精品解析：四川成都棠湖外国语学校2026-2027学年高二求实班上学期10月阶段检测数学试卷

2026～2027学年度棠外高2025级 高二上期求实班10月阶段检测 数学 命题人：陈汶秀 审题人：李巍巍 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据，，，，，，的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 135 3. 某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将个同学按，，，，进行编号，然后从下列随机数表的第行第列的数开始向右读，则选出的第个个体是（ ）    A. B. C. D. 13 4. 十项全能是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图．下列说法错误的是（ ） A. 在米项目中，甲的得分比乙高 B. 在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同 C. 甲的各项得分比乙更均衡 D. 从米、米、米、米栏四个项目的总得分来看，甲的得分高于乙的得分 5. 如图所示，一个玩具盒是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体，圆柱的底面直径与高均为，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为该玩具盒的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 8. 甲、乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的为（ ） A. 长度相等､方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 只有零向量的模等于零 D. 若，则是钝角 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线AC与所成的角为60° B. 直线与平面成角为45° C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据2，4，，6，8的平均数为5，该数据的方差为_______． 13. 已知空间向量和的夹角为，，，则______________. 14. 在正三棱柱中，，动点P在棱上，则点P到平面的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； （3）在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 16. 如图，在长方体中，为的中点． （1）化简：①； ② （2）设是棱上的点，且，若，试求实数、、的值． 17. 与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. （1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； （2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 18. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，，，，，得其频率分布直方图如图所示. （1）估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少； （2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率； （3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？ 19. 如图，在三棱柱中，点为的中点，记，，. （1）用，，表示； （2）若三棱锥是棱长为2的正四面体，求； （3）若三棱锥是正三棱锥，且异面直线与所成角的余弦值大于，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度棠外高2025级 高二上期求实班10月阶段检测 数学 命题人：陈汶秀 审题人：李巍巍 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据，，，，，，的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】这组数据共有7个数，不是整数，所以取第4位数为中位数，即； 数据中84出现的次数最多，故众数为84. 2. 某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 135 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的基本原则，计算各层人数即可. 【详解】设高三抽取的人数为，则由分层抽样可知，解得：. 故选：B. 3. 某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将个同学按，，，，进行编号，然后从下列随机数表的第行第列的数开始向右读，则选出的第个个体是（ ）    A. B. C. D. 13 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，选出的个体依次是， 所以选出的第个个体是. 4. 十项全能是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图．下列说法错误的是（ ） A. 在米项目中，甲的得分比乙高 B. 在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同 C. 甲的各项得分比乙更均衡 D. 从米、米、米、米栏四个项目的总得分来看，甲的得分高于乙的得分 【答案】C 【解析】 【详解】由图可得在米项目中，甲的得分比乙高，故A正确； 由图可得甲和乙在跳高和标枪项目中的点基本重合，所以在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同，故B正确； 由图可得甲的各项得分波动变化大，乙的各项得分比较稳定，所以乙的各项得分比甲更均衡，故C错误； 由图可得从米、米、米、米栏四个项目的总得分来看甲的得分高于乙的得分，故D正确 5. 如图所示，一个玩具盒是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体，圆柱的底面直径与高均为，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为该玩具盒的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】正四棱柱的下底面面积为， 正四棱柱的侧面积为， 半圆柱的侧面积为， 半圆柱的两个底面可合成一个圆，其面积为， 所以玩具盒的表面积为. 6. 已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由、分别是边、的中点以及，根据向量加减法的运算法则即可求得结果. 【详解】根据题意可得， 又可得， 所以 ， 即可得. 故选：C 7. 设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，可能相交，也可能平行，可判断A;根据面面垂直的性质定理可判断B;对于C，判断m,n可能平行也可能异面，即可判断正误，对于D，根据线面垂直的判定定理可判断. 【详解】对于A，，，，则可能相交，也可能平行，故A错误‘ 对于B, 若，，，，根据面面垂直的性质定理可知，故B正确； 对于C, 若，，，则m,n可能平行也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，，由于不能确定m,n是否相交，故不能确定，故D错误， 故选:B 8. 甲、乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于，利用列举法分析判断，对于，利用反证法分析判断即可. 【详解】用表示甲第次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用表示，用1表示正面向上，0表示反面向上， 则样本空间，，，所以不是的子集，故错误； ，，又，，故错误； 设事件“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则， 下面证明事件与事件对立. 若事件与事件同时发生，则甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛掷的次数比乙少两次，与题目矛盾； 若事件与事件都不发生，则甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛掷的次数不比乙少，与题目矛盾，故事件与事件不对立. 所以，又因为,故错误，正确. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于空间向量的命题中，正确的为（ ） A. 长度相等､方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 只有零向量的模等于零 D. 若，则是钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相等向量的定义判断即可；利用零向量的定义判断C；根据向量数量积的定义，结合余弦函数的图象分析即可判断. 【详解】对于A，根据相等向量的定义即可判断，故A正确； 对于B，因一对相反向量满足平行且模相等，但不是相等向量，故B错误； 对于C，因任何非零向量的模都是正数，只有零向量的模等于零，故C正确； 对于D，由可得，结合余弦函数的图象知， 当时，满足，但是不是钝角,故D错误. 故选：AC. 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线AC与所成的角为60° B. 直线与平面成角为45° C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，平移直线到直线；对B，作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C，作出二面角的平面角，再求正切值；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球. 【详解】如图所示，连接， 对A，平移直线到直线，则异面直线AC与所成的角，显然为正三角形，，故A正确； 对B，，，，平面，为线面角，，，，故B错误； 对C，在三角形中，，为二面角的平面角，，故C正确； 对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据2，4，，6，8的平均数为5，该数据的方差为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平均数求出实数，再求出方差. 【详解】由题：一组数据2,4,,6,8的平均数为5，即，解得， 所以该组数据的方差为. 故答案为：4 【点睛】此题考查根据平均数求某个数据，根据已知数据求解方差，关键在于熟练掌握公式，根据公式求解. 13. 已知空间向量和的夹角为，，，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平方的方法来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 14. 在正三棱柱中，，动点P在棱上，则点P到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】在正三棱柱中，若， 平面，平面， 所以平面，动点P在棱上， 所以P到平面的距离等于到平面的距离， 由勾股定理可得， 在等腰三角形中，底边上的高长为， 所以等腰三角形的面积为， 由正三棱锥性质可得，， 且平面平面，平面平面， 所以到平面的距离为到的距离， 设点B1到平面的距离为， ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； （3）在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 【答案】（1） （2） （3）人 【解析】 【小问1详解】 解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为，组距为，可得： ，即，解得. 【小问2详解】 解：设中位数为， 因为，而， 所以中位数在内，根据中位数的定义可得：， 解得. 因此，这名学生这次竞赛成绩的中位数为. 【小问3详解】 解：由的频率为：，可得人数为：人， 由的频率为：，可得人数为：人， 所以内总人数为人，可得分层抽样的比为， 因此，这名学生这次竞赛成绩在内被抽到的人数为人. 16. 如图，在长方体中，为的中点． （1）化简：①； ② （2）设是棱上的点，且，若，试求实数、、的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量运算求得正确答案. （2）利用空间基底的知识求得. 【小问1详解】 由题意得 ① . ②，. 【小问2详解】 ， . 17. 与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. （1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； （2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设“甲答对”，“乙答对”，则题意所求的事件为，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解； （2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对”，“乙答对”， 则，，，， “甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥 由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立， 则， 所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为. 【小问2详解】 设“丙答对”，则， 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知， ，解得， 所以的值为. 18. 某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，，，，，得其频率分布直方图如图所示. （1）估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少； （2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率； （3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？ 【答案】（1）720人 （2） （3）该校需要增加初中学生课外阅读时间. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可得阅读时间在小时内的频率，进而可求人数， （2）根据分层抽样的抽样比计算抽取的初高中生的人数，进而根据列举法求解个数，由古典概型的概率计算公式即可求解, （3）根据频率分布直方图计算阅读的平均数，即可求解. 【小问1详解】 初中生中，阅读时间在小时内的频率为， ∴所有的初中生中，阅读时间在小时内的学生约有人； 同理，高中生中，阅读时间在小时内的频率为， 学生人数约有人， 该校所有学生中，阅读时间在小时内的学生人数约有人. 【小问2详解】 由分层抽样知，抽取的初中生有名，高中生有名， 记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名初中生”为事件， 初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人； 高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人. 记这3名初中生为、、，这2名高中生为、， 则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种， 即：，，，，，，，，，； 而事件的结果有7种， 它们是：，，，，，，； ∴至少抽到名初中生的概率为； 【小问3详解】 60天内，初中生平均每人阅读时间为（小时）， 国家标准下60天内初中生每人需阅读（小时）， 因为，该校需要增加初中学生课外阅读时间. 19. 如图，在三棱柱中，点为的中点，记，，. （1）用，，表示； （2）若三棱锥是棱长为2的正四面体，求； （3）若三棱锥是正三棱锥，且异面直线与所成角的余弦值大于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解； （2）由已知可得，利用计算可得； （3）由已知设，，，可得，，由，得，异面直线与所成角的余弦值大于，可得，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由已知，，， 则. 【小问2详解】 因为三棱锥是棱长为2的正四面体， 所以，则. 因为， 所以 . 【小问3详解】 由三棱锥是正三棱锥，设，， 则，所以， 则， 则，. 因为， 所以 ， . 设异面直线与所成的角为， 则，解得， 因为三棱锥是正三棱锥，所以P在平面ABC内的射影是三角形的中心， 所以, 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $