专题22.3 相似三角形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形核心知识点，系统梳理从定义、相似比到判定定理（AA、SAS、SSS及直角三角形专属），再到性质（对应线段、周长、面积）、几何模型（平行线型、斜交型等）及实际应用的完整脉络，构建阶梯式学习支架。 资料通过“即学即练”与9类题型设计，以测量纪念塔高度等实例培养数学眼光，通过分类讨论与规范证明发展推理能力，借助模型应用强化建模意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升几何综合能力。

专题22.3 相似三角形 教学目标 1. 理解相似三角形的定义、相似比的概念，明确相似与全等的包含关系，掌握相似比的顺序性。 2. 熟练掌握四种三角形相似判定方法，能根据图形条件灵活选择判定定理，规范书写证明过程。 3. 掌握相似三角形对应线段、周长、面积的性质，能精准完成角度、边长、周长、面积的计算。 4. 能识别常见相似几何模型，运用相似三角形知识解决测量、裁剪、作图等基础实际问题。 5. 初步掌握几何分类讨论思想，规避相似三角形解题常见易错点，提升几何推理能力。 教学重难点 1. 重点 （1）相似三角形的定义、相似比的核心概念。 （2）三类通用相似判定定理及直角三角形专属判定定理的应用。 （3）相似三角形对应线段、周长、面积的性质及基础计算。 （4）基础几何模型中相似三角形的判定与简单应用。 2. 难点 （1）复杂图形中精准识别对应边、对应角，灵活选择判定定理。 （2）区分两边成比例的夹角与非夹角，规避判定定理误用错误。 （3）无明确对应关系的相似问题分类讨论，解决多解题型。 （4）结合相似判定与性质，解决几何综合题与实际测量问题。 知识点01：相似三角形的概念与相似比 1. 定义：三个角分别对应相等，三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2. 表示方法：若△ABC与△A'B'C'相似，记作△ABC∽△A'B'C'，书写时必须保证对应顶点字母一一对应。 3. 相似比：相似三角形对应边的比值叫做相似比，相似比具有顺序性，△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为。 4. 特殊关系：全等三角形是相似比为1的相似三角形，相似三角形不一定全等。 【即学即练】 1．如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，进而即可求出与的相似比． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与的相似比为． 知识点02：相似三角形的判定定理 1. 预备定理（平行判定）：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线），所得的三角形与原三角形相似。 三角形相似三大核心判定定理总结如下： 判定定理名称 判定条件 图例 两角分别相等（AA） 两个三角形有两组对应角分别相等 两边成比例且夹角相等（SAS） 两组对应边成比例，且两组边的夹角对应相等 三边对应成比例（SSS） 三组对应边的比值全部相等 2. 直角三角形专属判定：一个直角三角形的斜边和一条直角边，与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 3. 传递性：若两个三角形都与第三个三角形相似，则这两个三角形互相相似。 【即学即练】 1．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 知识点03：相似三角形的核心几何模型 1. 平行线型：由平行线构造同位角、内错角相等，判定三角形相似（A型、X型）。 2. 斜交型：含公共角、对顶角，搭配一组等角或成比例边，判定相似。 3. 母子型：小三角形嵌套在大三角形内，共公共角，一组等角即可证相似。 4. 旋转型：一组对应角相等，夹角两边对应成比例，旋转后形成相似三角形。 1．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 知识点04：相似三角形的性质 1. 基础性质：对应角相等，对应边成比例。 2. 对应线段性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比，均等于相似比。 3. 周长性质：相似三角形的周长比等于相似比。 4. 面积性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方（高频易错点）。 【即学即练】 1．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 知识点05：相似三角形的实际应用原理 1. 测高原理：同一时刻太阳光为平行线，物体高度与影长成正比例，构造相似三角形求解。 2. 测距原理：利用标杆、镜面反射（入射角=反射角）构造直角三角形相似，测量不可到达的距离、宽度。 3. 盲区原理：根据视线直线传播，构造相似三角形，计算视线盲区范围。 【即学即练】 1．渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． 【答案】渭华起义纪念塔的高度为19.2米 【分析】设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米．先证，从而得到，即；再证，从而得到，即，将代入消元，即可解得x的值，从而求得渭华起义纪念塔的高度． 【详解】解：设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米． ∵，， ∴， 由光的反射定律可得：， ∴， ∴， 即， 化简得：． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 得：， 解得：， 答：渭华起义纪念塔的高度为19.2米． 题型01 两角相等判定三角形相似 优先找公共角、对顶角、直角，搭配一组等角，用AA定理判定，适用范围最广。 【典例1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 【变式1-1】.（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】解：略 【变式1-2】.（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 【变式1-3】.（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 题型02 两边成比例且夹角相等判定相似 先计算两组对应边比例，重点验证夹角相等，杜绝非夹角相等的错误判定。 【典例2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 【变式2-1】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 【变式2-2】.（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 【变式2-3】.（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型03 三边对应成比例判定三角形相似 将三角形三边从小到大排序，逐一计算比例，三边比值相等即可判定相似，多用于格点三角形。 【典例3】.（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】.（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 【变式3-2】.（25-26九年级上·山西太原·开学考试）如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】 证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】略 题型04 补充条件使两三角形相似 结合已知边角条件，灵活补充角相等或边成比例条件，贴合三大判定定理。 【典例4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 【变式4-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 【变式4-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 【变式4-3】.（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 【答案】(1) 证明：为等边三角形， ， ． ， ， ， ； (2)或或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质说明，再根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； 对于（2），分别根据“角边角”和“角角边”证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：或或． 证明如下： 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ； 由得，． 在和中， ． 故答案为：或或． 题型05 相似三角形对应边角、线段计算 利用相似对应角相等、对应边成比例，列比例式或方程求解未知量。 【典例5】.（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式5-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末），且，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵， ， 解得： 【变式5-2】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】.（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和求出对应角的度数． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 题型06 相似三角形周长、面积相关计算 周长比=相似比，面积比=相似比的平方，已知面积比求线段需开平方。 【典例6】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 【变式6-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 【变式6-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 【变式6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业），，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相似三角形中对应中线比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：，，边上的中线， ， ； （2）解：，，的周长为， ， ； （3）解：，，的面积是， ， ． 题型07 图形裁剪、折叠中的相似判定 利用裁剪、折叠的等角、等边性质，结合相似判定定理，判断新三角形与原三角形是否相似。 【典例7】.（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 【变式7-1】.（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 【变式7-2】.（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 【变式7-3】.（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 题型08相似三角形的实际应用（测高、测距） 从实际场景抽象直角三角形、平行线模型，利用相似比例关系求解高度、宽度、盲区。 【典例8】.（上册第四章追梦综合演练卷）一棵树（）和一根木杆（）在同一时刻的投影如图所示，木杆高3米，影子长2米；若树的影子长6米，则树高多少米？ 【答案】9米 【详解】解：由题意，， ∴ ，即， ， 故树高9米． 【变式8-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得， 则， 则； ，，， ， 解得； （2），， ， ∵反射角等于入射角， ， ， ，                                         ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【变式8-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 【变式8-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 题型09 动点存在性相似问题 分类讨论不同对应相似情况，结合动点路程、速度列方程，求解参数取值并检验合理性。 【典例9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 【变式9-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 【变式9-2】.（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【答案】或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述，运动或秒后，与相似． 【变式9-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由向点运动，若点运动时间为． (1)若四边形是平行四边形，则 ， ； (2)若，求与相似时的值． 【答案】(1)2；3 (2)或 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，证明，推出，则可得到，解之即可得到答案； （2）分两种情况：当时，则，当时，则，分别代入建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴； 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得（已检验，符合题意）或（舍去）； 综上所述，与相似时的值为或． 一、单选题 1．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 2．如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明即可判定A、B、C正确，D错误． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ，，故B、C正确，D错误． 3．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 二、填空题 4．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 5．如图，在正方形中，点分别在边上，，是的中点．与相交于点．则的值为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据正方形得到，进而证明，结合相似三角形的性质可得；设，则，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：延长交于点，如下图， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，， ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中， ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 三、解答题 7．如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先证出，则，再得出即可得证； （2）先求出，，的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 由（1）已证：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 8．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 【答案】(1)9 (2)10 【分析】（1） 先由推出线段比例关系，进而得到相似比求出DE； （2）利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． ， ， ． ， ； （2）解：， （相似三角形周长之比等于相似比）． ， ， ， ， ． 9．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， 且， 又， ， 且， 四边形为平行四边形． ， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】本题考查平行四边形，矩形的判定与性质，相似三角形的判定．第一小问的解题关键点是先通过边的等量代换证明四边形是平行四边形，再结合垂直条件证得矩形，第二小问通过设参数证明相似三角形建立方程求解的长度． 【详解】（1）略． （2）解：设， ， ，. 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，即， 解得，（舍）， ． 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明出与相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形中，根据正方形的性质对角线平分和，又因为，所以，又因为对顶角相等，再结合相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】 ∵在正方形ABCD中，点E，M是边AD，CD上的点，， ∴，，， 即， ∵， ∴， 故A正确，该选项不符合题意； ∵，， ∴， 故B正确,该选项不符合题意； ∵， ∴ 故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴， 而不一定等于， ∴与不一定相似， 故D错误，该选项符合题意． 3．如图将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识． 根据折叠的性质确定，，进而求出，再结合折叠的性质证明，进而证明，即可求出，则可得，最后利用两直线平行内错角相等以及折叠对应的角相等，即可证明，根据等角对等边得，同理可得，问题随之得解． 【详解】解：∵正方形纸片的面积为16， ∴正方形纸片的边长， ∵折叠，点、点均落在点处， ∴，， ∴，，，，，，， ∴，，即点B、G、F共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，正方形纸片中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 同理可证：， ∴． 4．如图1，四边形为正方形，，将边绕点顺时针旋转至，连接，，交于点． (1)用含的代数式表示和的大小． (2)求证：． (3)如图2，作和的平分线分别交和的延长线于点，．若，求的长． 【答案】(1)， (2)证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ． 由正方形的性质可得，， ． 又， ， ， 即． 在中，由勾股定理得 ； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，则由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得的度数；求出的度数，证明，据此可得的度数； （2）连接，可证明，得到，由勾股定理得，则； （3）连接，记交于点，证明，得到，，可证明，，则可证明；证明与平行，得到，则可证明，进而得到，进一步可证明；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ； 在正方形中，，， ，， ； （2）略 （3）解：如图所示，连接，记交于点， 平分， ； 由（1）得， 又∵， ， ，， ， ， ， ； 平分， ， ， ∵， ； ， 与平行， ， ， ， ∴， ， ， ； 设，则， 由正方形的性质可得， 由勾股定理得 ， 解得，（舍）， ， ，， ． 5．如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形和四边形都是正方形， ，． ， ． ． ； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，再由公共角相等即可证明； （2）先利用勾股定理计算出，再利用求出，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到正方形的面积； （3）证明，然后利用相似比求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.3 相似三角形 教学目标 1. 理解相似三角形的定义、相似比的概念，明确相似与全等的包含关系，掌握相似比的顺序性。 2. 熟练掌握四种三角形相似判定方法，能根据图形条件灵活选择判定定理，规范书写证明过程。 3. 掌握相似三角形对应线段、周长、面积的性质，能精准完成角度、边长、周长、面积的计算。 4. 能识别常见相似几何模型，运用相似三角形知识解决测量、裁剪、作图等基础实际问题。 5. 初步掌握几何分类讨论思想，规避相似三角形解题常见易错点，提升几何推理能力。 教学重难点 1. 重点 （1）相似三角形的定义、相似比的核心概念。 （2）三类通用相似判定定理及直角三角形专属判定定理的应用。 （3）相似三角形对应线段、周长、面积的性质及基础计算。 （4）基础几何模型中相似三角形的判定与简单应用。 2. 难点 （1）复杂图形中精准识别对应边、对应角，灵活选择判定定理。 （2）区分两边成比例的夹角与非夹角，规避判定定理误用错误。 （3）无明确对应关系的相似问题分类讨论，解决多解题型。 （4）结合相似判定与性质，解决几何综合题与实际测量问题。 知识点01：相似三角形的概念与相似比 1. 定义：三个角分别对应相等，三条边对应成比例的两个三角形，叫做 。 2. 表示方法：若△ABC与△A'B'C'相似，记作 ，书写时必须保证对应顶点字母一一对应。 3. 相似比：相似三角形对应边的比值叫做相似比，相似比具有 ，△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为。 4. 特殊关系：全等三角形是相似比为1的相似三角形，相似三角形不一定全等。 【即学即练】 1．如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 知识点02：相似三角形的判定定理 1. 预备定理（平行判定）：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线），所得的三角形与原三角形 。 三角形相似三大核心判定定理总结如下： 判定定理名称 判定条件 图例 两角分别相等（AA） 两边成比例且夹角相等（SAS） 三边对应成比例（SSS） 2. 直角三角形专属判定：一个直角三角形的斜边和一条直角边，与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。 3. 传递性：若两个三角形都与第三个三角形相似，则这两个三角形互相相似。 【即学即练】 1．如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 知识点03：相似三角形的核心几何模型 1. 平行线型：由平行线构造同位角、内错角相等，判定三角形相似（A型、X型）。 2. 斜交型：含公共角、对顶角，搭配一组等角或成比例边，判定相似。 3. 母子型：小三角形嵌套在大三角形内，共公共角，一组等角即可证相似。 4. 旋转型：一组对应角相等，夹角两边对应成比例，旋转后形成相似三角形。 1．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 知识点04：相似三角形的性质 1. 基础性质：对应角相等，对应边成比例。 2. 对应线段性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比，均等于 。 3. 周长性质：相似三角形的周长比等于 。 4. 面积性质：相似三角形的面积比等于 （高频易错点）。 【即学即练】 1．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 知识点05：相似三角形的实际应用原理 1. 测高原理：同一时刻太阳光为平行线，物体高度与影长成正比例，构造 求解。 2. 测距原理：利用标杆、镜面反射（入射角=反射角）构造直角三角形相似，测量不可到达的距离、宽度。 3. 盲区原理：根据视线直线传播，构造相似三角形，计算视线盲区范围。 【即学即练】 1．渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． 题型01 两角相等判定三角形相似 优先找公共角、对顶角、直角，搭配一组等角，用AA定理判定，适用范围最广。 【典例1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【变式1-1】.（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【变式1-2】.（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 题型02 两边成比例且夹角相等判定相似 先计算两组对应边比例，重点验证夹角相等，杜绝非夹角相等的错误判定。 【典例2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【变式2-3】.（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型03 三边对应成比例判定三角形相似 将三角形三边从小到大排序，逐一计算比例，三边比值相等即可判定相似，多用于格点三角形。 【典例3】.（26-27九年级·浙江·暑假作业）若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【变式3-2】.（25-26九年级上·山西太原·开学考试）如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 题型04 补充条件使两三角形相似 结合已知边角条件，灵活补充角相等或边成比例条件，贴合三大判定定理。 【典例4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【变式4-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【变式4-3】.（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，在等边三角形中，点，，分别在，，边上，连接，，，且． (1)求证：． (2)添加一个条件 求证：． 题型05 相似三角形对应边角、线段计算 利用相似对应角相等、对应边成比例，列比例式或方程求解未知量。 【典例5】.（2026·贵州贵阳·二模）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末），且，则的长为___________． 【变式5-2】.（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【变式5-3】.（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型06 相似三角形周长、面积相关计算 周长比=相似比，面积比=相似比的平方，已知面积比求线段需开平方。 【典例6】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业），，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 题型07 图形裁剪、折叠中的相似判定 利用裁剪、折叠的等角、等边性质，结合相似判定定理，判断新三角形与原三角形是否相似。 【典例7】.（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 题型08相似三角形的实际应用（测高、测距） 从实际场景抽象直角三角形、平行线模型，利用相似比例关系求解高度、宽度、盲区。 【典例8】.（上册第四章追梦综合演练卷）一棵树（）和一根木杆（）在同一时刻的投影如图所示，木杆高3米，影子长2米；若树的影子长6米，则树高多少米？ 【变式8-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【变式8-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【变式8-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 题型09 动点存在性相似问题 分类讨论不同对应相似情况，结合动点路程、速度列方程，求解参数取值并检验合理性。 【典例9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【变式9-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【变式9-2】.（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【变式9-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由向点运动，若点运动时间为． (1)若四边形是平行四边形，则 ， ； (2)若，求与相似时的值． 一、单选题 1．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    5．如图，在正方形中，点分别在边上，，是的中点．与相交于点．则的值为___________． 6．如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 三、解答题 7．如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 8．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 9．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 1．如图，在中，，，正方形的顶点、在内，顶点、分别在、上，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为__________． 4．如图1，四边形为正方形，，将边绕点顺时针旋转至，连接，，交于点． (1)用含的代数式表示和的大小． (2)求证：． (3)如图2，作和的平分线分别交和的延长线于点，．若，求的长． 5．如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $