第14讲 锐角三角函数 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第14讲 锐角三角函数 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解锐角正弦、余弦、正切的意义，会由两边求函数值 · · 熟记30°、45°、60°角的三角函数值并用于计算 · · 掌握同角三角函数关系sin2A+cos2A=1 · · 掌握互余两角三角函数关系sinA=cos(90°-A) · · 会比较锐角三角函数值的大小并求锐角范围 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数的意义 在Rt△ABC中∠C=90°，sinA=∠A的对边比斜边= cosA=∠A的邻边比斜边= tanA=∠A的对边比邻边= 三角函数值只与角的大小有关，与三角形边长无关 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，AC=8，AB=10，求sinB 解析：BC==6，sinB=== ☆ 2.特殊锐角的三角函数值 sin30°=，cos30°=，tan30°= sin45°=cos45°=，tan45°=1 sin60°=，cos60°=，tan60°= 混合运算先代入特殊角值，再按实数运算法则计算 概念辨析例题：计算sin245°-tan60°·cos30° 解析：()2-·=-=-1 ☆ 3.同角与互余两角的关系 同角：sin2A+cos2A=1，tanA= 互余：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB 已知一个三角函数值可求出其余三角函数值 比较大小时先互余化同名，再由增减性判断 概念辨析例题：∠A+∠B=90°，若sinA=0.618，求cosB 解析：∠A与∠B互余，故cosB=sinA=0.618 ☆ 4.锐角三角函数的增减性与取值范围 0°~90°间，sinA、tanA随角度增大而增大，cosA随角度增大而减小 锐角范围内0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0 ∠A=45°时sinA=cosA；∠A<45°时sinA<cosA 求锐角范围可对照特殊角函数值反向确定 概念辨析例题：若0°<∠A<45°，比较sinA与cosA的大小 解析：∠A<90°-∠A，故sinA<sin(90°-∠A)=cosA 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正弦 sinA=对边/斜边= 对边比斜边 余弦 cosA=邻边/斜边= 邻边比斜边 正切 tanA=对边/邻边= 对边比邻边 同角关系 sin2A+cos2A=1 平方和为1 互余关系 sinA=cos(90°-A) 须∠A+∠B=90° 特殊角 sin30=1/2等三组值 需熟记 增减性 sin、tan增，cos减 范围0°~90° ⚠️ 核心考点 【考点1】锐角三角函数的意义（第1-9题） · · 先画图分清对边、邻边、斜边 · · 缺边先用勾股定理求出 · · 网格题借格点构造直角三角形 · · 函数值只与角大小有关 1．（2026•大姚县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数定义列式计算即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴sinB， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2026•呈贡区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知AB＝5，∠C＝90°，BC＝3，由余弦定义可得：，即可得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握余弦定义是解题的关键． 3．（2024秋•长治期末）如图，△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】在AB上取格点D，连接CD，设正方形网格中的小正方形的边长为1，由勾股定理得AD，CD，AC，利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，然后根据正弦函数的定义即可得出sinA的值． 【解答】解：在AB上取格点D，连接CD，如图所示： 设正方形网格中的小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AD，CD，AC， 在△ACD中，AD2+CD210，AC210， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴△ACD是直角三角形，即∠ADC＝90°， ∴sinA， ∴sinA的值为． 故选：C． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解正方形网格的特点，熟练掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 4．（2026•丽江二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算． 【解答】解：A、，，选项计算错误，不符合题意； B、，，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 5．（2026•邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　　 ． 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB中点得CD＝AD＝BDAB，进而得∠A＝∠DCA，根据DE＝CE得∠EDC＝∠DCA＝∠A，由三角形外角性质得∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，在Rt△ADE中根据∠A+∠AED＝90°，得∠A＝30°，设DE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得AD，然后根据正割函数的性质即可得出答案． 【解答】解：如图所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BD＝1/2AB， ∴△DAC是等腰三角形， ∴∠A＝∠DCA， ∵DE＝CE， ∴∠EDC＝∠DCA， ∴∠EDC＝∠DCA＝∠A， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是直角三角形， ∴∠A+∠AED＝90°， ∴∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 设DE＝a，则AE＝2a， 由勾股定理得：AD， ∴secA． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义是解决问题的关键． 6．（2025秋•青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点E为AC上一点，点D为BE上一点，∠ADE＝∠ABC，∠ADM＝∠BDC，若，BD＝6，则tan∠ADE的值　　 ． 【分析】根据锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及三角形内角和定理进行解答即可． 【解答】解：∵∠ADE＝∠MBD+∠MAD，而∠ABC＝MBD+∠DBC，∠ADE＝∠ABC， ∴∠MAD＝∠CBD， 又∵∠ADM＝∠BDC， ∴△ADM∽△BDC， ∴， 又∵点M是AB的中点， ∴， 在Rt△ABC中，设ABk，则BC＝3k， ∴AC2k， ∴tan∠ADE＝tan∠ABC， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，求sinA和sinB的值． 【分析】利用勾股定理得出AB的长，再利用三角函数关系得出即可． 【解答】解：根据勾股定理，得AB2， 所以sin∠A，sin∠B． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，理解锐角三角函数的定义是解决问题的前提，根据勾股定理求出斜边AB是正确解答的关键． 8．（2026秋•同步）如图，求sinα，cosβ，tanγ的值． 【分析】根据勾股定理分别求出AB，AD的长，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【解答】解： ∵AC＝2，BC＝1， ∴AB， ∴AD， ∴sinα，cosβ，tanγ． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出AB，AD是关键． 9．（2025秋•红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值． 【分析】根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【解答】解：根据题意可知，， ∴，，． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第10-14题） · · sin、tan随角增大而增大 · · cos随角增大而减小 · · sinA与cosA在45°处相等 · · 对照特殊角值反向求角范围 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可能是（　　） A．AB或CD B．AB或EF C．CD或GH D．EF或GH 【分析】根据锐角三角函数的增减性确定锐角α的取值范围，再根据题意进行判断即可． 【解答】解：∵α是锐角，sinα＞cosα， ∴45°＜α＜90°， ∴点M在正方形的边RQ上，且不与点Q，点R重合， 即点M可能在EF和GH上， 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，理解锐角三角函数的增减性是正确解答的关键． 11．（2023春•淮安月考）如果0°＜∠A＜45°，那么sinA与cosA的差（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【分析】由0°＜∠A＜45°，可得∠A＜90°﹣∠A，进而得到sinA＜sin（90°﹣∠A），再根据互余两锐角三角函数的关系进行解答即可． 【解答】解：∵0°＜∠A＜45°， ∴45°＜（90°﹣∠A）＜90°， ∴∠A＜90°﹣∠A， ∴sinA＜sin（90°﹣∠A）， 即sinA＜cosA， ∴sinA﹣cosA＜0， 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握当∠A＜90°﹣∠A时，sinA＜sin（90°﹣∠A）以及sinA＝cos（90°﹣A）是正确解答的关键． 12．（2023秋•亳州月考）观察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1（α是锐角）；③tan30°+tan45°＝tan75°，其中成立的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值逐项判断即可得出答案． 【解答】解：由正弦值随着角度的增大而增大可知sin59°＞sin28°，故①正确，符合题意； ∵α是锐角， ∴0＜cosα＜1，故②正确，符合题意； ，故③错误，不符合题意； 综上所述，成立的有①②，共2个， 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 13．（2025秋•苏州校级期中）比较大小：sin57°　＞　 sin53°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【分析】根据锐角三角函数的性质，正弦函数在0°到90°范围内是单调递增的，即可得解． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质可知：因为正弦函数在区间0°到90°上单调递增， 故sin57°＞sin53°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了锐角三角形的性质，熟练掌握锐角三角形函数的性质是解此题的关键． 14．（2025•天心区校级衔接）已知，则锐角A的取值范围是　20°＜∠A＜30°　 ． 【分析】先利用特殊角的三角函数值得到cos30°＜cosA＜cos20°，然后根据余弦的性质求解． 【解答】解：∵cos30°， ∴cos30°＜cosA＜cos20°， ∴锐角A的取值范围为20°＜∠A＜30°． 故答案为：20°＜∠A＜30°． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．也考查了特殊角的三角函数值． 【考点3】同角三角函数的关系（第15-19题） · · 牢记sin2A+cos2A=1 · · tanA= · · 知一可求其余，函数值取正 · · 混合运算先代特殊角值 15．（2025秋•沙坪坝区校级同步）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A．3 B． C． D． 【分析】根据直角三角形的边角关系以及勾股定理求出a的值，再由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由于，可设b＝k，则c＝3k， ∴a2k， ∴sinA， 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键． 16．（2023秋•洪洞县期中）在△ABC中，∠A＝90°，，则cosC的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据sin2α+cos2α＝1，进行计算即可解答． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，， ∴sin2C+cos2C＝1， ∴cos2C＝1， 解得：cosC或cosC（舍去）， ∴cosC的值是， 故选：B． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握sin2α+cos2α＝1是解题的关键． 17．（2025秋•宁国市月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 b＜a＜c ． 【分析】根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系可知： cos48°＝sin42°＜sin48°＜1，tan48°＞tan45°＝1， ∴b＜a＜c． 故答案为：b＜a＜c． 【点评】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键． 18．（2025秋•蒙城县月考）比较大小：sin42°　＜　 cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【分析】利用锐角三角函数的性质，比较sin42°和cos42°的大小． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质可知： 因为当0°＜α＜45°时，sinα＜cosα， 所以sin42°＜cos42°． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2024秋•阳谷县期中）计算： （1）tan30°•tan60°+sin245°+cos245°； （2）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°． 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按运算顺序进行计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】此题考查了实数混合运算的能力，关键是代入并计算特殊角的三角函数值． 【考点4】互余两角三角函数的关系（第20-25题） · · 互余即sinA=cosB · · 转化到同一锐角再比较 · · 一角正弦等于其余角余弦 · · 见相等角注意等角转化 20．（2025•海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解答】解：∵tanB， ∴设AC＝4x，BC＝3x， 由勾股定理得：AB5x， ∴sinA． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 21．（2025秋•萧县月考）在Rt△ABC中，，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】设AC＝2x，则AB＝5x，由勾股定理得出，再由正切的定义即可得出答案， 【解答】解：如图， ∵， ∴设AC＝2x，则AB＝5x， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及应用、勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2025秋•安化县期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB＝　　 ． 【分析】根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 23．（2025秋•池州月考）已知∠A+∠B＝90°，若sinA＝0.618，则cosB＝　0.618　 ． 【分析】根据互余角的三角函数关系，sinA＝cosB计算即可． 【解答】解：∵∠A+∠B＝90°， ∴∠A与∠B互余， 又∵sinA＝0.618， ∴cosB＝0.618． 故答案为：0.618． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的基础性质是关键． 24．（2024秋•慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 　　 ． 【分析】根据题意设BC＝3a，AB＝4a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵sinA， ∴设BC＝3a，AB＝4a， ∴ACa， ∴tanB． 故答案为：． 【点评】本题考查互余两角的三角函数关系，解题的关键是掌握三角函数的定义． 25．已知α，β为锐角，且cos（90°﹣α），cosβ，求的值． 【分析】根据sinα＝cos（90°﹣α），cosβ＝sin（90°﹣β）进行计算即可． 【解答】解：∵sinα＝cos（90°﹣α），cosβ＝sin（90°﹣β），而cos（90°﹣α），cosβ， ∴． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握同角三角函数的关系是正确解答的关键． 【考点5】特殊锐角三角函数的值（第26-31题） · · 熟记30/45/60三组函数值 · · 非负性配合特殊值可定角度 · · 混合运算按实数顺序计算 · · 结果该带根号时要保留 26．（2025•广信区校级模拟）在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是　直角三角形　 ． 【分析】先根据非负数的性质确定，继而求出∠A＝60°，∠C＝30°，即可判断三角形ABC的形状． 【解答】解：∵， ∴∠A＝60°，∠C＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴三角形ABC的形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方式的非负性，熟练掌握以上知识点是关键． 27．（2026春•莱芜区期末）计算：sin245°﹣tan60°•cos30°＝　﹣1　 ． 【分析】利用特殊锐角三角函数值列式计算即可． 【解答】解：原式＝（）2 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关特殊值是解题的关键． 28．（2026•双塔区校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则△ABC是　等边　 三角形． 【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出∠A、∠B，再根据等边三角形的判定定理解答． 【解答】解：∵sin60°，tan60°， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为：等边． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、等边三角形的判定，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 29．（2026•广州校级模拟）计算：cos30°•tan60°﹣sin45°＝　　 ．（结果保留根号） 【分析】直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 30．（2026•苏州模拟）计算：． 【分析】先根据特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键． 31．（2025秋•吉林期末）计算：． 【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式（）2+1 ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 【考点6】计算器求三角函数（第32-34题） · · 按键顺序先确认角度制 · · 已知函数值求角先按2ndF · · 近似值按精确度要求取 · · 先估算再用计算器验证 32．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是　sin28°＜tan26°＜cos27°　 （用“＜”连接）． 【分析】先用计算器求出tan26°、cos27°、sin28°的值，比较即可． 【解答】解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469， ∴sin28°＜tan26°＜cos27°． 故答案为：sin28°＜tan26°＜cos27°． 【点评】本题考查了计算器求三角函数值，掌握计算器的使用方法是解题的关键． 33．已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键 　2ndF ，再按三角函数键，最后输入 　函数值　 ，即可得到结果． 【分析】按计算器使用说明即可． 【解答】解：已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键2ndF，再按三角函数键，最后输入函数值，即可得到结果． 故答案为：2ndF；函数值． 【点评】本题主要考查了计算器使用，解题关键是正确使用． 34．已知tanB＝1.6863，求锐角B的度数（精确到1°）． 【分析】用计算器求三角函数，即可解答． 【解答】解：∵tanB＝1.6863， ∴锐角B的度数≈59°． 【点评】本题考查了用计算器求三角函数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•南宁二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，AC＝6，则BC等于（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 【分析】根据正切的定义得到BC＝2AC． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴tanA2， ∴BC＝2AC＝2×6＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解决问题的关键． 【练习 2】（2025秋•如皋市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理可求出AC的长，再根据余弦的定义“直角三角形中邻边与斜边的比”即可求出答案． 【解答】解：根据勾股定理可求出， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，求角的余弦值，正确记忆相关知识点是解题关键． 【练习 3】（2023秋•祁阳市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余弦的定义即可求得cosB的值． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴cosB， 故选：B． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记余弦的定义是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•靖边县期末）已知，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据特殊角的正切值，，即可求解． 【解答】解：根据特殊角的正切值，且 ， ∴∠A＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，熟记这些值是解题的关键． 【练习 5】（2025秋•神木市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，过点C作CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为　　 ． 【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠B＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系即可求出cos∠ACD的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15， ∴， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习 6】（2026•江门校级一模）计算：　　 ． 【分析】先计算负整数指数幂和特殊的三角函数值，再计算乘法，最后进行加法运算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的运算，负整数指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键． 【练习 7】（2025秋•永定区期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且满足，则∠C＝　90°/90度　 ． 【分析】利用非负数的性质，求出∠A和∠B的度数，再根据三角形内角和定理求∠C． 【解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∵∠A，∠B均为锐角， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣60°＝90°． 【点评】本题主要考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 【练习 8】（2025秋•包河区期末）计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：原式＝（）2 ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【练习 9】（2025秋•榆树市校级期末）计算：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入，再运用实数的混合运算顺序和法则计算即可． 【解答】解：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60° ． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 求三角函数值先在直角三角形中找准对边、邻边、斜边，缺边先用勾股定理 · · 30°、45°、60°的函数值要像乘法口诀一样熟记 · · 见互余立刻想到sinA=cosB，见同角想到sin2A+cos2A=1 · · 比较大小先化同名函数，再用增减性判断 · · 网格题、折叠题先借勾股定理构造直角三角形 【作业 1】（2025秋•雁塔区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则（　　） A．tanA B．tanB C．sinA D．cosB 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴tanB， 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【作业 2】（2026春•北京期中）若，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】通过解方程，利用特殊角的三角函数值 ，求出α的度数． 【解答】解：由题意得， 又∵，且α为锐角， ∴α+10°＝30°， ∴α＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•沙坪坝区校级同步）若α为锐角，且，则m的取值范围是 　　 ． 【分析】根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于m的不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：根据题意可知，0＜sinα＜1，即， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 【作业 4】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝5，BC＝10，则∠A的正切值为 　2　 ． 【分析】根据正切值的定义求得tanA． 【解答】解：如图． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝5， ∴tanA2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查三角函数的正切值，熟练掌握三角函数的正切值的定义是解决本题的关键． 【作业 5】利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较sin25°，cos55°，sin65°，的大小并排序． 【分析】由cos55°＝sin35°，sin25°＜sin35°＜sin65°，即可得sin25°＜cos55°＜sin65°． 【解答】解：由cos55°＝sin35°， sin25°＜sin35°＜sin65°， 得sin25°＜cos55°＜sin65°． 【点评】本题主要考查了互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，解题关键是正确按照大小并排序． 【作业 6】（2024秋•全椒县期末）计算：2cos60°+2sin30°﹣3tan45°． 【分析】根据特殊三角函数值进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝1+1﹣3 ＝﹣1． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 锐角三角函数 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解锐角正弦、余弦、正切的意义，会由两边求函数值 · · 熟记30°、45°、60°角的三角函数值并用于计算 · · 掌握同角三角函数关系sin2A+cos2A=1 · · 掌握互余两角三角函数关系sinA=cos(90°-A) · · 会比较锐角三角函数值的大小并求锐角范围 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数的意义 在Rt△ABC中∠C=90°，sinA=∠A的对边比斜边= cosA=∠A的邻边比斜边= tanA=∠A的对边比邻边= 三角函数值只与角的大小有关，与三角形边长无关 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，AC=8，AB=10，求sinB 解析：BC==6，sinB=== ☆ 2.特殊锐角的三角函数值 sin30°=，cos30°=，tan30°= sin45°=cos45°=，tan45°=1 sin60°=，cos60°=，tan60°= 混合运算先代入特殊角值，再按实数运算法则计算 概念辨析例题：计算sin245°-tan60°·cos30° 解析：()2-·=-=-1 ☆ 3.同角与互余两角的关系 同角：sin2A+cos2A=1，tanA= 互余：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB 已知一个三角函数值可求出其余三角函数值 比较大小时先互余化同名，再由增减性判断 概念辨析例题：∠A+∠B=90°，若sinA=0.618，求cosB 解析：∠A与∠B互余，故cosB=sinA=0.618 ☆ 4.锐角三角函数的增减性与取值范围 0°~90°间，sinA、tanA随角度增大而增大，cosA随角度增大而减小 锐角范围内0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0 ∠A=45°时sinA=cosA；∠A<45°时sinA<cosA 求锐角范围可对照特殊角函数值反向确定 概念辨析例题：若0°<∠A<45°，比较sinA与cosA的大小 解析：∠A<90°-∠A，故sinA<sin(90°-∠A)=cosA 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正弦 sinA=对边/斜边= 对边比斜边 余弦 cosA=邻边/斜边= 邻边比斜边 正切 tanA=对边/邻边= 对边比邻边 同角关系 sin2A+cos2A=1 平方和为1 互余关系 sinA=cos(90°-A) 须∠A+∠B=90° 特殊角 sin30=1/2等三组值 需熟记 增减性 sin、tan增，cos减 范围0°~90° ⚠️ 核心考点 【考点1】锐角三角函数的意义（第1-9题） · · 先画图分清对边、邻边、斜边 · · 缺边先用勾股定理求出 · · 网格题借格点构造直角三角形 · · 函数值只与角大小有关 1．（2026•大姚县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•呈贡区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•长治期末）如图，△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026•丽江二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（2026•邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 ____________________ ． 6．（2025秋•青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M为AB的中点，点E为AC上一点，点D为BE上一点，∠ADE＝∠ABC，∠ADM＝∠BDC，若，BD＝6，则tan∠ADE的值__________________ ． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，求sinA和sinB的值． 8．（2026秋•同步）如图，求sinα，cosβ，tanγ的值． 9．（2025秋•红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第10-14题） · · sin、tan随角增大而增大 · · cos随角增大而减小 · · sinA与cosA在45°处相等 · · 对照特殊角值反向求角范围 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可能是（　　） A．AB或CD B．AB或EF C．CD或GH D．EF或GH 11．（2023春•淮安月考）如果0°＜∠A＜45°，那么sinA与cosA的差（　　） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 12．（2023秋•亳州月考）观察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1（α是锐角）；③tan30°+tan45°＝tan75°，其中成立的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．（2025秋•苏州校级期中）比较大小：sin57°_____ sin53°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 14．（2025•天心区校级衔接）已知，则锐角A的取值范围是_______________ ． 【考点3】同角三角函数的关系（第15-19题） · · 牢记sin2A+cos2A=1 · · tanA= · · 知一可求其余，函数值取正 · · 混合运算先代特殊角值 15．（2025秋•沙坪坝区校级同步）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A．3 B． C． D． 16．（2023秋•洪洞县期中）在△ABC中，∠A＝90°，，则cosC的值是（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•宁国市月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 __________ ． 18．（2025秋•蒙城县月考）比较大小：sin42°_____ cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 19．（2024秋•阳谷县期中）计算： （1）tan30°•tan60°+sin245°+cos245°； （2）2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°． 【考点4】互余两角三角函数的关系（第20-25题） · · 互余即sinA=cosB · · 转化到同一锐角再比较 · · 一角正弦等于其余角余弦 · · 见相等角注意等角转化 20．（2025•海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•萧县月考）在Rt△ABC中，，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 22．（2025秋•安化县期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB＝__________________ ． 23．（2025秋•池州月考）已知∠A+∠B＝90°，若sinA＝0.618，则cosB＝__________ ． 24．（2024秋•慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 ____________________ ． 25．已知α，β为锐角，且cos（90°﹣α），cosβ，求的值． 【考点5】特殊锐角三角函数的值（第26-31题） · · 熟记30/45/60三组函数值 · · 非负性配合特殊值可定角度 · · 混合运算按实数顺序计算 · · 结果该带根号时要保留 26．（2025•广信区校级模拟）在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是__________ ． 27．（2026春•莱芜区期末）计算：sin245°﹣tan60°•cos30°＝_______ ． 28．（2026•双塔区校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则△ABC是_______ 三角形． 29．（2026•广州校级模拟）计算：cos30°•tan60°﹣sin45°＝____________________ ．（结果保留根号） 30．（2026•苏州模拟）计算：． 31．（2025秋•吉林期末）计算：． 【考点6】计算器求三角函数（第32-34题） · · 按键顺序先确认角度制 · · 已知函数值求角先按2ndF · · 近似值按精确度要求取 · · 先估算再用计算器验证 32．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是____________________ （用“＜”连接）． 33．已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键 __________ ，再按三角函数键，最后输入 ________ ，即可得到结果． 34．已知tanB＝1.6863，求锐角B的度数（精确到1°）． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•南宁二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，AC＝6，则BC等于（　　） A．3 B．6 C．12 D．16 【练习 2】（2025秋•如皋市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则cosA的值是（　　） A． B． C． D． 【练习 3】（2023秋•祁阳市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【练习 4】（2025秋•靖边县期末）已知，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【练习 5】（2025秋•神木市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，过点C作CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为____________________ ． 【练习 6】（2026•江门校级一模）计算：__________________ ． 【练习 7】（2025秋•永定区期末）在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且满足，则∠C＝____________ ． 【练习 8】（2025秋•包河区期末）计算：． 【练习 9】（2025秋•榆树市校级期末）计算：（﹣1）2025+2sin245°﹣cos30°+tan60°． 💯 课后巩固 复习建议 · · 求三角函数值先在直角三角形中找准对边、邻边、斜边，缺边先用勾股定理 · · 30°、45°、60°的函数值要像乘法口诀一样熟记 · · 见互余立刻想到sinA=cosB，见同角想到sin2A+cos2A=1 · · 比较大小先化同名函数，再用增减性判断 · · 网格题、折叠题先借勾股定理构造直角三角形 【作业 1】（2025秋•雁塔区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则（　　） A．tanA B．tanB C．sinA D．cosB 【作业 2】（2026春•北京期中）若，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【作业 3】（2025秋•沙坪坝区校级同步）若α为锐角，且，则m的取值范围是 ____________________ ． 【作业 4】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝5，BC＝10，则∠A的正切值为 _____ ． 【作业 5】利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较sin25°，cos55°，sin65°，的大小并排序． 【作业 6】（2024秋•全椒县期末）计算：2cos60°+2sin30°﹣3tan45°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $