3.1 平方根（第1课时）课件2026-2027学年数学浙教版七年级上册

第3章　实数 3.1 平方根（第1课时） 平方根与算术平方根 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 由面积求边长 问题 一张正方形桌面的面积为，它的边长是多少米？设边长为米，需要寻找满足的数。 思考 已知边长求面积用平方；已知面积求边长，需要把平方的过程反过来。边长还要满足实际意义：长度为正。 情境引入 平方相同的两个数 观察 ，。两个互为相反数的非零数，平方相同，所以只找到还没有找全数学上的答案。 区别 问题“什么数的平方等于”有两个答案；桌面边长只能取米。数学条件与实际条件都要检查。 情境引入 把已知与未知换个位置 复习 计算、、，结果依次是、、。平方运算中，结果一定是非负数。 追问 反过来问：什么数的平方为？什么数的平方为？能否有一个数的平方为？这三个问题帮助我们研究平方根的个数。 新知讲授 平方根的定义 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根（square root），也叫作的二次方根。 读懂条件 定义的关键是“平方等于”。若，就说是的平方根；例如，所以是的一个平方根。 新知讲授 用平方检验平方根 检验 判断一个数是不是另一个数的平方根，只需把它平方后比较。例如，所以是的平方根。 找全 因为也成立，求的平方根时，应写出和，通常合写为。 新知讲授 平方根的个数与符号 规律 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 原因 正数可以由正数或负数平方得到；只有；任何数的平方都不小于零，因此不可能平方得到负数。 新知讲授 平方根的符号表示 表示 一个正数的正平方根用表示，负平方根用表示，两个平方根合写为。叫作被开方数。 读法 读作“根号”，读作“负根号”，读作“正、负根号”。根号外的符号决定取哪个根。 新知讲授 开平方与平方 定义 求一个数的平方根的运算叫作开平方。 逆运算 开平方是平方运算的逆运算。先想“谁的平方等于它”，再写平方根。例如，所以的平方根为。 新知讲授 算术平方根 定义 正数的正平方根称为算术平方根，的算术平方根是。一个数（）的算术平方根记作“”。 例子 的算术平方根是，即；的算术平方根是。算术平方根的结果总是非负数。 新知讲授 平方根与算术平方根的联系 相同 二者都根据平方关系确定。对正数，先求出算术平方根，就能写出两个平方根。 不同 “的平方根”回答；“的算术平方根”回答；“”也只表示。回答前应先看清求的对象。 新知讲授 根号的范围与结果的范围 有意义 在本课所学数的范围内，要求被开方数。例如，而没有意义。 看清整体 ，因为被开方数是。不能看到括号内有负号就说不能开平方，应先把被开方数作为整体计算。 例题讲解 例 1 求下列各数的平方根。 （1） （2） （3） （4） （1） 答： ，。 （2） 答： 。 求平方根要保留正、负两个结果。 例题讲解 例 1 求下列各数的平方根。 （1） （2） （3） （4） （3） 答： 。 （4） 答： 。 求平方根要保留正、负两个结果。 例题讲解 例 2 先说出下列各式的意义，再计算。 （1） （2） （3） （1） 答： 表示的平方根。 。 （2） 答： 表示的算术平方根。 ，取非负结果。 先读根号外的符号，再确定结果的个数和符号。 例题讲解 例 2 先说出下列各式的意义，再计算。 （1） （2） （3） （3） 答： 表示的负平方根。 先算，再保留根号外的负号。 负号在根号外，表示算术平方根的相反数。 例题变式 变式 计算下列各式，并说明区别。 （1） （2） （3） （4） （1） 答： 根号表示非负的算术平方根。 （2） 答： 正负号表示两个互为相反数的结果。 区分“根号内的负数”与“根号外的负号”。 例题变式 变式 计算下列各式，并说明区别。 （1） （2） （3） （4） （3） 答： 先开方，再取相反数。 （4） 答： 先平方得，再取非负的算术平方根。 区分“根号内的负数”与“根号外的负号”。 新知辨析 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 的平方根是。 错误 漏了负平方根，应为。 （2） 。 错误 算术平方根只有一个，。 （3） 没有平方根。 正确 任何数的平方都不为负数。 （4） 的平方根和算术平方根都是。 正确 因为，且只有的平方为。 例题变式 变式 已知一个数的一个平方根是，求这个数及它的另一个平方根。 答：这个数是，另一个平方根是。 原数为。 正数的两个平方根互为相反数。 平方根先平方得到原数，再利用相反数关系。 例题变式 变式 计算与，比较结果。 答：； 前式先开方为，再平方得。 后式先平方为，再开方取非负结果。 按照从内到外的顺序运算；开方结果不得为负。 课堂练习 课内练习 1 填空。 （1） 因为，所以的平方根是____，即____。 （2） 因为，所以的平方根是____，即________。 （3） 因为，所以的平方根是____，即________。 （4） 因为，所以____。 （1） 答：；； 和的平方都等于。 （2） 答：；； 由确定正、负两个平方根。 填入平方关系时也要写全正、负两个数。 课堂练习 课内练习 1 填空。 （1） 因为，所以的平方根是____，即____。 （2） 因为，所以的平方根是____，即________。 （3） 因为，所以的平方根是____，即________。 （4） 因为，所以____。 （3） 答：；； 小数平方时小数位数加倍。 （4） 答：； 分子、分母分别是、的平方。 填入平方关系时也要写全正、负两个数。 课堂练习 课内练习 2 求下列各数的平方根。 （1） （2） （3） （4） （1） 答： 。 （2） 答： 。 分数先寻找分子、分母的平方关系。 课堂练习 课内练习 2 求下列各数的平方根。 （1） （2） （3） （4） （3） 答： 。 （4） 答： 。 分数先寻找分子、分母的平方关系。 课堂练习 课内练习 3 下列各数有没有平方根？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1） （2） （3） （4） （5） （1） 答：有，算术平方根是。 。 （2） 答：有，算术平方根是。 。 先看被开方数的正负，再求非负的算术平方根。 课堂练习 课内练习 3 下列各数有没有平方根？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1） （2） （3） （4） （5） （3） 答：有，算术平方根是。 。 （4） 答：没有平方根。 负数没有平方根。 （5） 答：有，算术平方根是。 。 零不能归入负数；零的算术平方根仍为零。 新知讲授 由平方根反推原数 已知根 若一个正数的两个平方根为和，则这个数为。例如两个平方根为，原数就是。 核对 原数与平方根的位置不能颠倒。“是的平方根”写成；“是的平方根”写成。 新知讲授 正数大小与算术平方根大小 观察 比较、、、、、、，结果依次增大。在非负数范围内，数越大，平方也越大。 应用 因此被开方数越大，算术平方根也越大。例如，所以。这个比较只取非负的根。 课堂练习 辨析 小明写“”，小丽写“的平方根是”。分别改正，并说明错误原因。 答：应为；的平方根是。 小明把算术平方根写成两个数。 小丽求平方根时漏掉了负平方根。 把求的对象读出来，可以有效防止多写或漏写符号。 方法归纳 求平方根的两个检查点 检查原数 ① 先算被开方数的整体值，再判断是否非负。 ② 出现分数、小数时，用平方关系验证结果。 检查提问 ① 求“平方根”时正数要写两个根。 ② 求“算术平方根”或计算根式时，只取非负的根。 课堂总结 平方根与算术平方根 概念 ，是的平方根 个数 正数两个；零一个；负数没有 表示 表示平方根；表示算术平方根 步骤 判断正负→寻找平方关系→按提问写结果 注意 算术平方根非负；实际长度取正值 针对训练 训练 下列各式中，结果等于的是哪一个？A.　B.　C.　D. 答：C A与D的结果为；B表示和。 C表示的负平方根，等于。 根号本身不会产生负的算术平方根。 针对训练 训练 一个数的算术平方根为，则这个数为____，它的平方根为____。 答：； 原数为。 原数为正数，两个平方根为和。 先把已知的算术平方根平方。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 表示的平方根。 错误 它表示的算术平方根。 （2） 。 正确 先开方得，再取相反数。 （3） 。 错误 应为，因为。 （4） 一个正数的两个平方根之和为。 正确 两个平方根互为相反数。 针对训练 作业题 4 先说出下列各式的意义，再计算。 （1） （2） （3） （1） 答： 表示的算术平方根，。 （2） 答： 表示的平方根，。 （3） 答： 表示的负平方根，先开方得。 把符号所表达的意义与最后结果对应起来。 针对训练 作业题 5 计算。 （1） （2） （3） （4） （1） 答： 。 （2） 答： 。 完全平方数可利用常用平方表识别。 针对训练 作业题 5 计算。 （1） （2） （3） （4） （3） 答： 。 （4） 答： 先开方，再取相反数。 完全平方数可利用常用平方表识别。 针对训练 训练 一个正数的两个平方根之差是，求这个正数。 答： 两个平方根互为相反数，正根为、负根为。 原数为，且。 两个相反数的差等于正数的两倍。 针对训练 训练 不使用计算器，比较、、的大小，并由小到大排列。 答： ，。 负数小于正数，再比较。 能直接开方时先化为熟悉的数。 针对训练 训练 一个正方形花坛的面积为，要沿四周围一圈护栏，护栏至少长多少米？ 答： 边长是的算术平方根，即。 周长为。 长度取正值；求出边长后再计算周长。 针对训练 训练 已知一个长方形的长是宽的倍，面积为，求这个长方形的周长。 答： 设宽为，则，所以，宽为。 长为，周长。 面积关系先转化为宽的平方；实际宽度取正值。 方法归纳 方法总结 求根时由平方逆推 ① 把整数、小数或分数写成熟悉数的平方。 ② 先明确求平方根还是算术平方根，再决定符号。 ③ 把所得结果平方，检验是否回到原数。 应用时补充实际条件 ① 由面积关系确定边长的平方。 ② 长度、路程等非负量选择非负结果。 ③ 按题目继续求周长、费用等，并写清单位。 $