23.2　直角三角形的性质 教学设计 2026——2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，课堂导入通过两个含30°角的全等三角板拼图，结合旧知（直角三角形角、边、斜边上中线性质）搭建学习支架，自然衔接新知探究。 特色在于以探究为主线，拼图操作培养几何直观（数学眼光），倍长法与截半法证明发展推理意识（数学思维），例题变式（如屋架设计、折叠问题）强化应用意识（数学语言）。助力学生提升探究与转化能力，为教师提供分层教学资源，提升教学实效。

23.2　直角三角形的性质 　　　　　　　　　　　 课题 23.2　直角三角形的性质 授课人 教 学 目 标 　　1.会利用直角三角形的性质进行线段的计算和证明. 2.能应用30°角所对的直角边等于斜边的一半进行计算和证明. 3.知道把非30°角的问题转化为30°角所对的直角边和斜边的关系进行计算. 4.通过直角三角形三边之间的关系的计算,进一步深入地理解和应用直角三角形的性质. 5.通过角与边的关系的探究,拓展学生的思维,培养学生的转化意识和探究能力. 教学 重点 在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 教学 难点 直角三角形的性质的推导. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 　　运用前面所学的知识回答下列问题: 1.直角三角形的角有什么性质? [答案:有一个角为90°,两个锐角互余.] 2.直角三角形的边有什么性质? [答案:两直角边的平方和等于斜边的平方.] 3.直角三角形斜边上的中线和斜边有什么关系? [答案:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.] 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如果用两个全等的含30°角的三角板,把较长的直角边拼在一起,拼成一个等边三角形. 如图23-2-15,在拼出的等边三角形ABD中,AB　=　BD(填“>”“<”或“=”);在Rt△ABC中,　∠BAC　=30°,30°角所对的直角边是　BC　,BC= 　AB.  图23-2-15 　　从学生身边常见的文具中发现新的数学知识,使学生感到自然亲切,消除陌生感,同时能够提高学生的兴趣和参与度. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 含30°角的直角三角形的性质 如图23-2-16,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,通过上面的操作活动,你能得到什么结论?证明你的结论. 图23-2-16 已知:如图23-2-16,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°. 求证:BC=AB. 证明:在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠B=60°. ①倍长法 延长BC到点D,使BD=AB,连结AD,如图23-2-17,则△ABD是等边三角形. 图23-2-17 又∵AC⊥BD, ∴BC=BD. ∴BC=AB. ②截半法 在BA上截取BE=BC,连结EC,如图23-2-18. 图23-2-18 又∵∠B=60°,∴△BCE是等边三角形. ∴∠BEC=60°,BE=EC. ∵∠A=30°,∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°=∠A. ∴AE=EC.∴AE=BE=BC. ∴AB=AE+BE=2BC.∴BC=AB. 教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述,并板书性质. 归纳: 含30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB. 事实上,上述定理的逆命题也是真命题: 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的角等于30°. 　　通过观察、思考、猜测、证明、归纳,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯. 【应用举例】 例1　图23-2-19是屋架设计图的一部分,D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4 m,∠A=30°.求立柱BC,DE的长. 学生先独立思考,再相互交流. 图23-2-19 解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,∴BC=AB,DE=AD. ∴BC=×7.4=3.7. 又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85. 答:立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m. 　　考查学生对含30°角的直角三角形性质的掌握情况,让学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可以转化为边的关系,同样通过边的关系也可以转化为角的关系. 活动 二: 探究 与 应用 　　变式一　如图23-2-20,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD是斜边上的高,CE是中线,若AB=8,求DE的长.[答案:2] 图23-2-20 变式二　如图23-2-21,△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,AD⊥AC交BC于点D,求证:BC=3AD. 图23-2-21 证明:∵∠BAC=120°,AB=AC, ∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30°. ∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°. ∴∠ADC=60°,AD=CD. ∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°. ∴AD=BD.∴BC=BD+CD=3AD. 例2　如图23-2-22,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,求证:BE=3AE. 图23-2-22 证明:∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°. ∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC. ∴∠ADB=90°. ∴∠BAD=60°,AB=2AD. ∵DE⊥AB,∴∠AED=90°, ∴∠ADE=30°.∴AD=2AE. ∴AB=4AE.∴BE=3AE. 例3　如图23-2-23,折叠矩形ABCD的一边AD使点D落在边BC上的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求CF,CE的长. 图23-2-23 　　解:由折叠可得EF=DE,AF=AD=BC=10. 在Rt△ABF中,AB=8,AF=10,则 BF==6, ∴CF=10-6=4(cm). 设CE=x cm,则EF=DE=(8-x) cm. ∴在Rt△CEF中,(8-x)2=42+x2, 解得x=3. ∴CE=3 cm. 　　通过变式题目,体会题目变式过程,探索相互关系与解题规律,训练发散性思维. 例3主要考查利用勾股定理解决几何图形折叠问题,体会方程思想在折叠问题中的应用. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例4　如图23-2-24,在△ABC中,BC=18,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,F,G分别为BC,DE的中点,若ED=10,则FG的长为(A) 图23-2-24 A.2　　　B.9　　　C.10　　　D.无法确定 例5　如图23-2-25,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点B的坐标为(1,0),边CD与y轴交于点G,点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠,点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3),求点E的坐标. 图23-2-25 答案:-,5 　　例4是一道选择题,但是解答时需要添加辅助线(如图23-2-26,连结EF,DF),综合考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质等,有一定的难度. 图23-2-26 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.课本P119中的练习. 2.课本P120中的习题23.2. 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【板书设计】 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理). 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过操作活动,唤起学生的好奇心,提出问题,引导学生进入新知识的学习,创造一种探索的情境.在学习中,只有调动学生的非智力因素,特别是内在动机,才能使他们产生强烈的求知欲和以饱满的热情来学习新知识. ②[讲授效果反思] 整节课是一个动眼观察、动脑思考、实践体验和共同提高的动态过程.设计“发现问题、做出思考、提出猜想,进行验证”探究性的学习活动,全程关注学生的学习状态,进行分层施教. ③[师生互动反思] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $