，使四边形与四边形位似，且相似比为（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】 【分析】连接，，，，使得，，，，连接，，，即可． 【详解】解：答案不唯一. 如图，画法如下： （1）连接，，，， （2）分别在射线，，，上取点，，，，使得， （3）顺次连接，，，，得到的四边形即为所求. 【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． 【变式6-1】.（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心（保留作图痕迹）； (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1) 解：如图，位似中心即为所求． ． (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以为位似中心，相似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点，使． 【答案】(1)如图所示即为所作， (2)如图所示点即为所作， 【分析】（1）根据位似的定义解题； （2）通过构造相似三角形解题即可． 【详解】（1）解：图中，， ，， ∴， 又∵， ∴，且相似比为， 图略； （2）解：图中，，且， ∴， ∴， 图略． 【变式6-3】.（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； (2)作出线段AC上的点D，使 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，点D即为所求， 【分析】（1）因为位似中心为O，位似比为2，所以分别连接，分别延长到格点，使，再将顺次连接得到． （2）在图中取格点F和H，连，交于点D，点D即为所求； 【详解】（1）略 （2）作图，略； 理由：连， 由网格可知，， ∴， ∴， 则点D即为所求． 题型 07位似结合网格格点综合计算 网格中先确定位似中心，再结合勾股定理求线段，再利用位似性质计算。 【典例7】.（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． (2)以O为位似中心，作，使与的相似比为2． (3)用无刻度直尺过点向画垂线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至,使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，G，可得，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，则即为所求； （2）解：如图所示，则即为所求； （3）解：如图所示，取点E，连接，交于点D，则即为所求． 【变式7-1】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的； (3)在（2）的条件下，若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是________． 【答案】(1)解：如图，即为所求作； (2) 解：如图，即为所求作； (3) 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是． 【点睛】一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【变式7-2】.（25-26九年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2) 如图即为所求； ． 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2） ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】.（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)12 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：把绕点逆时针方向旋转得到； （2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； （3）的面积为． 一、单选题 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 2．如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，和是位似图形，位似中心为点O，再根据周长比等于位似比，即可求解． 【详解】解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∴， ∴． 3．如图，与是位似图形，点为位似中心，且．若的面积为8，则的面积是（     ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】先求出与的相似边之比，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴． 二、填空题 4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 【答案】 【详解】解：由和是以点为位似中心的位似图形，可知：， ∵为的中点， ∴， ∴与的面积比是． 5．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 6．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点， ∴， ∵， ∴，即：. 三、解答题 7．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 8．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 9．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； (2)以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； (3)利用网格图，过点向画垂线． 【答案】(1)如图，为所求； (2)如图，为所求； (3)如图，垂线为所求． 【分析】（1）将点A向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至，使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，可得，，，，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为， 与的相似比为， ， ， ， 当时，． 2．作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 3．如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【详解】解：连接， ∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形， 且相似比为， ∴A，G，C三点在同一条直线上，，，， ∵平行四边形 的面积为， ∴ 和 的面积都是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，同理可得 ， ∴与的面积之和为， 故答案为． 4．如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）    (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出； (2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似． (3)图3中，在线段上画一个点，使． 【答案】(1) 解：即为所求；    (2) 解：即为所求；    (3) 解：点即为所求．    【分析】本题考查了作图一位似变换：掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键． (1)延长到使，延长到使，点在点，则满足条件； (2)在上找一点，使得，即可使； (3)构建相似三角形求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)在图①中，以C为位似中心，相似比为，请画出放大后的； (2)在图②中的线段上找到一点M，使； 【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2) 如图所示，点M即为所求， (3) 如图所示，点F即为所求， 【分析】本题考查了作图-无刻度直尺在网格中的作图，解题关键利用相似三角形和锐角三角函数的定义求解． （1）延长至点，使，延长至点，使，连接，即为所求； （2）从点A向右数三格处取点D，从点B向左数两格处取点C，使得，连接，与交点M即为所求； 【详解】（1） 由格点图可知，，， ，， ∵，， ∴． （2） 由格点图可知，，，， 又∵， ∴， ∴． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $