精品解析：四川成都棠湖外国语学校2026-2027学年高二创新班上学期10月月考数学试卷

2026～2027学年度棠外高2025级 高二上期创新班10月月考试卷 数 学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷共150分，考试时间为120分钟. 2.考试使用网上阅卷，请同学们务必按规范要求在答题卡上填涂、填写答案. 3.考试结束，只交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，16，14，8，20的中位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据按照从小到大顺序排列，再根据中位数定义计算即得. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，8，14，16，20， 故其中位数为排序后第个数据：14. 2. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥的高为，则，解得． 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】的周长为， 4. 如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果. 【详解】因为底面，所以，又， 所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， ，， 设异面直线与所成的角为，， 则. 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：A 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题. 5. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 6. 设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 7. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【解析】 【分析】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果. 【详解】椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， 椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， ∴两个椭圆中只有焦距相等. 故选：C. 8. 已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，表示出，，，，的长度，结合，利用余弦定理列式，可得的关系，进而可求双曲线的离心率. 【详解】如图， 记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，， 由且，可得，，. 设，又由，得， 所以，可得， 可得双曲线的离心率为. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【解析】 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线与圆相交， 所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最小值为， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和， 圆心到直线的距离为，到的距离为， 该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点， 所以半径需满足，，即，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆， 过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为， 则切线方程为，即，故D正确. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（   ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由焦距求出半焦距，利用双曲线中求解参数，即可得到渐近线方程，判断A、B；再结合直线与双曲线仅有一个公共点的两类情况（与双曲线相切、与渐近线平行），结合点的位置判断C；最后利用双曲线的定义转化所求距离和，结合两点之间线段最短求最值，判断D. 【详解】由知，半焦距，则，故A错误； 双曲线的渐近线方程为，故B正确； C：易知不在双曲线及其渐近线上， 当过的直线与双曲线相切时，两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； D：，， 因为在双曲线渐近线的上方， 则， 当且仅当在线段上时，取得等号，故D正确. 三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分.将答案直接填在答题卷相应的横线上） 12. 抛掷一枚质地均匀的硬币，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的计算公式进行计算. 【详解】设掷一次硬币正面朝上为事件，则 13. 与直线平行且与它的距离为的直线方程是______； 【答案】或 【解析】 【分析】设所求直线方程为，根据平行直线间的距离公式列方程，化简求得的值，从而求得正确答案. 【详解】设直线平行的直线方程为， 依题意，解得或， 所以所求直线方程为：或. 故答案为：或 14. 如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是____ ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用正方体性质可得面面平行，进而判断线面平行，判断①选项，平移直线找异面直线所成角求正切值判断②选项，找出线面角分析变化可判断③选项，利用体对角线性质判断线线垂直，从而判断④选项. 【详解】如图， 在①选项中，因为为正方体，所以平面平面，又平面，所以平面，故①正确； 在②选项中，当为线段的中点时，因为，所以就是直线与直线所成角. 连接，在中，，所以， 即直线与直线所成角的正切值为，故②错误； 在③选项中，因为平面，所以就是直线与平面所成角， 设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大， 先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小，③正确； 在④选项中，连接，因为正方体中，平面， 平面，所以，④正确. 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某中学从该校的学生中随机抽取100名学生，对其进行一周运动时长的调查，根据调查结果绘制了如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校学生一周运动时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数（精确到0.01）． 【答案】（1） （2）平均数为，中位数约为 【解析】 【分析】（1）利用概率和为1即可求的值. （2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的计算公式即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，解得. 【小问2详解】 平均数为. 中位数为. 16. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半径，写出圆的方程； （2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程. 【小问1详解】 变形为， 令，解得：， 故定点的坐标为， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的动点，为线段的中点． （1）求证：； （2）当为线段的中点时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）方法一：底面，平面，． 又∵四边形为正方形，． 又，，平面，平面． 平面，． ，为线段的中点，． 又，，平面，平面． 平面，． 方法二：底面，，平面，，． 又∵四边形为正方形，． 又，，平面，平面． 平面，． 当点与点重合时，在中，，为线段的中点， ，即． 当点与点不重合时，设，． 在等腰直角三角形中，； 在中，； 在中，． ，． 综上，． （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：由线面垂直判定定理证得平面，即可证明；方法二：先由线面垂直判定定理证得，再分点与点重合和点与点不重合两种情况讨论证明. （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用公式求二面角的余弦值；方法二：利用几何法得到二面角的平面角再在三角形中求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：底面，，平面， ，． ∵四边形是正方形，，，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设．，为线段的中点，为线段的中点， ，，，，，， ，，． 底面，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则即 令，则，，． 由题意知，二面角的平面角为锐角． 设二面角的大小为， 则， 即二面角的余弦值为． 方法二：如图，取的中点，连接，过点作于点，连接． 为线段的中点，为的中位线，． 底面，底面． ，平面，，． ，，，平面，平面． 平面，． 即为二面角的平面角． 设，则，． 由，得，即，解得． 在中，， ， 即二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆：的离心率为，左顶点为. （1）求的方程； （2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i） （ii）是， 【解析】 【分析】（1）由椭圆的左顶点为和离心率为可得，，再根据可求得，即可求得椭圆的方程； （2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积； （ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，将展开后代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，左顶点为，，，得； ； 椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）可得右焦点为，. 直线的倾斜角为，直线的斜率； 直线的方程为，即. 直线交于,两点，设点，. 联立，消去并整理得； ，，. . 的面积为. （ii）为定值，即，理由如下： 由直线过点，且交于,两点， 设直线：，点，. ，，. 联立，消去并整理得； 由，得，. . 为定值. 19. 已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）. （2）（ⅰ）, （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）易知，再由离心率定义得到，再由得到，从而得到双曲线方程. （2）（ⅰ）先设直线方程并与双曲线方程联立得到 ①， ②，再由可得到 ③，联立①②③可解得：，从而得到直线方程.（ⅱ）先通过向量数量积得到，再通过，从而得到，最后通过函数在上是单调递增函数，求得的取值范围. 【小问1详解】 已知双曲线：的左焦点为，因此， 由离心率定义，代入可得：，即， 又因为，所以，将代入双曲线方程， 可得到双曲线的方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）设过点的直线的方程为，，与双曲线方程联立： 消去整理得：， 设，，,，由韦达定理得： ① ， ②. 由双曲线的中心对称性可知：若直线与的另一个交点为，则. ， ， 又，即，即， 又因为，， 所以，即，即 ③， 联立①，③可得：，， 所以，即，解得： ，又因为，所以. 故直线的方程为，即. （ⅱ）因为，在双曲线上， 所以有，作差可得：， 即，即， 又，， 所以，即. 由弦长公式得：， ， ，， ， ，即， ， ， 函数在上是单调递增函数， 当时，， 当时，， 因此，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度棠外高2025级 高二上期创新班10月月考试卷 数 学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷共150分，考试时间为120分钟. 2.考试使用网上阅卷，请同学们务必按规范要求在答题卡上填涂、填写答案. 3.考试结束，只交答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，16，14，8，20的中位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 18 2. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 12 4. 如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（       ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 7. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 8. 已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 空间中任意两个单位向量必相等 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（   ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D. 的最小值为 三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分.将答案直接填在答题卷相应的横线上） 12. 抛掷一枚质地均匀的硬币，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 13. 与直线平行且与它的距离为的直线方程是______； 14. 如图，在正方体中，点是线段上一动点，则下列说法正确的是____ ①．平面 ②．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 ③．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 ④． 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某中学从该校的学生中随机抽取100名学生，对其进行一周运动时长的调查，根据调查结果绘制了如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校学生一周运动时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数（精确到0.01）． 16. 已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的动点，为线段的中点． （1）求证：； （2）当为线段的中点时，求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆：的离心率为，左顶点为. （1）求的方程； （2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于,两点. （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19. 已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $