3.4 实数的运算（第1课时）课件2026-2027学年数学浙教版七年级上册

第3章　实数 3.4 实数的运算（第1课时） 实数的运算与近似计算 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 自由下落的时间 情境 一个物体自由下落时，经过的距离米与时间秒之间的关系可用估计。若，计算就要进行实数运算。 计算 代入可得秒。若，则秒，既可以保留准确的根式，也可根据需要取近似值。 情境引入 数的范围扩大后怎样运算 回顾 有理数的运算包括加、减、乘、除、乘方。现在又认识了开平方、开立方。若同一个式子里出现这些运算，应遵循怎样的顺序？ 比较 计算与，两个式子的运算结构相同，可以采用相同的运算规律。 情境引入 准确值和近似值各有什么用 准确值 是一个确定的实数。计算可直接得到，没有必要先把两个根式换成近似小数。 近似值 若题目要求测量结果精确到米，就需要按要求取近似值。运算前先读清题目，区分精确计算与近似计算。 新知讲授 实数的运算顺序 法则 实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 落实 根号下的被开方数应看作整体。计算要先算根号内的和；计算则先分别开方。 新知讲授 括号与根号的运算范围 比较 ，而。运算符号的范围改变，结果也可能改变。 方法 先圈出括号、分数线、根号所包含的整体，再按层次计算。不能把和的算术平方根直接拆成两个算术平方根之和。 新知讲授 运算律仍然适用 迁移 数从有理数扩充到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。加法交换律、结合律和乘法分配律仍可使用。 例子 ，这是分配律。，这是互为相反数相加得零。 新知讲授 先化简再求近似值 化简 若式子中的同一根式项可以抵消，应先化简。如，其结果已经是准确值。 精度 多步计算中不要每一步都先取近似值。可在计算器中保留中间结果，到最后一步再按题目要求四舍五入，减少误差累积。 新知讲授 乘方、开平方与开立方 顺序 计算，先分别得到、、，再作加减，结果为。 符号 减去负数要转化为加上正数。，但，根号外的负号不能丢失。 例题讲解 例 1 计算：。 答： 用分配律展开：。 交换、结合后，，两个根式项互相抵消。 含相同根式的相反项先抵消，无需计算近似小数。 例题变式 变式 计算：。 答： 分配律展开为。 相反项抵消，剩下。 观察相反项，保持根式的准确形式。 新知讲授 计算器的输入与检查 输入 先确认计算器能进行平方根、立方根和圆周率运算。输入根式或括号后，要检查光标是否已经移出根号，避免把后续项误放进根号内。 估计 计算前先估计结果的符号和数量级。例如约为，结果应为正且小于。明显不符时应检查输入。 例题讲解 例 2 用计算器计算。 （1） （精确到） （2） （精确到） （1） 答： 计算器结果约为。 保留三位小数，观察下一位为，结果为。 中间结果不提前舍入，最后按指定数位取近似值。 例题讲解 例 2 用计算器计算。 （1） （精确到） （2） （精确到） （2） 答： 计算器结果约为。 先对绝对值四舍五入到百分位，再保留负号。 中间结果不提前舍入，最后按指定数位取近似值。 新知讲授 精确度决定保留的数位 数位 精确到、、，分别表示保留一位、两位、三位小数。观察的数位应比要保留的数位多一位。 负数 例如精确到为。四舍五入不等于简单截去小数，末位进位时也不能漏写负号。 新知讲授 圆周率键与近似数 用键 若计算器有键，计算含的式子时优先使用该键。题目没有要求把取为时，不应自行提前替换。 检验 把预先取会引入额外误差；最终需要的精度越高，越应保留计算器内部的完整中间值。最后使用约等号写答案。 例题讲解 做一做 用计算器计算。 （1） （2） （精确到） （3） （精确到） （4） （精确到） （1） 答： ，此题可以准确求值。 （2） 答： 约为，四舍五入保留三位小数。 先判定是否能准确计算，再按题目要求处理近似值。 例题讲解 做一做 用计算器计算。 （1） （2） （精确到） （3） （精确到） （4） （精确到） （3） 答： 先算，整体约为。 （4） 答： 先平方得，整体约为。 先判定是否能准确计算，再按题目要求处理近似值。 例题讲解 例 3 俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面千米的高处时，能看到的最远距离约为千米。位于上海中心大厦第层的“上海之巅”观光厅高米，人在观光厅里最多能看多远（精确到千米）？ 答：应代入。 公式中的单位是千米，。 所求的单位也是千米，不能直接代入。 公式中的单位要求优先于计算。 例题讲解 例 3 俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面千米的高处时，能看到的最远距离约为千米。位于上海中心大厦第层的“上海之巅”观光厅高米，人在观光厅里最多能看多远（精确到千米）？ 答：最多大约能看到千米远。 。 精确到千米，得千米。 本模型的理论估计不能作为所有实际能见度的保证。 例题变式 变式 利用（均以千米计），估计人在距地面米的高处能看到的最远距离。 答：千米。 。 千米。 可以准确开方时，不必使用计算器近似。 课堂练习 课内练习 1 计算。 （1） （精确到） （2） （精确到） （3） （精确到） （1） 答： 结果约为，观察百分位为。 （2） 答： 结果约为，保留两位小数。 先估计正负，再核对四舍五入的数位。 课堂练习 课内练习 1 计算。 （1） （精确到） （2） （精确到） （3） （精确到） （3） 答： 结果约为，保留两位小数。 先估计正负，再核对四舍五入的数位。 课堂练习 课内练习 2 计算：。 答： 先算。 原式为。 先观察结构，能抵消时直接化简。 课堂练习 课内练习 3 判断下列说法是否正确，并举例说明理由。 （1） 两个无理数的和一定是无理数。 （2） 两个无理数的积一定是无理数。 （1） 答：错误。 ，而是有理数。 （2） 答：错误。 ，而是有理数。 否定“一定”只需要提供一个符合条件的反例。 新知讲授 连续开平方的现象 操作 把连续开平方，可依次得到约、、。继续操作，结果越来越接近，但这些有限次结果仍大于。 解释 当时，。每次开平方都会使数减小，同时保持大于。换用也可以观察同样的趋势。 课堂练习 错解辨析 计算，结果精确到。若先把取为，会出现什么错误？ 答：正确结果约为；提前舍入会误得。 保留完整中间值：。 乘以会放大提前舍入产生的误差。 相近数相减再放大时，尤其要保留中间精度。 新知讲授 反例必须符合前提 检查 要反驳“两个无理数的积一定是无理数”，所选的两个乘数都必须是无理数。用不能反驳，因为前提不满足。 示范 与都是无理数，而是有理数。这个例子同时满足前提并否定结论，是有效反例。 方法归纳 精确运算与近似运算 精确运算先观察结构 ① 先算能直接开出的平方根、立方根。 ② 再运用分配律和相反数关系化简。 近似运算最后舍入 ① 按括号、根号范围输入完整算式。 ② 检查符号、数量级和所需保留位数。 课堂总结 实数的运算 顺序 括号优先；乘方开方→乘除→加减 规律 有理数运算律在实数中仍适用 准确值 能化简先化简，保留根式 近似值 中间不舍入，最后按要求取值 应用 统一单位，检验结果的实际意义 针对训练 训练 下列运算正确的是：A.　B.　C.　D.。 答：C A应为，B应为，D应为。 C为。 根号的范围和根号外的符号要分别检查。 针对训练 训练 把分别精确到、、。 答：，， 保留一、二、三位小数，分别观察下一位数字。 最后一个结果中的末尾表达了精确到千分位。 近似数的末尾零不能随意删去。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 。 错误 左边为，右边为。 （2） 。 正确 互为相反数相加为零。 （3） 两个无理数相乘的结果可能是有理数。 正确 例如。 （4） 近似计算的每一步都必须先四舍五入。 错误 应保留中间精度，到最后按要求舍入。 针对训练 训练 计算：；。 答：； 第一式展开为。 第二式为。 减去括号中的整体时，每一项的符号都要处理。 针对训练 训练 计算（结果精确到）：；；。 答：；； 三个计算器结果约为、、。 统一保留两位小数，负数先对绝对值舍入再保留负号。 除式应把完整根式作为分母输入。 针对训练 训练 计算。 答： 展开为。 常数项为，根式项系数和为。 分配律后按同一根式项归组，先求系数和。 针对训练 训练 数轴上两点A、B分别表示实数和，求A、B两点之间的距离。 答： 比大。 距离为。 两点距离用较大的数减较小的数。 针对训练 训练 判断“两个无理数相加一定为有理数”是否正确，并用本节学过的数说明。 答：错误。 ，仍是无理数。 结合可知，两个无理数之和可能是有理数，也可能是无理数。 把“一定”为真的结论用反例否定，不能只写一个支持例。 针对训练 训练 已知一个立方体的体积为，求它的表面积（精确到）。 答：约。 棱长为。 表面积为，取近似值得。 先由体积开立方求棱长，再平方求表面积；中间不舍入。 针对训练 训练 按估计物体自由下落时间。物体分别下落米、米，所需时间各多少秒？后者是前者的几倍？ 答：秒、秒；后者是前者的倍。 时；时。 距离扩大到倍，时间扩大到倍，不能直接照搬距离倍数。 按公式分别代入求值，再比较时间的倍数。 方法归纳 方法总结 准确计算保持结构 ① 先计算乘方和开方，括号内优先。 ② 用分配律与相反项抵消减少运算。 ③ 所有负号随对应的项一起处理。 近似计算控制误差 ① 用计算器输入完整算式并检查范围。 ② 中间结果保留，最终一次四舍五入。 ③ 应用公式先统一单位，最后写出精度和单位。 $